數(shù)學(xué)史上的著名猜想之(二)

1、數(shù)學(xué)史上的著名猜想之（二） 被證明了的數(shù)學(xué)猜想過(guò)伯祥（1）沒(méi)能找到“費(fèi)爾馬的絕妙證明” 我國(guó)早在商周時(shí)代（約公元前1100年）就已經(jīng)知道了不定方程：至少有一組正整數(shù)解：.古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖已求得上述不定方程的一般解：,其中m、n（是任意正整數(shù). 費(fèi)爾馬是一位博覽群書(shū)見(jiàn)多識(shí)廣的學(xué)者，他將其一生中的全部精力都花費(fèi)在鉆研數(shù)學(xué)和物理問(wèn)題上了.1621年費(fèi)爾馬買到了丟番圖著的算術(shù)一書(shū)，對(duì)于書(shū)中的數(shù)論問(wèn)題產(chǎn)生了濃厚的興趣.閑余之時(shí)，對(duì)希臘數(shù)學(xué)家的一些問(wèn)題進(jìn)行研究和推廣.當(dāng)他讀到第II卷第8命題“將一個(gè)平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)的和”時(shí)，他想到了更一般的問(wèn)題。研討之后，費(fèi)爾馬在頁(yè)邊空白處寫(xiě)下了如下的一段話： “將

2、一個(gè)立方數(shù)分為兩個(gè)立方數(shù)的和，一個(gè)四次方數(shù)分為兩個(gè)四次方數(shù)的和，或者一般將一個(gè)次方數(shù)分為兩個(gè)同次方數(shù)的和，這是不可能的.關(guān)于此，我確信已找到了一個(gè)真正奇妙的證明，可惜這兒的空白太小，寫(xiě)不下.”這段敘述用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是：“當(dāng)整數(shù)時(shí)，方程沒(méi)有正整數(shù)解.”這就是費(fèi)爾馬猜想，中國(guó)人通稱為費(fèi)爾馬大定理.費(fèi)爾馬死后，他兒子整理了他的全部遺稿和書(shū)信，始終也沒(méi)有找到那個(gè)“絕妙的證明”.于是，這個(gè)猜想的正確與否，就成了一樁數(shù)學(xué)疑案.由于找不到費(fèi)爾馬的“證明”，也由于著名數(shù)學(xué)家欲給出它的證明的企圖一次次受挫，才激發(fā)起了歷代數(shù)學(xué)家對(duì)費(fèi)爾馬猜想的極大興趣.300多年來(lái)，不知有多少人為它絞盡了腦汁，也曾經(jīng)有過(guò)多

3、次懸賞征解，獎(jiǎng)給能夠證明它的人：法國(guó)科學(xué)院曾經(jīng)兩次懸賞；布魯塞爾科學(xué)院也曾以重金懸賞；1908年德國(guó)數(shù)學(xué)家佛爾夫斯克爾遺言，懸賞10萬(wàn)馬克巨款，獎(jiǎng)給第一個(gè)證明費(fèi)爾馬大定理的人，這項(xiàng)獎(jiǎng)金的限期為100年.（2）這是一只會(huì)生金蛋的母雞很多著名數(shù)學(xué)家，如歐拉、狄里赫萊、拉梅、庫(kù)默爾、法爾廷斯等都做了很多有重要意義的工作.他們的工作不僅使費(fèi)爾馬問(wèn)題取得了一定的進(jìn)展，而且他們所創(chuàng)造的方法也推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.然而所有這些工作只是對(duì)于某些個(gè)別的或滿足某些條件的證明了費(fèi)爾馬大定理.1995年5月，當(dāng)代最權(quán)威的數(shù)學(xué)雜志普林斯頓數(shù)學(xué)年刊，一整期發(fā)表了震驚世界數(shù)學(xué)界的兩篇論文，宣告：困擾數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)350多年，“比哥

4、德巴赫猜想更有名氣”的數(shù)學(xué)難題，費(fèi)爾馬大定理.終于被英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·維爾斯（Andrew Wiles）所證明.輿論認(rèn)為，這確是近代數(shù)學(xué)發(fā)展中的一個(gè)巨大里程碑.希爾伯特曾認(rèn)為，猜想、問(wèn)題的價(jià)值，“最終的判斷取決于科學(xué)從該問(wèn)題獲得的收益”.當(dāng)年的希爾伯特就曾斷言，解決費(fèi)爾馬大定理的過(guò)程中將能給數(shù)學(xué)發(fā)展創(chuàng)造許多新途徑.費(fèi)爾馬猜想是“一只經(jīng)常為我們生出金蛋的母雞”.在人類解決費(fèi)爾馬大定理的漫長(zhǎng)歷程中，先后作出重大貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家法爾廷斯、谷山、費(fèi)雷、維爾斯等人的偉大實(shí)踐證明了這一點(diǎn)，他們都用了當(dāng)代許多名家的思想、結(jié)果和技巧.特別是維爾斯的工作，無(wú)疑是一項(xiàng)意義深遠(yuǎn)的貢獻(xiàn)，它將會(huì)給純數(shù)學(xué)中的許多重

5、要問(wèn)題的解決帶來(lái)曙光.始終沒(méi)能找到費(fèi)爾馬的“絕妙證明”試證又一次次受挫，命題就成為著名的費(fèi)爾馬大定理三次懸賞征解.這是一只會(huì)生金蛋的母雞1995年終于被英國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯徹底攻克，1996年3月維爾斯因此榮膺沃爾夫獎(jiǎng)這段歷史發(fā)展也可畫(huà)成如下的簡(jiǎn)明框圖： （3）素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的猜想 一眼可以看出，開(kāi)頭一些素?cái)?shù)2,3,5,7,11,13,17,19,組成的序列，不符合任何一種簡(jiǎn)單規(guī)律。序列的構(gòu)造是非常復(fù)雜的. 還在歐幾里得出生以前，人們已開(kāi)始思考素?cái)?shù)序列最后是否有終結(jié)的問(wèn)題.有數(shù)學(xué)家提出了“素?cái)?shù)個(gè)數(shù)是無(wú)限的” 猜想. 好的猜想猶如一個(gè)合適的引路人，人們?cè)诮鉀Q素?cái)?shù)個(gè)數(shù)的猜想及其推廣的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造了一些

6、巧妙的新方法，為當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了大推動(dòng). 歐幾里得在幾何原本中為解決這個(gè)猜想設(shè)計(jì)了一個(gè)絕妙的證明.它不是去求任一已知素?cái)?shù)后面緊跟的那個(gè)素?cái)?shù)（那將是萬(wàn)分困難的），而是用某一個(gè)大得多的素?cái)?shù)去代替后面的下一個(gè)素?cái)?shù)： 令為任一素?cái)?shù)，作出由2到的全部素?cái)?shù)的乘積再加1，寫(xiě)成 顯然，素?cái)?shù)2,3,5,中沒(méi)有一個(gè)可以整除.這樣，或者本身是素?cái)?shù)（大于的），或者的全部素因子都和2,3,5,不同，并且大于. 不論是何種情形，一個(gè)大于的素?cái)?shù)已經(jīng)找到.因此，不管有多么大，總有更大的素?cái)?shù)存在. 接著，人們想到：除了素?cái)?shù)2，剩下的素?cái)?shù)，不是形如的數(shù)，就是形如的數(shù)；除了素?cái)?shù)3，剩下的素?cái)?shù)，不是形如的數(shù)，就是形如的數(shù)；于是，

7、又紛紛有人提出猜想： 形如的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)是無(wú)限的. 形如的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)是無(wú)限的. 形如的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)是無(wú)限的. 形如的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)是無(wú)限的. 形如的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)是無(wú)限的.等，一般地有 任何一個(gè)自然數(shù)的等差數(shù)列，只要其首項(xiàng)和公差是互素的，就必定包含了無(wú)限多個(gè)素?cái)?shù). 為解決這些猜想而創(chuàng)造的新方法，其中所包含的的基本思想，有的會(huì)具有更一般的意義，有時(shí)，數(shù)學(xué)家就是這樣無(wú)意中闖進(jìn)了一個(gè)新領(lǐng)域的大門. （4）對(duì)的無(wú)理性的猜測(cè) 1737年，歐拉基本上證明了和是無(wú)理數(shù)；蘭伯特利用歐拉的工作證明：如果是有理數(shù)（不是0），那么和都不能是有理數(shù).由此結(jié)果，由于，所以和都不能是有理數(shù). 由于圓面積與相關(guān)，大大地刺激了對(duì)的無(wú)理性（是怎樣的無(wú)理數(shù)呢？）的研究.勒讓德猜測(cè)說(shuō)可能不是有理系數(shù)方程的根（就是說(shuō)，與是不一樣的無(wú)理數(shù).顯然是有理系數(shù)方程的根）. 勒讓德的猜測(cè)導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)學(xué)的分類，使人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)又跨進(jìn)了一大步.任何有理數(shù)系代數(shù)（多項(xiàng)式）方程的任何一個(gè)根（不管是實(shí)的不是復(fù)的）叫做一個(gè)代數(shù)數(shù).這樣，方程 的根叫做代數(shù)數(shù)，其中是有理數(shù).因此，所有的有理數(shù)和一部分無(wú)理數(shù)是代數(shù)數(shù)；不是代數(shù)數(shù)的數(shù)叫做超越數(shù)，因?yàn)闅W拉說(shuō)過(guò)：“它們超越了代數(shù)方法的能力”.他猜測(cè)說(shuō)，心有理數(shù)為底的有理數(shù)的對(duì)數(shù)，必定或者是有理數(shù)，或者是超越數(shù). 1873年，埃爾米特給出了數(shù)的超