高等代數(shù)論文

1、莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系“高等代數(shù)選講”課程論文題目： 小論矩陣的對角化姓名： 劉文娟學(xué)號：410401210莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2004級 2007年6 月 22 日小論矩陣的對角化劉文娟 042數(shù)本 410401210摘要：對角矩陣可以認(rèn)為是矩陣中最簡單的一種，這里討論階矩陣對角化的一些判定條件（充要條件）及幾種常用矩陣的對角化問題。關(guān)鍵詞：可對角化 特征值 特征向量 不變因子 初等因子 最小多項(xiàng)式 矩陣的秩 特征多項(xiàng)式 循環(huán)矩陣定義：數(shù)域上方陣，如果能與一個上的對角方陣相似，則在可對角化。判定1：可對角化的充要條件是：有個線性無關(guān)的特征向量。判定2：設(shè)方陣的全部不同

2、的特征根為而為的一個基礎(chǔ)解系（從而是屬于的一極大無關(guān)特征向量組），可對角化的充要條件是： 判定3：設(shè)為方陣的全部不同的特征根，且分別為重根，可對角化的充要條件是：對每個都有： 證明：充分性 設(shè)， 則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含個向量，但由于分別為重根，從而故可對角化。必要性 設(shè)必有個線性無關(guān)的特征向量，但由于，故每個次線性方程組的基礎(chǔ)解系必含個向量，從而， 判定4：數(shù)域上方陣與對角矩陣相似的充要條件是：的最小多項(xiàng)式是上互素的一次因式的乘積。判定5：復(fù)數(shù)域上矩陣與對角矩陣相似的充要條件是：的最小多項(xiàng)式?jīng)]有重根。即的最后一個不變因子無重根。證明： 假設(shè)相似與對角矩陣，因?yàn)橄嗨凭仃嚲哂邢嗤淖钚《囗?xiàng)式

3、，我們只要證明對角矩陣的最小多項(xiàng)式無重根即可。由于分塊對角矩陣的最小多項(xiàng)式等于各塊最小多項(xiàng)式的公倍式，對于對角矩陣而言，等于主對角線上一次式的最小公倍式，顯然，這個多項(xiàng)式無重根子。 反之，設(shè)的最小多項(xiàng)式無重根，因?yàn)樽钚《囗?xiàng)式是矩陣的最后一個不變因子，故前面的不變因子無重根（它們都是最后一個不變因子的因子），于是的初等因子全是一次式，即的若當(dāng)塊都是一階的。這就證明了相似與對角矩陣。判定6：復(fù)數(shù)域上矩陣與對角矩陣相似的充要條件是：的初等因子是一次的。即的每一個若當(dāng)爾塊皆是一級的。判定7：為復(fù)數(shù)域，與對角矩陣相似的充要條件是：對于任意的，與有相同的秩。證明：設(shè)與對角矩陣相似，則存在可逆矩陣，使 所以

4、任意，有因此與等秩，由可逆知：與有相同的秩。反之，設(shè)對每個，與有相同的秩，由于，故可與若當(dāng)形矩陣相似，即存在可逆矩陣，使 其中為若當(dāng)塊，若某個不是對角形（即不是一級的），不妨設(shè)為，即 故由此可知的秩小于的秩，因而的秩小于的秩，進(jìn)而的秩小于的秩，與已知矛盾。故每個是對角形，從而為對角形判定8：矩陣=（楊：數(shù)量矩陣嗎）的充要條件是的不變因子組（楊：這種稱呼的來源？）中無常數(shù)。證明： 必要性顯然 下證充分性 若的不變因子無常數(shù)，則只能為， 因此相似于對角矩陣，且主對角線上的元素全是，即存在可逆矩陣， 判定9：設(shè) 為方陣，是的特征多項(xiàng)式，并令 則與一對角矩陣相似的充要條件是：證明：必要性 由與對角矩陣

5、相似，其最小多項(xiàng)式無重根，且取的所有根，又無重根且與的根相同，故因而充分性 由知從而無重根，與對角矩陣相似。性質(zhì)1：一個矩陣是否可對角化（即與一個對角矩陣相似）同數(shù)域的大小有關(guān)。 例如：二階方陣 在實(shí)數(shù)域不可對角化，但在復(fù)數(shù)域上卻可以對角化，因此此時它與對角矩陣 相似 事實(shí)上，取 即有判定10：設(shè)為一個復(fù)矩陣，是的特征多項(xiàng)式，可對角化的充要條件是：若是的重根，則秩證明：必要性 由條件可知，存在可逆矩陣，使 而是的重根，因而在中有個，故矩陣 的主對角線上有個零，從而秩充分性 由是的根，即是的特征值，由條件知，存在可逆矩陣，使 ，設(shè)的對角線元素為，而不以為特征值，則 故秩從而由于是任意的，故為對角

6、矩陣。性質(zhì)2：設(shè)是數(shù)域上的階可逆矩陣，則以下條件等價： 與對角矩陣相似 與對角矩陣相似 與對角矩陣相似證明： 設(shè)，且與相似，則存在可逆矩陣，使得，即也與對角矩陣相似。，設(shè)，且與相似，則存在可逆矩陣，使于是有：進(jìn)而有：即也與對角矩陣相似。，設(shè)，且與相似，設(shè)可逆矩陣，使，可逆，而，因此，即與對角矩陣相似。性質(zhì)3：任何循環(huán)矩陣在復(fù)數(shù)域上都可對角化。證明： 令，且 ，其中為全部的次方根。則由于可逆，從而可與對角矩陣相似，即可對角化。判定11：設(shè)為任意一階方陣，在復(fù)數(shù)域上可與對角化的充要條件是： 與某個循環(huán)矩陣相似。證明： 充分性由性質(zhì)3可知。 下證必要性。 設(shè)可對角化，則存在滿秩矩陣，使 現(xiàn)在令如上性

7、質(zhì)3中證明所設(shè)的，且令，則由于可逆，故線性方程組有唯一解，設(shè)為從而由此可得； 其中 再令，于是由上 知，有 從而，即與循環(huán)矩陣相似 。幾種常用矩陣的對角化問題。1設(shè) 不是零方陣 ，若，則可對角化（楊：結(jié)論正確嗎？）。 證明：設(shè) 相似于對角矩陣，即存在可逆矩陣，使，但由于，從而有 于是，從而與矛盾。2若矩陣適合，則必可對角化。（楊：更一般：？）證明：的特征值，因此為1或-1，現(xiàn)在來證明有個線性無關(guān)的特征向量，已知，知，因此對特征值1，齊次線性方程組有個線性無關(guān)的解，而對特征值-1，同理有個線性無關(guān)的解，再由于屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。所以有個線性無關(guān)的特征向量，因此可對角化。3若矩陣，適

8、合，則必可對角化。（楊：更一般：？）證明：的特征值為1或0，也有，同上2類似方法可得。4設(shè)是一個下三角矩陣，證明： 若則可對角化。 若，而至少有一個則不可對角化。 證明：設(shè)顯然的特征值為，如果，即有 個互不相同的特征根，從而可對角化。證明：設(shè)，且至少有一個若與對角矩陣相似，由于相似矩陣有相同的特征根，而的特征值為（重根），故也為 且存在可逆矩陣，使這與至少有一個矛盾，故不可對角化。參考文獻(xiàn)：1高等教育出版社，主編：李師正，高等代數(shù)解題方法與技巧2復(fù)旦大學(xué)出版社，姚慕生編，高等代數(shù)學(xué)3高等教育出版社，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編，高等代數(shù)4山東科學(xué)技術(shù)出版社，楊子胥編，高等代數(shù)習(xí)題解5復(fù)旦大學(xué)出版社，姚慕生編，高等代數(shù)楊：收