高數(shù)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)21609

1、高等數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)第七章 微分方程一階微分方程一般地，如果一個(gè)一階微分方程能寫(xiě)成：解法：兩邊積分齊次方程的解法作代換，則，于是一階線性微分方程方程 若，稱(chēng)為齊次的；可分離變量的微分方程求得其解 若，稱(chēng)為非齊次的，利用常數(shù)變易法，用代替，即于是， 代入得故 可降階的高階1、 型多次積分2、 令 特點(diǎn) 含有，不含，則 ，于是可將其化成一階微分方程。3、 令 特點(diǎn) 不顯含，則 ，于是可將其化為一階微分方程。高階微分方程解的結(jié)構(gòu)（76）定理2、3二階常系數(shù)線性微分方程（P334）齊次：，寫(xiě)特征方程，P335非齊次（P342）：，=，y=Y+y*，令（k=0,1,2）齊次通解非特解 第八章 空間解析幾何

2、與向量代數(shù)利用坐標(biāo)做向量的運(yùn)算：設(shè)，則 , ； 1） 向量的模：；2） 兩點(diǎn)間的距離公式：3） 方向余弦：4） 投影：，其中為向量與的夾角。（一） 數(shù)量積，向量積1、 數(shù)量積：1）2）2、 向量積：大?。海较颍悍嫌沂忠?guī)則1）2）運(yùn)算律：反交換律 （二） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：2、 旋轉(zhuǎn)曲面：面上曲線，繞軸旋轉(zhuǎn)一周：繞軸旋轉(zhuǎn)一周：3、 柱面：表示母線平行于軸，準(zhǔn)線為的柱面4、 二次曲面1） 橢圓錐面：2） 橢球面：旋轉(zhuǎn)橢球面：3） 單葉雙曲面：4） 雙葉雙曲面：5） 橢圓拋物面：6） 雙曲拋物面（馬鞍面）：7） 橢圓柱面：8） 雙曲柱面：9） 拋物柱面：（三） 空間曲線及其方程1

3、、 一般方程：2、 參數(shù)方程：，如螺旋線：3、 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影，消去，得到曲線在面上的投影（四） 平面及其方程1、 點(diǎn)法式方程： 法向量：，過(guò)點(diǎn)2、 一般式方程：截距式方程：3、 兩平面的夾角：， 4、 點(diǎn)到平面的距離：（五） 空間直線及其方程1、 一般式方程：2、 對(duì)稱(chēng)式（點(diǎn)向式）方程： 方向向量：，過(guò)點(diǎn)3、 參數(shù)式方程：4、 兩直線的夾角：， 5、 直線與平面的夾角：直線與它在平面上的投影的夾角， 第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1、 多元函數(shù)：，圖形：2、 極限：3、 連續(xù)：4、 偏導(dǎo)數(shù)：5、 方向?qū)?shù)： 其中為的方向角。6、 梯度：，則。7、 全微分：設(shè)，則（一） 性質(zhì)1、 函

4、數(shù)可微，偏導(dǎo)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，函數(shù)連續(xù)等概念之間的關(guān)系：偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)充分條件必要條件定義122342、 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1） 定義： 2） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌t 若，則 ，3） 隱函數(shù)求導(dǎo)：兩邊求偏導(dǎo)，然后解方程（組）（二） 應(yīng)用1、 極值1） 無(wú)條件極值：求函數(shù)的極值解方程組 求出所有駐點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)，令， 若，函數(shù)有極小值，若，函數(shù)有極大值； 若，函數(shù)沒(méi)有極值； 若，不定。2） 條件極值：求函數(shù)在條件下的極值令： Lagrange函數(shù)解方程組 2、 幾何應(yīng)用1） 曲線的切線與法平面曲線，則上一點(diǎn)（對(duì)應(yīng)參數(shù)

5、為）處的切線方程為：法平面方程為：2） 曲面的切平面與法線曲面，則上一點(diǎn)處的切平面方程為： 法線方程為：第十章 重積分（一） 二重積分1、 定義：2、 性質(zhì)：（6條）3、 幾何意義：曲頂柱體的體積。4、 計(jì)算：1） 直角坐標(biāo)，2） 極坐標(biāo) （二） 三重積分1、 定義： 2、 性質(zhì)：3、 計(jì)算：1） 直角坐標(biāo) -“先一后二” -“先二后一”2） 柱面坐標(biāo)，3） 球面坐標(biāo)（三） 應(yīng)用曲面的面積：第十一章 曲線積分與曲面積分（一） 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分1、 定義：2、 性質(zhì)：1） 2） 3）在上，若，則4） ( l 為曲線弧 L的長(zhǎng)度)3、 計(jì)算：設(shè)在曲線弧上有定義且連續(xù)，的參數(shù)方程為，其中在上具有一階

6、連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則（二） 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1、 定義：設(shè) L 為面內(nèi)從 A 到B 的一條有向光滑弧，函數(shù)，在 L 上有界，定義，.向量形式：2、 性質(zhì)： 用表示的反向弧 , 則3、 計(jì)算：設(shè)在有向光滑弧上有定義且連續(xù), 的參數(shù)方程為，其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則4、 兩類(lèi)曲線積分之間的關(guān)系：設(shè)平面有向曲線弧為，上點(diǎn)處的切向量的方向角為：，則.（三） 格林公式1、格林公式：設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成，函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 則有2、為一個(gè)單連通區(qū)域，函數(shù)在上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則 曲線積分 在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)曲線積分 在內(nèi)為某一個(gè)函數(shù)的全微分（四） 對(duì)面積的曲面積分1、

7、 定義：設(shè)為光滑曲面，函數(shù)是定義在上的一個(gè)有界函數(shù)，定義 2、 計(jì)算：“一單二投三代入”，則（五） 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1、 預(yù)備知識(shí)：曲面的側(cè)，曲面在平面上的投影，流量2、 定義：設(shè)為有向光滑曲面，函數(shù)是定義在上的有界函數(shù)，定義 同理，3、 性質(zhì)：1），則2）表示與取相反側(cè)的有向曲面 , 則4、 計(jì)算：“一投二代三定號(hào)”，在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在上連續(xù)，則,為上側(cè)取“ + ”， 為下側(cè)取“ - ”.5、 兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系：其中為有向曲面在點(diǎn)處的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、 高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面所圍成, 的方向取外側(cè), 函數(shù)在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則有或2、

8、通量與散度通量：向量場(chǎng)通過(guò)曲面指定側(cè)的通量為：散度：（七） 斯托克斯公式1、 斯托克斯公式：設(shè)光滑曲面 S 的邊界 G是分段光滑曲線, S 的側(cè)與 G 的正向符合右手法則, 在包含 在內(nèi)的一個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 則有為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫(xiě)作:2、 環(huán)流量與旋度環(huán)流量：向量場(chǎng)沿著有向閉曲線G的環(huán)流量為旋度：第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)（一） 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、 定義：1）無(wú)窮級(jí)數(shù)：部分和：，正項(xiàng)級(jí)數(shù)：，交錯(cuò)級(jí)數(shù)：，2）級(jí)數(shù)收斂：若存在，則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂，否則稱(chēng)級(jí)數(shù)發(fā)散3）條件收斂：收斂，而發(fā)散；絕對(duì)收斂：收斂。2、 性質(zhì)：1） 改變有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的收斂性；2） 級(jí)數(shù)，收斂，則收斂；3） 級(jí)數(shù)

9、收斂，則任意加括號(hào)后仍然收斂；4） 必要條件：級(jí)數(shù)收斂.（注意：不是充分條件?。?、 審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)：，1） 定義：存在；2） 收斂有界；3） 比較審斂法：，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 若收斂，則收斂；若發(fā)散，則發(fā)散.4） 比較法的推論：，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，而收斂，則收斂；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，而發(fā)散，則發(fā)散. 5） 比較法的極限形式：，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，而收斂，則收斂；若或，而發(fā)散，則發(fā)散.6） 比值法：為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.7） 根值法：為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；則當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.8） 極限審斂法：為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若或，則級(jí)數(shù)發(fā)散；若存在，使得，則級(jí)數(shù)收斂.交錯(cuò)級(jí)數(shù)：萊布尼茨審斂法：交錯(cuò)級(jí)數(shù)：，滿足：，且，則級(jí)數(shù)收斂。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：絕對(duì)收斂，則收斂。常見(jiàn)典型級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù)：p -級(jí)數(shù)：（二） 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、 定義：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，收斂域，收斂半徑，和函數(shù)；2、 冪級(jí)數(shù)：收斂半徑的求法：，則收斂半徑 3、 泰勒級(jí)數(shù) 展開(kāi)步驟：（直接展開(kāi)法）1） 求出；2） 求出；3） 寫(xiě)出；4） 驗(yàn)證是否成立。間接展開(kāi)法：（利用已知函數(shù)的展開(kāi)式）1）；2）；3）；4）；5）6）7）8）4、 傅里葉級(jí)數(shù)1） 定義：正交系：函數(shù)系中任何不同的兩個(gè)函數(shù)的乘積在區(qū)間上積分為零。傅里葉級(jí)數(shù)：系數(shù)：