高中新課程數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教A選修回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

1、3.2 回歸分析(1)教學(xué)目標(biāo)（1）通過實例引入線性回歸模型，感受產(chǎn)生隨機誤差的原因；（2）通過對回歸模型的合理性等問題的研究，滲透線性回歸分析的思想和方法；（3）能求出簡單實際問題的線性回歸方程教學(xué)重點，難點線性回歸模型的建立和線性回歸系數(shù)的最佳估計值的探求方法教學(xué)過程一問題情境1 情境：對一作直線運動的質(zhì)點的運動過程觀測了次，得到如下表所示的數(shù)據(jù)，試估計當(dāng)x=時的位置y的值時刻/s位置觀測值/cm根據(jù)數(shù)學(xué)（必修）中的有關(guān)內(nèi)容，解決這個問題的方法是：先作散點圖，如下圖所示：從散點圖中可以看出，樣本點呈直線趨勢，時間與位置觀測值y之間有著較好的線性關(guān)系因此可以用線性回歸方程來刻畫它們之間的關(guān)系

2、根據(jù)線性回歸的系數(shù)公式，可以得到線性回歸方為，所以當(dāng)時，由線性回歸方程可以估計其位置值為2問題：在時刻時，質(zhì)點的運動位置一定是嗎？二學(xué)生活動思考，討論：這些點并不都在同一條直線上，上述直線并不能精確地反映與之間的關(guān)系，的值不能由完全確定，它們之間是統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系，的實際值與估計值之間存在著誤差三建構(gòu)數(shù)學(xué)1線性回歸模型的定義：我們將用于估計值的線性函數(shù)作為確定性函數(shù)；的實際值與估計值之間的誤差記為，稱之為隨機誤差；將稱為線性回歸模型說明：（1）產(chǎn)生隨機誤差的主要原因有：所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差；忽略了某些因素的影響；存在觀測誤差 （2）對于線性回歸模型，我們應(yīng)該考慮下面兩個問題： 模型是否

3、合理（這個問題在下一節(jié)課解決）； 在模型合理的情況下，如何估計，？2探求線性回歸系數(shù)的最佳估計值：對于問題，設(shè)有對觀測數(shù)據(jù)，根據(jù)線性回歸模型，對于每一個，對應(yīng)的隨機誤差項，我們希望總誤差越小越好，即要使越小越好所以，只要求出使取得最小值時的，值作為，的估計值，記為，注：這里的就是擬合直線上的點到點的距離用什么方法求，？回憶數(shù)學(xué)3（必修）“24線性回歸方程”P71“熱茶問題”中求，的方法：最小二乘法利用最小二乘法可以得到，的計算公式為，其中，由此得到的直線就稱為這對數(shù)據(jù)的回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程其中，分別為，的估計值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值在前面質(zhì)點運動的線性回歸方程

4、中，3 線性回歸方程中，的意義是：以為基數(shù)，每增加1個單位，相應(yīng)地平均增加個單位；4 化歸思想（轉(zhuǎn)化思想）在實際問題中，有時兩個變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，這就需要我們根據(jù)專業(yè)知識或散點圖，對某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)下面列舉出一些常見的曲線方程，并給出相應(yīng)的化為線性回歸方程的換元公式 （1），令，則有 （2），令，則有 （3），令，則有 （4），令，則有 （5），令，則有四數(shù)學(xué)運用1例題：例1下表給出了我國從年至年人口數(shù)據(jù)資料，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計我國年的人口數(shù)年份人口數(shù)/百萬解：為了簡化數(shù)據(jù)，先將年份減去，并將所得值用表示，對

5、應(yīng)人口數(shù)用表示，得到下面的數(shù)據(jù)表：作出個點構(gòu)成的散點圖，由圖可知，這些點在一條直線附近，可以用線性回歸模型來表示它們之間的關(guān)系根據(jù)公式（1）可得這里的分別為的估計值，因此線性回歸方程為由于年對應(yīng)的,代入線性回歸方程可得（百萬），即年的人口總數(shù)估計為13.23億.例2 某地區(qū)對本地的企業(yè)進行了一次抽樣調(diào)查，下表是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本（萬元）與人均產(chǎn)出（萬元）的數(shù)據(jù)：人均資本/萬元人均產(chǎn)出/萬元 （1）設(shè)與之間具有近似關(guān)系（為常數(shù)），試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計和的值； （2）估計企業(yè)人均資本為萬元時的人均產(chǎn)出（精確到）分析：根據(jù)，所具有的關(guān)系可知，此問題不是線性回歸問題，不能直接用線性回歸方程處理但由對數(shù)運算的性質(zhì)可知，只要對的兩邊取對數(shù)，就能將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系解（1）在的兩邊取常用對數(shù)，可得，設(shè)，則相關(guān)數(shù)據(jù)計算如圖所示1人均資本/萬元345.56.578910.511.5142人均產(chǎn)出/萬元4.124.678.6811.0113.0414.4317.525.4626.6645.230.477120.602060.740360.812910.84510.903090.954241.021191.06071.1461340.61490.669320.938521.041791.115281.159271.243041.405861.425861.65