高三之求解圓錐曲線離心率取值及范圍方法歸納

1、2012屆高三之求解圓錐曲線離心率取值及范圍方法歸納（18）一、直接根據(jù)題意建立不等關(guān)系求解. 例1：若雙曲線（a0,b0）上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D. (5,+)解析 由題意可知即解得故選B. 練習(xí)1橢圓的焦點(diǎn)為，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是（）解析 由題意得故選D. 二、借助平面幾何關(guān)系建立不等關(guān)系求解例2：設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）ABCD.分析 通過題設(shè)條件可得，求離心率的取值范圍需建立不等關(guān)系

2、，如何建立？解析：線段的中垂線過點(diǎn)， ，又點(diǎn)P在右準(zhǔn)線上，即，故選D.點(diǎn)評(píng) 建立不等關(guān)系是解決問題的難點(diǎn)，而借助平面幾何知識(shí)相對(duì)來說比較簡便.三、利用圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)建立不等關(guān)系求解.例3：雙曲線（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為A.(1,3)B.C.(3,+)D.分析 求雙曲線離心率的取值范圍需建立不等關(guān)系，題設(shè)是雙曲線一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)之間關(guān)系應(yīng)想到用雙曲線第一定義.如何找不等關(guān)系呢？ 解析：|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=|PF2|=，|PF2|即所以雙曲線離心率的取值范圍為，故選B.點(diǎn)評(píng)：本題建立不等

3、關(guān)系是難點(diǎn)，如果記住一些雙曲線重要結(jié)論（雙曲線上任一點(diǎn)到其對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)的距離不小于）則可建立不等關(guān)系使問題迎刃而解. 練習(xí)1已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為：( )A B C D |PF1|=4PF2|,|PF1|-|PF2|=3|PF2|=，|PF2|即所以雙曲線離心率的取值范圍為，故選B.練習(xí)2已知，分別為的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）A B C D解析 ，欲使最小值為，需右支上存在一點(diǎn)P，使，而即所以.例5：已知橢圓右頂為A,點(diǎn)P在橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OP垂直于PA，求橢圓的離

4、心率e的取值范圍。 解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（）,則有消去得若利用求根公式求運(yùn)算復(fù)雜，應(yīng)注意到方程的一個(gè)根為a,由根與系數(shù)關(guān)系知由得例6：橢圓：的兩焦點(diǎn)為，橢圓上存在點(diǎn)使. 求橢圓離心率的取值范圍；解析 設(shè)將代入得 求得 .點(diǎn)評(píng)：中，是橢圓中建立不等關(guān)系的重要依據(jù)，在求解參數(shù)范圍問題中經(jīng)常使用，應(yīng)給予重視.四、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合建立不等關(guān)系求解例7：已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（A）（B）（C）（D）解析 欲使過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率， ，即即即故選C.五、

5、運(yùn)用函數(shù)思想求解離心率例8：設(shè)，則雙曲線的離心率e的取值范圍是A B. C. D. 解析：由題意可知，故選B.六、運(yùn)用判別式建立不等關(guān)系求解離心率例9：在橢圓上有一點(diǎn)M，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，求橢圓的離心率.解析: 由橢圓的定義，可得 又，所以是方程的兩根，由， 可得，即所以，所以橢圓離心率的取值范圍是例10：設(shè)雙曲線C：相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.求雙曲線C的離心率e的取值范圍：解析 由C與相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 所以解得雙曲線的離心率所以雙曲線的離心率取值范圍是總結(jié)：在求解圓錐曲線離心率取值范圍時(shí)，一定要認(rèn)真分析

6、題設(shè)條件，合理建立不等關(guān)系，把握好圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，記住一些常見結(jié)論、不等關(guān)系，在做題時(shí)不斷總結(jié)，擇優(yōu)解題.尤其運(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)要注意焦點(diǎn)的位置等.鞏固練習(xí)例1. 設(shè)，則二次曲線的離心率的取值范圍為（ ）A. B. C. D. （）解：由，知，故所給的二次曲線是雙曲線，由雙曲線的離心率e1，排除A、B、C，故選D。2. 已知雙曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D. 解：拋物線的準(zhǔn)線是，即雙曲線的右準(zhǔn)線，則，解得，故選D。3. 點(diǎn)P（-3，1）在橢圓的左準(zhǔn)線上，過點(diǎn)P且方向?yàn)閍=（2，-5）的光線，經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)，則這個(gè)橢圓的離心率為（）A. B. C. D. 解：由題意知，入射光線為，關(guān)于的反射光線（對(duì)稱關(guān)系）為則解得則。故選A。三、構(gòu)造a、c的齊次式，解出e根據(jù)題設(shè)條件，借助a、b、c之間的關(guān)系，溝通a、c的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于e的一元方程，從而解得離心率e。4. 已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D. 解：如圖，設(shè)MF1的中點(diǎn)為P，則P的橫坐標(biāo)為。由焦半徑公式，即，得，解得，故選D。5. 過雙曲線的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩