高等代數(shù)中的問題大學(xué)畢業(yè)論文

1、 畢 業(yè) 論 文 論文題目： 高等代數(shù)中的問題 系 別 數(shù)學(xué)系 專 業(yè) 數(shù)學(xué)教育 班 級(jí) 10數(shù)教（1）班 學(xué) 號(hào) 131002005 姓 名 鐔小弛 指導(dǎo)教師 連玉平 2013年5月15 日定西師范高等?？?0級(jí)學(xué)校數(shù)學(xué)系畢業(yè)論文開題報(bào)告專業(yè)班級(jí): 數(shù)學(xué)教育一班 姓名:鐔小弛 指導(dǎo)教師:連玉平一 論文題目: 高等代數(shù)中的問題二 選題依據(jù):高等代數(shù)是代數(shù)學(xué)發(fā)展到高級(jí)階段的總稱，它包括許多分支?，F(xiàn)在大學(xué)里開設(shè)的高等代數(shù)，一般包括兩部分：線性代數(shù)初步 、多項(xiàng)式代數(shù)。三 相關(guān)理論研究綜述:高等代數(shù)在初等代數(shù)的基礎(chǔ)上研究對(duì)象進(jìn)一步的擴(kuò)充，引進(jìn)了許多新的概念以及與通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向

2、量和向量空間等。這些量具有和數(shù)相類似的運(yùn)算的特點(diǎn)，不過研究的方法和運(yùn)算的方法都更加繁復(fù)。四 研究方法:本文嘗試在對(duì)高等代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，高等代數(shù)中一些常見的問題，對(duì)矩陣的探討這三個(gè)方面作一些較深入的整理和研究以加深對(duì)代數(shù)的工具性作用的認(rèn)識(shí)五 論文結(jié)構(gòu): 一、摘要 二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型 三、小結(jié) 四、參考文獻(xiàn)六 撰寫計(jì)劃: 充分運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)思想，尋求矩陣靈活多樣的運(yùn)算思路，深入挖掘題目中的隱含條件，尋找簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑。在矩陣運(yùn)算中，學(xué)生思維受阻的一個(gè)重要原因往往是對(duì)矩陣的基本知識(shí)及其算法缺少整體的把握，所以在運(yùn)算求解時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)矩陣運(yùn)算形式相互間的有效轉(zhuǎn)換。運(yùn)用轉(zhuǎn)化方程的數(shù)學(xué)思想，去解決高

3、等代數(shù)中一些常見的問題。目 錄摘要：3關(guān)鍵詞：3一、消元法3（一）、n維向量及其性質(zhì)的引入51n維向量的引入52n維向量運(yùn)算的引入5（二）、線性相關(guān)性的引入61線性組合的引入62線性相關(guān)與線性無關(guān)的引入7（三）、極大線性無關(guān)組與秩的引入81極大線性無關(guān)組的引入82秩的引入9（四）、矩陣的引入91矩陣與矩陣的秩92矩陣的運(yùn)算10（五）消元法的回歸11二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型12三、小結(jié)14四、參考文獻(xiàn)14摘要：在學(xué)習(xí)高等代數(shù)的過程中，如果采用這樣的方式，即提出問題，然后引出解決該問題的工具、引理、定理、推論來解決問題，并舉一反三，就能更加深刻地理解高等代數(shù)相關(guān)知識(shí)、定理的內(nèi)涵，并能夠靈活運(yùn)用。下面舉

4、兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子。關(guān)鍵詞：高等代數(shù) 推論 運(yùn)用 一、消元法在線性方程組這一章中，我們討論了一般線性方程組求解的問題。所謂一般線性方程組是指形式為 （1.1）的方程組，其中代表n個(gè)未知量，s是方程的個(gè)數(shù)，(i=1,2,s,j=1,2,n)稱為方程組的系數(shù)，（j=1,2,s）稱為常數(shù)項(xiàng)。我們解方程組（1.1）一般采用消元法。在中學(xué)里我們學(xué)過用加減消元法和代入消元法解二元、三元線性方程組，分析一下不難看出，它是通過對(duì)方程的不斷變換，達(dá)到化簡(jiǎn)消元的目的。而所作的變換無非由以下三種基本變換組成：1 用一非零的數(shù)乘某一方程2 把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程3 互換兩個(gè)方程的位置這樣的三個(gè)變換我們稱之為線性方

5、程組的初等變換。事實(shí)上，消元法求解線性方程組比用行列式解方程組更具有普遍性。下面就先來介紹如何用一般消元法解一般線性方程組。對(duì)于方程組（1.1），我們首先要討論的系數(shù)。如果的系數(shù),全為零，那么方程組（1.1）對(duì)沒有任何限制，也就是說，可以取任意值。這樣，方程組（1.1）就可以看作的方程組來解。如果的系數(shù)不全為零，不妨設(shè)，為了消元化簡(jiǎn)，分別地把第一個(gè)方程的倍加到第i個(gè)方程（i=2,s）。于是方程組（1.1）就變成了 （1.2）其中，i=2,s, j=2,n再對(duì)（1.2）中的第二個(gè)方程作如上初等變換，并一步一步地作下去，最后就得到一個(gè)階梯形方程組。為了討論方便，不妨設(shè)方程組為（1.3）其中, i=

6、1,2,r可見，消元的過程的就是反復(fù)進(jìn)行初等變換的過程，實(shí)際上，初等變換總是把方程組變成同解的方程組。因此，我們通過一系列初等變換所得到的階梯型方程組（1.3），與方程組（1.1）的解相同。所以我們得到：消元法是利用同解方程組的原理，把線性方程組化簡(jiǎn)成階梯形方程組，再進(jìn)行求解的方法。現(xiàn)考察（1.3）的解的情況 (1.3)中有方程, 而，這時(shí)不管取任何值都不能使它成為等式，因此（1.3）無解。 當(dāng)是零或(1.3)中根本沒有“”的方程時(shí)，分兩種情況：1）。這時(shí)階梯形方程組為（1.4）其中，i=1,2,n. 由最后一個(gè)方程開始，的值就可以逐個(gè)地唯一地確定了。此時(shí)，方程組（1.4）也就是方程組（1.1

7、）有唯一的解。2）. 這時(shí)階梯形方程組為其中，i=1,2,r. 把它改寫成（1.5）由此可見，任給一組值，就唯一地定出的值，也就是定出方程組（1.5）的一個(gè)解。由（1.5）我們可以把通過表示出來，這樣一組表達(dá)式稱為方程組（1.1）的一般解，而稱為一組自由未知量。以上就是用一般消元法解線性方程組的整個(gè)過程，總體來說分兩步，第一步是通過一系列初等變換化線性方程組為階梯形方程組，第二步則是對(duì)方程組解的討論。在了解并掌握了消元法之后，進(jìn)一步分析消元法的步驟和原理發(fā)現(xiàn)，線性方程組這一章當(dāng)中許多內(nèi)容都可以由消元法的每一步來引入。（一）、n維向量及其性質(zhì)的引入1n維向量的引入消元法用于解線性方程組，線性方程

8、組是由多個(gè)方程組成。對(duì)于一個(gè)n元方程（2.1）為了方便研究，我們可以用一個(gè)n+1元有序數(shù)組來表示，這樣的有序數(shù)組我們稱之為向量，所謂數(shù)域P上一個(gè)n維向量就是由數(shù)域P中n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組。那么對(duì)于n元方程（2.2）我們可以用n+1維向量來表示。如果方程（2.1） 和方程（2.2）中的未知量系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都對(duì)應(yīng)相等，此時(shí)它們表示同一個(gè)方程，那么向量和是相等的。因?yàn)槲覀兊玫剑喝绻麅蓚€(gè)n維向量的對(duì)應(yīng)分量都相等，就稱這兩個(gè)向量是相等的。2n維向量運(yùn)算的引入之前我們已經(jīng)介紹了初等變換，對(duì)一般線性方程組進(jìn)行初等變換的過程，實(shí)際上體現(xiàn)的是方程之間的關(guān)系，研究方程之間的關(guān)系可以借助n維向量。因此，由初等變換我們

9、對(duì)應(yīng)引入向量的運(yùn)算。1） 用一非零的數(shù)乘某一方程向量的數(shù)乘運(yùn)算設(shè)k為數(shù)域P中的數(shù)，用k乘以方程（2,1），得到新方程 （2.3）其對(duì)應(yīng)的n+1維向量為，我們稱之為向量=與數(shù)k的數(shù)量乘積，記為。2） 把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程向量加法如果將方程（2.1）和方程（2.2）相加，就得到新方程（2.4）對(duì)應(yīng)的向量為，我們稱之為向量=，=的和，記為+。這樣，通過引入向量的加法和數(shù)量乘法，我們可以得到有關(guān)向量的一些其它的概念和性質(zhì)。=稱為的負(fù)向量；+（）=稱為零向量+=+(交換律)+=(結(jié)合律)消元法解線性方程組實(shí)際上體現(xiàn)的是方程組之間的關(guān)系，我們已經(jīng)給出了向量的定義和運(yùn)算法則，并知道方程組可以由向量

10、組來表示，因此，我們需要進(jìn)一步來研究向量之間的關(guān)系。（二）、線性相關(guān)性的引入1線性組合的引入在消元法中，對(duì)線性方程組進(jìn)行初等變換，即一次次將某一方程的倍數(shù)加到其它方程的過程，最終結(jié)果是化成階梯形方程組。換言之，階梯形方程組中的每一個(gè)n元方程，都是由原方程組中的方程變換得到的。設(shè)在方程組（1.1）中，每一個(gè)n元方程分別用,來表示， 在階梯形方程組（1.3）中，每一個(gè)n元方程分別用,.,來表示，則有（3.1）在方程中，我們可以看到，每一個(gè)（i=2,3,n）都可以由以及對(duì)應(yīng)的表示出來，而都可以表示通過代換表示成關(guān)于,的一個(gè)組合，因此（i=2,3,n）也可以表示成,的組合。我們得到：如果有數(shù)域P中的數(shù)

11、,使+（3.2）則向量稱為向量組,的一個(gè)線性組合，我們也說可以經(jīng)向量組,線性表出。進(jìn)一步，如果向量組,每一個(gè)向量（i=1,2,t）都可以經(jīng)向量組,線性表出，那么向量組,就稱為可以經(jīng)向量組,線性表出。對(duì)于線性方程組（1.1），引入向量, ,于是線性方程組（1.1）可以改寫成向量方程（3.3）顯然，線性方程組（1.1）有解的充分必要條件為向量可以表示成向量組, 的線性組合。最后，消元法是利用同解方程組的原理，對(duì)應(yīng)向量而言，我們之前已經(jīng)說明了每一個(gè)(i=1,2,n)，都可以由,線性表出，而由方程組（3.1）我們可以看出，每一個(gè)向量(i=1,2,n)，同樣可以由線性表出，于是我們規(guī)定，如果兩個(gè)向量組互

12、相可以線性表出，它們就稱為等價(jià)。由等價(jià)的定義我們可以得出，等價(jià)有以下的性質(zhì)：1）反身性：每一個(gè)向量組都與它自身等價(jià)。2）對(duì)稱性：如果向量組, 與,等價(jià)，那么向量組,也與, 等價(jià)3）傳遞性：如果向量組, 與,等價(jià)，,與等價(jià)，那么向量組, 與等價(jià)。2線性相關(guān)與線性無關(guān)的引入對(duì)方程組（3.1），當(dāng)時(shí)，我們得到在對(duì)應(yīng)的階梯形方程組中，存在“”的方程。這說明存在一組不全為零的數(shù),，使得=,+=0（3.3）我們稱向量組,是線性相關(guān)的。由于,不全為零，不妨設(shè)，由（3.3）我們可以得到= （3.4）于是得到線性相關(guān)的另一種定義方法，即如果向量組,(n)中有一個(gè)向量可以由其余向量線性表出，那么向量組,稱為線性相

13、關(guān)的。在階梯形方程組中，如果不存在“”的方程，那即不存在不全為零的數(shù),，使得,+=0于是我們稱向量組,線性無關(guān)。于是我們可以推出，如果一向量組的一部分線性相關(guān)，那么這個(gè)向量組就線性相關(guān)，換個(gè)說法，如果一向量組線性無關(guān)，那么它的任何一個(gè)非空的部分組也線性無關(guān)。（三）、極大線性無關(guān)組與秩的引入1極大線性無關(guān)組的引入之前我們已經(jīng)引入了向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念，當(dāng)一個(gè)向量組中含有零向量時(shí)，這個(gè)向量組顯然是線性相關(guān)的。對(duì)于階梯形方程組（1.3），每一個(gè)n元方程分別用,.,來表示。1） 當(dāng)方程組中不存在“”的方程時(shí)，向量組,.,線性無關(guān)，此時(shí)方程組中每一個(gè)方程都決定方程組的解，這樣的方程稱為有效方程

14、。2） 當(dāng)方程組中存在“”的方程時(shí)，則向量組,.,線性相關(guān)，對(duì)于方程組的解而言，所有“”的方程是沒有意義的，只需研究非“”的方程，也即研究有效方程。所以在表示階梯形方程組的向量組,.,中，我們應(yīng)該重點(diǎn)考察研究非零向量。不妨設(shè)向量組,.,中非零向量為,.,，則 ,.,為零向量。我們不難發(fā)現(xiàn)，向量組,.,有這樣的特點(diǎn)：,.,線性無關(guān)從這個(gè)向量組中任意添加,.,中的一個(gè)向量，所得的部分向量組都線性相關(guān)。這樣，我們便得到了極大線性無關(guān)組的定義：一向量組的一個(gè)部分組稱為一個(gè)極大線性無關(guān)組，如果這個(gè)部分組本身是線性無關(guān)的，并且從這向量組中任意添一個(gè)向量（如果還有的話），所得的部分向量組都線性相關(guān)。換句話說

15、，向量組的極大線性無關(guān)組等價(jià)于方程個(gè)數(shù)最少的有效方程組。對(duì)于情況1），向量組,.,線性無關(guān)，它的極大線性無關(guān)組就是這個(gè)向量組自身。2秩的引入用消元法解一般線性方程組，首先用初等變換化線性方程組為階梯形方程組，把最后的一些恒等式“”（如果出現(xiàn)的話）去掉。如果剩下的方程當(dāng)中最后的一個(gè)等式是零等于一非零的數(shù)，那么方程組無解，否則有解。在有解的情況下，如果階梯形方程組中方程的個(gè)數(shù)r等于未知量的個(gè)數(shù)，那么方程組有唯一的解；如果階梯形方程組中方程的個(gè)數(shù)r小于未知量的個(gè)數(shù)，那么方程組就有無窮多個(gè)解?？梢姡谟薪獾那闆r下，階梯形方程組中有效方程的個(gè)數(shù)決定了線性方程組有唯一解還是無窮解。若將階梯形方程組以向量的

16、形式表示，那么有效方程的個(gè)數(shù)就相當(dāng)于極大線性無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)，我們稱其為這個(gè)向量組的秩。因此，若向量組的秩r等于未知量的個(gè)數(shù)，那么方程組有唯一解；若向量組的秩r小于未知量的個(gè)數(shù)，那么方程組有無窮解。（四）、矩陣的引入1矩陣與矩陣的秩我們知道，一個(gè)n元方程可以由一個(gè)n+1維向量表示，一個(gè)線性方程組可以由多個(gè)向量表示出來，為了研究方便，我們把多個(gè)向量寫成緊湊的形式，這樣的形式稱為矩陣。如果知道了一個(gè)線性方程組的全部系數(shù)，我們就得到了它的系數(shù)矩陣；如果知道了一個(gè)線性方程組的全部系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，我們就得到了它的增廣矩陣。例如方程組（1.1），其系數(shù)矩陣為增廣矩陣為對(duì)于一個(gè)矩陣，我們可以把矩陣的每一

17、行看成一個(gè)向量，那么矩陣就可以認(rèn)為是由這些行向量組成的。同樣，如果把每一列看成一個(gè)向量，那么矩陣也可以認(rèn)為是由列向量組成的。我們把矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩，把的列向量組的秩稱為矩陣的列秩。對(duì)于方程組(1.3)，如果有方程, 而，那么對(duì)應(yīng)增廣矩陣的秩為r+1，系數(shù)矩陣的秩為r，方程組無解。如果是零或(1.3)中根本沒有“”的方程，對(duì)應(yīng)增廣矩陣的秩和系數(shù)矩陣的秩都為r。r=n時(shí)，方程有唯一解，rn時(shí)，方程有無窮多個(gè)解2矩陣的運(yùn)算我們已經(jīng)引入了矩陣，現(xiàn)在來討論矩陣之間的關(guān)系矩陣的運(yùn)算。設(shè)A=B=1）矩陣的加法當(dāng)兩個(gè)矩陣的行數(shù)、列數(shù)分別相等時(shí)，我們可以定義矩陣的加法。它的法則是將對(duì)應(yīng)元素相加，

18、即：C=A+B=顯然，矩陣的加法滿足結(jié)合律：A+(B+C)=(A+B)+C交換律：A+B=B+A-A=稱為A的負(fù)矩陣，元素全為零的矩陣稱為零矩陣。2）矩陣的數(shù)量乘法如果用數(shù)k乘矩陣A，我們得到kA=我們稱之為矩陣A=與數(shù)k的數(shù)量乘積，它滿足如下性質(zhì)： 3)矩陣的乘法已知兩個(gè)矩陣，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，我們可以定義矩陣的乘法。設(shè)A=，B=，那么矩陣C=其中=稱為A與B的乘積，記為C=AB，矩陣的乘法不適合交換律。4）轉(zhuǎn)置矩陣設(shè)矩陣則矩陣稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣。一個(gè)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣還是它本身，即?？梢姡粋€(gè)矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣互為轉(zhuǎn)置矩陣。轉(zhuǎn)置矩陣滿足：這樣，我們就把線性方

19、程組與矩陣完全對(duì)應(yīng)起來，消元法的每一步也可以由矩陣的形式來進(jìn)行。（五）消元法的回歸1） 化階梯形方程組化階梯形矩陣將一般線性方程組（1.1）用它的增廣矩陣表示出來，即由于線性方程組對(duì)應(yīng)矩陣，因此線性方程組的初等變換對(duì)應(yīng)矩陣的行初等變換。即：1用一非零的數(shù)乘矩陣的某一行2把某一行的倍數(shù)加到另一行3互換兩行的位置對(duì)增廣矩陣進(jìn)行一系列的初等變換之后，便得到了一個(gè)階梯形矩陣2）利用階梯形矩陣對(duì)方程組的解進(jìn)行討論： ，顯然增廣矩陣的秩為r+1，系數(shù)矩陣的秩為r，增廣矩陣與系數(shù)矩陣的秩不同，線性方程組無解。 ，這時(shí)，增廣矩陣與系數(shù)矩陣的秩都為r，方程有解。當(dāng)r=n時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)rn時(shí)，方程組有無窮

20、多個(gè)解。這樣，我們由消元法的步驟和原理，引入了n維向量、線性相關(guān)性和矩陣得相關(guān)概念，最后又利用矩陣的形式重現(xiàn)了消元法的過程，對(duì)消元法解一般線性方程組有了較深刻的認(rèn)識(shí)。二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型在二次型這一章中，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形是一個(gè)基礎(chǔ)問題，對(duì)這個(gè)問題我們一般采用配方法、初等變換法以及正交變換法。然而我們很少有人去了解，為什么要掌握二次型化標(biāo)準(zhǔn)型的方法。事實(shí)上，二次型理論起源于解析幾何中的化二次曲線和二次曲面方程為標(biāo)準(zhǔn)形的問題。二次曲面的一般方程為： （1）其中都是實(shí)數(shù)。我們記 其中，利用二次型的表示方法，方程（1）可表示成下列形式：（2）為研究一般二次曲面的形態(tài)，我們需將二次曲面的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)

21、準(zhǔn)方程，為此分兩步進(jìn)行。第一步，利用正交變換x = Py 將方程（2）左邊的二次型xAx的部分化成標(biāo)準(zhǔn)形：其中P為正交矩陣，y =(x, y, z), 相應(yīng)地有于是方程（2）可化為（3）第二步，作平移變換將方程（3）化為標(biāo)準(zhǔn)方程，其中這里只要用配方法就能找到所用的平移變換。以下對(duì)是否為零進(jìn)行討論：1 當(dāng) 用配方法將方程（3）化為標(biāo)準(zhǔn)方程：（4）根據(jù)與d的正負(fù)號(hào)，可具體確定方程（4）表示什么曲面。例如當(dāng)與d同號(hào)，則方程（4）表示橢球面。2 當(dāng)中有一個(gè)為0，設(shè)，方程（3）可化為：（5）（6）根據(jù)與d的正負(fù)號(hào)，可具體確定方程（5）、（6）表示什么曲面。例如當(dāng)同號(hào)時(shí)，方程（5）表示橢圓拋物面。當(dāng)異號(hào)時(shí)，方程（5）表示雙曲拋物面，（6）表示柱面3 當(dāng)中有兩個(gè)為0，不妨設(shè)方程（3）可化為下列情況之一：（a）此時(shí)，再作新的坐標(biāo)變換：（實(shí)際上是繞軸的旋轉(zhuǎn)變換），方程可化為：表示拋物柱面表示拋物柱面表示拋物柱面 若與d異號(hào)，表示兩個(gè)平行平面；若與d同號(hào)，圖形無實(shí)點(diǎn)；若d=0，表示yoz坐標(biāo)面。以上便是二次型在二次曲面研究中的應(yīng)用，通過學(xué)習(xí)知識(shí)，使我們了解到了掌握將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型的方法和目的。二次型討論的對(duì)象是多元二次齊次函數(shù)，這種函