數(shù)學史上的著名猜想之(二)

1、數(shù)學史上的著名猜想之（二） 被證明了的數(shù)學猜想過伯祥（1）沒能找到“費爾馬的絕妙證明” 我國早在商周時代（約公元前1100年）就已經(jīng)知道了不定方程：至少有一組正整數(shù)解：.古希臘數(shù)學家丟番圖已求得上述不定方程的一般解：,其中m、n（是任意正整數(shù). 費爾馬是一位博覽群書見多識廣的學者，他將其一生中的全部精力都花費在鉆研數(shù)學和物理問題上了.1621年費爾馬買到了丟番圖著的算術一書，對于書中的數(shù)論問題產(chǎn)生了濃厚的興趣.閑余之時，對希臘數(shù)學家的一些問題進行研究和推廣.當他讀到第II卷第8命題“將一個平方數(shù)分為兩個平方數(shù)的和”時，他想到了更一般的問題。研討之后，費爾馬在頁邊空白處寫下了如下的一段話： “將

2、一個立方數(shù)分為兩個立方數(shù)的和，一個四次方數(shù)分為兩個四次方數(shù)的和，或者一般將一個次方數(shù)分為兩個同次方數(shù)的和，這是不可能的.關于此，我確信已找到了一個真正奇妙的證明，可惜這兒的空白太小，寫不下.”這段敘述用現(xiàn)代數(shù)學語言來說，就是：“當整數(shù)時，方程沒有正整數(shù)解.”這就是費爾馬猜想，中國人通稱為費爾馬大定理.費爾馬死后，他兒子整理了他的全部遺稿和書信，始終也沒有找到那個“絕妙的證明”.于是，這個猜想的正確與否，就成了一樁數(shù)學疑案.由于找不到費爾馬的“證明”，也由于著名數(shù)學家欲給出它的證明的企圖一次次受挫，才激發(fā)起了歷代數(shù)學家對費爾馬猜想的極大興趣.300多年來，不知有多少人為它絞盡了腦汁，也曾經(jīng)有過多

3、次懸賞征解，獎給能夠證明它的人：法國科學院曾經(jīng)兩次懸賞；布魯塞爾科學院也曾以重金懸賞；1908年德國數(shù)學家佛爾夫斯克爾遺言，懸賞10萬馬克巨款，獎給第一個證明費爾馬大定理的人，這項獎金的限期為100年.（2）這是一只會生金蛋的母雞很多著名數(shù)學家，如歐拉、狄里赫萊、拉梅、庫默爾、法爾廷斯等都做了很多有重要意義的工作.他們的工作不僅使費爾馬問題取得了一定的進展，而且他們所創(chuàng)造的方法也推動了數(shù)學的發(fā)展.然而所有這些工作只是對于某些個別的或滿足某些條件的證明了費爾馬大定理.1995年5月，當代最權威的數(shù)學雜志普林斯頓數(shù)學年刊，一整期發(fā)表了震驚世界數(shù)學界的兩篇論文，宣告：困擾數(shù)學界長達350多年，“比哥

4、德巴赫猜想更有名氣”的數(shù)學難題，費爾馬大定理.終于被英國數(shù)學家安德魯·維爾斯（Andrew Wiles）所證明.輿論認為，這確是近代數(shù)學發(fā)展中的一個巨大里程碑.希爾伯特曾認為，猜想、問題的價值，“最終的判斷取決于科學從該問題獲得的收益”.當年的希爾伯特就曾斷言，解決費爾馬大定理的過程中將能給數(shù)學發(fā)展創(chuàng)造許多新途徑.費爾馬猜想是“一只經(jīng)常為我們生出金蛋的母雞”.在人類解決費爾馬大定理的漫長歷程中，先后作出重大貢獻的數(shù)學家法爾廷斯、谷山、費雷、維爾斯等人的偉大實踐證明了這一點，他們都用了當代許多名家的思想、結果和技巧.特別是維爾斯的工作，無疑是一項意義深遠的貢獻，它將會給純數(shù)學中的許多重

5、要問題的解決帶來曙光.始終沒能找到費爾馬的“絕妙證明”試證又一次次受挫，命題就成為著名的費爾馬大定理三次懸賞征解.這是一只會生金蛋的母雞1995年終于被英國數(shù)學家維爾斯徹底攻克，1996年3月維爾斯因此榮膺沃爾夫獎這段歷史發(fā)展也可畫成如下的簡明框圖： （3）素數(shù)個數(shù)的猜想 一眼可以看出，開頭一些素數(shù)2,3,5,7,11,13,17,19,組成的序列，不符合任何一種簡單規(guī)律。序列的構造是非常復雜的. 還在歐幾里得出生以前，人們已開始思考素數(shù)序列最后是否有終結的問題.有數(shù)學家提出了“素數(shù)個數(shù)是無限的” 猜想. 好的猜想猶如一個合適的引路人，人們在解決素數(shù)個數(shù)的猜想及其推廣的過程中，發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造了一些

6、巧妙的新方法，為當時數(shù)學的發(fā)展帶來了大推動. 歐幾里得在幾何原本中為解決這個猜想設計了一個絕妙的證明.它不是去求任一已知素數(shù)后面緊跟的那個素數(shù)（那將是萬分困難的），而是用某一個大得多的素數(shù)去代替后面的下一個素數(shù)： 令為任一素數(shù)，作出由2到的全部素數(shù)的乘積再加1，寫成 顯然，素數(shù)2,3,5,中沒有一個可以整除.這樣，或者本身是素數(shù)（大于的），或者的全部素因子都和2,3,5,不同，并且大于. 不論是何種情形，一個大于的素數(shù)已經(jīng)找到.因此，不管有多么大，總有更大的素數(shù)存在. 接著，人們想到：除了素數(shù)2，剩下的素數(shù)，不是形如的數(shù)，就是形如的數(shù)；除了素數(shù)3，剩下的素數(shù)，不是形如的數(shù)，就是形如的數(shù)；于是，

7、又紛紛有人提出猜想： 形如的素數(shù)個數(shù)是無限的. 形如的素數(shù)個數(shù)是無限的. 形如的素數(shù)個數(shù)是無限的. 形如的素數(shù)個數(shù)是無限的. 形如的素數(shù)個數(shù)是無限的.等，一般地有 任何一個自然數(shù)的等差數(shù)列，只要其首項和公差是互素的，就必定包含了無限多個素數(shù). 為解決這些猜想而創(chuàng)造的新方法，其中所包含的的基本思想，有的會具有更一般的意義，有時，數(shù)學家就是這樣無意中闖進了一個新領域的大門. （4）對的無理性的猜測 1737年，歐拉基本上證明了和是無理數(shù)；蘭伯特利用歐拉的工作證明：如果是有理數(shù)（不是0），那么和都不能是有理數(shù).由此結果，由于，所以和都不能是有理數(shù). 由于圓面積與相關，大大地刺激了對的無理性（是怎樣的無理數(shù)呢？）的研究.勒讓德猜測說可能不是有理系數(shù)方程的根（就是說，與是不一樣的無理數(shù).顯然是有理系數(shù)方程的根）. 勒讓德的猜測導致了無理數(shù)學的分類，使人類對數(shù)的認識又跨進了一大步.任何有理數(shù)系代數(shù)（多項式）方程的任何一個根（不管是實的不是復的）叫做一個代數(shù)數(shù).這樣，方程 的根叫做代數(shù)數(shù)，其中是有理數(shù).因此，所有的有理數(shù)和一部分無理數(shù)是代數(shù)數(shù)；不是代數(shù)數(shù)的數(shù)叫做超越數(shù)，因為歐拉說過：“它們超越了代數(shù)方法的能力”.他猜測說，心有理數(shù)為底的有理數(shù)的對數(shù)，必定或者是有理數(shù)，或者是超越數(shù). 1873年，埃爾米特給出了數(shù)的超