高中數(shù)學(xué)完整講義——空間向量與立體幾何空間向量的基本定理與分解

1、板塊一.空間向量的基本定理與分解典例分析【例1】 關(guān)于空間向量的四個(gè)命題中正確的是（ ）A若，則、三點(diǎn)共線B若，則、四點(diǎn)共面C為直角三角形的充要條件是D若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底【例2】 在平行六面體中，下列四對(duì)向量：與；與；與；與其中互為相反向量的有對(duì)，則（ ）A B C D【例3】 已知正方體中，若，則 ， 【例4】 空間四邊形中，點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，則 _（用向量來表示）【例5】 棱長為的正四面體中，的值等于 【例6】 已知空間四邊形，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，且，用，表示，則_【例7】 平行六面體中，為和的交點(diǎn)，設(shè)，化簡：；【例8】 設(shè)是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足，則（ ）A

2、鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D三種都有可能【例9】 已知空間四邊形中，求證：【例10】 如圖，在空間四面體中，、分別為邊、的中點(diǎn)， 化簡下列各表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量：；【例11】 已知和是非零向量，且=，求與的夾角【例12】 已知兩個(gè)非零向量不共線，如果，求證：共面；【例13】 已知三點(diǎn)不共線，對(duì)空間中一點(diǎn)，滿足條件，試判斷：點(diǎn)與是否一定共面？【例14】 設(shè)四面體的對(duì)邊，的中點(diǎn)分別為，；，的中點(diǎn)分別為，；，的中點(diǎn)分別為，時(shí)，試證明三線段，的中點(diǎn)重合【例15】 已知斜三棱柱，設(shè)，在面對(duì)角線和棱上分別取點(diǎn)和，使得，求證：與向量共面【例16】 如圖所示，在平行六面體中，是的中點(diǎn)

3、，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，設(shè)，用基底表示以下向量：；【例17】 已知空間四邊形，連結(jié)，設(shè)分別是的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：；【例18】 已知三棱錐，、分別是棱、的中點(diǎn)，求：直線與所成角的余弦值【例19】 已知是邊長為的正三角形所在平面外一點(diǎn)，且，分別是，的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值【例20】 已知平行六面體，如圖，在面對(duì)角線，上分別取點(diǎn)，使，記，若，用基底表示向量、求證：向量與向量，共面【例21】 已知三個(gè)非零向量不共面，求證：這三個(gè)向量共面；【例22】 設(shè)點(diǎn)為空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)是空間不共線的三點(diǎn)，又點(diǎn)滿足等式：， 其中， 求證：四點(diǎn)共面的充要條件是【例23】 如圖，在空間四邊形中，求與的夾角的余弦值【例24】 如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)分別是對(duì)角線的中點(diǎn)求證：平面【例25】 已知三點(diǎn)不共線，對(duì)空間中一點(diǎn)，滿足條件，試判斷：點(diǎn)與是否一定共面？【例26】 如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線，分別是對(duì)邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，用基底向量表示向量【例27】 如圖，在四面體中，分別為邊的中點(diǎn)，為的重心求證：記，用基底表示向量