高二數(shù)學(xué)直線與圓錐曲線新課標(biāo)

1、高二數(shù)學(xué)直線與圓錐曲線【考點(diǎn)歸納】直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.熟練運(yùn)用圓錐曲線弦長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算及論證；善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，借助韋達(dá)定理、二次方程根的判別式，將直線與圓錐曲線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程的實(shí)根分布加以討論1.討論直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立成方程組，消去y得關(guān)于x的方程，

2、討論得關(guān)于x的方程解析的情況對(duì)應(yīng)得到直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一般注意以下三點(diǎn)：（）要注意與兩種情況，只有時(shí)，才可用判別式來確定解析的個(gè)數(shù)；（2）直線與圓錐曲線相切時(shí)，一定有；.（3）直線與圓錐曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，不一定相切對(duì)橢圓來講，一定相切；對(duì)雙曲線來講，除了相切，還有一種相交，此時(shí)此時(shí)直線與漸近線平行，直線與雙曲線的一支相交有一個(gè)交點(diǎn)；對(duì)拋物線來說，除了相切，還有一種相交，此時(shí)此時(shí)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行只有一個(gè)交點(diǎn)直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解析成實(shí)數(shù)解析的個(gè)數(shù)問題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.2直線與圓錐曲

3、線有兩個(gè)相異的公共點(diǎn)，表示直線與圓錐曲線相交，此時(shí)直線被圓錐曲線截得的線段稱為圓錐曲線的弦當(dāng)弦所在直線的斜率k存在時(shí)利用兩點(diǎn)距離公式及斜率公式得 弦長(zhǎng)公式為：，或當(dāng)弦所在直線的斜率k存在且非零時(shí)，弦長(zhǎng)公式可表示為：當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)：涉及弦長(zhǎng)問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式)；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.例1、如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A)且

4、交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求AMN的最大面積.解析由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,5m0, 由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N， 方程的判別式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范圍為(5，0) , 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=42m，x1·x2=m2,|MN|=4, 點(diǎn)A到直線l的距離為d=. S=2(5+m),從而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)·(5+m)(5+m)2()3=128.S8,當(dāng)且僅當(dāng)22m=5+m,即m=1時(shí)取等號(hào).

5、故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8 .總結(jié)與提高直線與圓錐曲線相交，一個(gè)重要的問題就是有關(guān)弦長(zhǎng)的問題.本題考查處理直線與圓錐曲線相交問題的第一種方法“韋達(dá)定理法” 知識(shí)依托：弦長(zhǎng)公式、三角形的面積公式、不等式法求最值、函數(shù)與方程的思想. 錯(cuò)解分析：將直線方程代入拋物線方程后，沒有確定m的取值范圍.不等式法求最值忽略了適用的條件. 技巧與方法：涉及弦長(zhǎng)問題，應(yīng)熟練地利用韋達(dá)定理設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)，涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求簡(jiǎn)化運(yùn)算.例2、 已知雙曲線C：2x2y2=2與點(diǎn)P(1，2)(1)求過P(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒有交

6、點(diǎn).(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.解析(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線 1C .當(dāng)l的斜率存在時(shí)， 設(shè)直線l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 ()當(dāng)2k2=0,即k=±時(shí)，方程 有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)()當(dāng)2k20,即k±時(shí)=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當(dāng)=0,即32k=0,k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0,即k,又k±,故當(dāng)k或k或k時(shí)，方程 有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0，即k時(shí)，方程 無解，

7、l與C無交點(diǎn).綜上知：當(dāng)k=±,或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k,或k,或k時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l與C沒有交點(diǎn).(2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2) 又x1+x2=2,y1+y2=2 , 2(x1x2)=y1y1 , 即kAB=2但漸近線斜率為±,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在.總結(jié)與提高 第一問考查直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，歸結(jié)為方程組解的問題. 第二問考查處理直

8、線與圓錐曲線問題的第二種方法“差分法”，知識(shí)依托：二次方程根的個(gè)數(shù)的判定、兩點(diǎn)連線的斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式. 錯(cuò)解分析：第一問，求二次方程根的個(gè)數(shù)，忽略了二次項(xiàng)系數(shù)的討論.第二問，算得以Q為中點(diǎn)弦的斜率為2，就認(rèn)為所求直線存在了.技巧與方法：涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.例3、如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1(4，0)、F2(4，0)，過點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.(1)求該弦橢

9、圓的方程；(2)求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.解析利用橢圓的定義、等差數(shù)列的定義，處理直線與圓錐曲線的方法. (1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3 故橢圓方程為=1.(2)由點(diǎn)B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=.因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得 (x1)+(x2)=2×,由此得出：x1+x2=8. 設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P(x0,y0),則x0=4.(3)

10、解析法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上.得 , 得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9×=0(x1x2) 將 (k0)代入上式，得9×4+25y0()=0(k0) 即k=y0(當(dāng)k=0時(shí)也成立).由點(diǎn)P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0y0=y0.由點(diǎn)P(4，y0)在線段BB(B與B關(guān)于x軸對(duì)稱)的內(nèi)部，得y0,所以m.解析法二：因?yàn)橄褹C的中點(diǎn)為P(4,y0)，所以直線AC的方程為yy0=(x4)(k0) , 將代入橢圓方程=1,得(9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)225&#

11、215;9k2=0所以x1+x2=8,解析得k=y0.(當(dāng)k=0時(shí)也成立)(以下同解析法一).總結(jié)與提高本題考查直線、橢圓、等差數(shù)列等基本知識(shí)，一、二問較簡(jiǎn)單，第三問巧妙地借助中垂線來求參數(shù)的范圍，設(shè)計(jì)新穎，綜合性，靈活性強(qiáng) . 第三問在表達(dá)出“k=y0”時(shí)，忽略了“k=0”時(shí)的情況，理不清題目中變量間的關(guān)系.技巧與方法：第一問利用橢圓的第一定義寫方程；第二問利用橢圓的第二定義(即焦半徑公式)求解析，第三問利用m表示出弦AC的中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y0,利用y0的范圍求m的范圍.例4、(2004年北京春卷18) 已知點(diǎn)A（2，8），在拋物線上，的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合（如圖） （I）寫出該拋物線的

12、方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)； （II）求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)； （III）求BC所在直線的方程解 （I）由點(diǎn)A（2，8）在拋物線上，有, 解得. 所以拋物線方程為，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（8，0） （II）如圖，由F（8，0）是的重心，M是BC的中點(diǎn)，所以F是線段AM的定比分點(diǎn)，且 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則 解得 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（III）由于線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸 設(shè)BC所成直線的方程為 由消x得 所以 由（II）的結(jié)論得 , 解得 ,因此BC所在直線的方程為 即 .總結(jié)與提高本題主要考查直線、拋物線等基本知識(shí)，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力.例5、(2004年

13、天津卷理22) 橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn) （1）求橢圓的方程及離心率； （2）若，求直線PQ的方程；（3）設(shè)（），過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明解析（1）由題意，可設(shè)橢圓的方程為由已知得 解得. 所以橢圓的方程為，離心率（2）解由（1）可得A（3，0）設(shè)直線PQ的方程為由方程組 得依題意，得設(shè)，則 ， 由直線PQ的方程得于是 ， 由、得，從而所以直線PQ的方程為或（3）證明：由已知得方程組 注意，解得 因，故 而，所以.例6、(2004年全國卷21)設(shè)橢圓的兩

14、個(gè)焦點(diǎn)是與(c>0),且橢圓上存在點(diǎn)P,使得直線PP1與直線PF2垂直. ()求實(shí)數(shù)m的取值范圍; ()設(shè)L是相應(yīng)于焦點(diǎn)F2的準(zhǔn)線,直線PF2與L相交于點(diǎn)Q , 若求直線PF2的方程.解() 由題設(shè)有m>0， .設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為由得, 化簡(jiǎn)得 將與聯(lián)立,解得 由m>0. 得m1. 所以m的取值范圍是m1.()準(zhǔn)線L的方程為設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為則 將代入,化簡(jiǎn)得 由題設(shè)得 無解, 將代入,化簡(jiǎn)得 由題設(shè)得 解得m=2. 從而得到PF2的方程, 總結(jié)與提高本題主要考查直線和橢圓的基本知識(shí),以及綜合分析和解題能力.例7、(2004年湖北卷20)直線：與雙曲線C：的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B（）求實(shí)數(shù)的取