高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)講義：第五章：數(shù)列

1、2010高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)講義：第五章：數(shù)列一、基礎(chǔ)知識(shí)定義1 數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1，2，3，n，. 數(shù)列分有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列兩種，數(shù)列an的一般形式通常記作a1, a2, a3,，an或a1, a2, a3,，an。其中a1叫做數(shù)列的首項(xiàng)，an是關(guān)于n的具體表達(dá)式，稱(chēng)為數(shù)列的通項(xiàng)。定理1 若Sn表示an的前n項(xiàng)和，則S1=a1, 當(dāng)n>1時(shí)，an=Sn-Sn-1.定義2 等差數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)n，都有an+1-an=d（常數(shù)），則an稱(chēng)為等差數(shù)列，d叫做公差。若三個(gè)數(shù)a, b, c成等差數(shù)列，即2b=a+c，則稱(chēng)b為a和c的等差中項(xiàng)，若公差為d, 則a=b-d, c=b

2、+d.定理2 等差數(shù)列的性質(zhì)：1）通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d；2）前n項(xiàng)和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n, m為正整數(shù)；4）若n+m=p+q，則an+am=ap+aq；5）對(duì)任意正整數(shù)p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一個(gè)不為零，則an是等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2+Bn.定義3 等比數(shù)列，若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有，則an稱(chēng)為等比數(shù)列，q叫做公比。定理3 等比數(shù)列的性質(zhì)：1）an=a1qn-1；2）前n項(xiàng)和Sn，當(dāng)q1時(shí)，Sn=；當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比數(shù)列，即b2=ac(b0)，則b叫做a, c的

3、等比中項(xiàng)；4）若m+n=p+q，則aman=apaq。定義4 極限，給定數(shù)列an和實(shí)數(shù)A，若對(duì)任意的>0，存在M，對(duì)任意的n>M(nN),都有|an-A|<，則稱(chēng)A為n+時(shí)數(shù)列an的極限，記作定義5 無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，若等比數(shù)列an的公比q滿(mǎn)足|q|<1，則稱(chēng)之為無(wú)窮遞增等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn的極限（即其所有項(xiàng)的和）為（由極限的定義可得）。定理3 第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)時(shí)n=k成立時(shí)能推出p(n)對(duì)n=k+1成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)nn0成立。競(jìng)賽常用定理定理4 第二數(shù)學(xué)歸納法：給定命題

4、p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當(dāng)p(n)對(duì)一切nk的自然數(shù)n都成立時(shí)（kn0）可推出p(k+1)成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對(duì)一切自然數(shù)nn0成立。定理5 對(duì)于齊次二階線(xiàn)性遞歸數(shù)列xn=axn-1+bxn-2，設(shè)它的特征方程x2=ax+b的兩個(gè)根為,:(1)若，則xn=c1an-1+c2n-1，其中c1, c2由初始條件x1, x2的值確定；(2)若=，則xn=(c1n+c2) n-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值確定。二、方法與例題1不完全歸納法。這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更一般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是正確的，但卻是人類(lèi)探索未知世界的普遍方式。通常解題方

5、式為：特殊猜想數(shù)學(xué)歸納法證明。例1 試給出以下幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)（不要求證明）；1）0，3，8，15，24，35，；2）1，5，19，65，；3）-1，0，3，8，15，?！窘狻?）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.例2 已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=,a1+a2+an=n2an, n1，求通項(xiàng)an.【解】 因?yàn)閍1=,又a1+a2=22·a2,所以a2=，a3=,猜想(n1).證明；1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=，猜想正確。2）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)猜想成立。當(dāng)n=k+1時(shí)，由歸納假設(shè)及題設(shè)，a1+ a1+a1=(k+1)2-1 ak+1,，所以=k(k+2)ak+1, 即=k(k+2

6、)ak+1,所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=由數(shù)學(xué)歸納法可得猜想成立，所以例3 設(shè)0<a<1，數(shù)列an滿(mǎn)足an=1+a, an-1=a+，求證：對(duì)任意nN+,有an>1.【證明】 證明更強(qiáng)的結(jié)論：1<an1+a.1)當(dāng)n=1時(shí)，1<a1=1+a，式成立；2)假設(shè)n=k時(shí)，式成立，即1<an1+a，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有由數(shù)學(xué)歸納法可得式成立，所以原命題得證。2迭代法。數(shù)列的通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn中的n通常是對(duì)任意nN成立，因此可將其中的n換成n+1或n-1等，這種辦法通常稱(chēng)迭代或遞推。例4 數(shù)列an滿(mǎn)足an+pan-1+qan-2=0, n3，q0，

7、求證：存在常數(shù)c，使得·an+【證明】·an+1+(pan+1+an+2)+=an+2·(-qan)+=+an(pqn+1+qan)=q().若=0，則對(duì)任意n, +=0，取c=0即可.若0，則+是首項(xiàng)為，公式為q的等比數(shù)列。所以+=·qn.取·即可.綜上，結(jié)論成立。例5 已知a1=0, an+1=5an+，求證：an都是整數(shù)，nN+.【證明】 因?yàn)閍1=0, a2=1，所以由題設(shè)知當(dāng)n1時(shí)an+1>an.又由an+1=5an+移項(xiàng)、平方得 當(dāng)n2時(shí)，把式中的n換成n-1得，即 因?yàn)閍n-1<an+1，所以式和式說(shuō)明an-1, an

8、+1是方程x2-10anx+-1=0的兩個(gè)不等根。由韋達(dá)定理得an+1+ an-1=10an(n2).再由a1=0, a2=1及式可知，當(dāng)nN+時(shí)，an都是整數(shù)。3數(shù)列求和法。數(shù)列求和法主要有倒寫(xiě)相加、裂項(xiàng)求和法、錯(cuò)項(xiàng)相消法等。例6 已知an=(n=1, 2, )，求S99=a1+a2+a99.【解】 因?yàn)閍n+a100-n=+=，所以S99=例7 求和：+【解】 一般地，所以Sn=例8 已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：Sn<2?！咀C明】 由遞推公式可知，數(shù)列an前幾項(xiàng)為1，1，2，3，5，8，13。因?yàn)椋?所以。 由-得，所以。又

9、因?yàn)镾n-2<Sn且>0,所以Sn, 所以，所以Sn<2，得證。4特征方程法。例9 已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.【解】 由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.故設(shè)an=(+n)·2n-1，其中，所以=3，=0，所以an=3·2n-1.例10 已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通項(xiàng)an.【解】 由特征方程x2=2x+3得x1=3, x2=-1,所以an=·3n+·(-1)n，其中，解得=，所以·3。5構(gòu)造等差或等比數(shù)列。例11 正數(shù)列a0,

10、a1,an,滿(mǎn)足=2an-1(n2)且a0=a1=1，求通項(xiàng)?！窘狻?由得=1，即令bn=+1，則bn是首項(xiàng)為+1=2，公比為2的等比數(shù)列，所以bn=+1=2n，所以=（2n-1）2，所以an=···a0=注：C1·C2··Cn.例12 已知數(shù)列xn滿(mǎn)足x1=2, xn+1=,nN+, 求通項(xiàng)?！窘狻?考慮函數(shù)f(x)=的不動(dòng)點(diǎn)，由=x得x=因?yàn)閤1=2, xn+1=,可知xn的每項(xiàng)均為正數(shù)。又+2，所以xn+1(n1)。又Xn+1-=, Xn+1+=, 由÷得。 又>0，由可知對(duì)任意nN+，>0且,所以是首項(xiàng)為

11、，公比為2的等比數(shù)列。所以·，所以，解得·。注：本例解法是借助于不動(dòng)點(diǎn)，具有普遍意義。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1 數(shù)列xn滿(mǎn)足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn為xn前n項(xiàng)和，當(dāng)n2時(shí)，xn=_.2. 數(shù)列xn滿(mǎn)足x1=，xn+1=,則xn的通項(xiàng)xn=_.3. 數(shù)列xn滿(mǎn)足x1=1，xn=+2n-1(n2)，則xn的通項(xiàng)xn=_.4. 等差數(shù)列an滿(mǎn)足3a8=5a13，且a1>0, Sn為前n項(xiàng)之和，則當(dāng)Sn最大時(shí)，n=_.5. 等比數(shù)列an前n項(xiàng)之和記為Sn,若S10=10，S30=70，則S40=_.6. 數(shù)列xn滿(mǎn)足xn+1=xn-xn-1(n2)，x1=a

12、, x2=b, Sn=x1+x2+ xn，則S100=_.7. 數(shù)列an中，Sn=a1+a2+an=n2-4n+1則|a1|+|a2|+|a10|=_.8. 若，并且x1+x2+ xn=8，則x1=_.9. 等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，若，則=_.10. 若n!=n(n-1)2·1, 則=_.11若an是無(wú)窮等比數(shù)列，an為正整數(shù)，且滿(mǎn)足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求的通項(xiàng)。12已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列

13、，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn。四、高考水平訓(xùn)練題1已知函數(shù)f(x)=，若數(shù)列an滿(mǎn)足a1=，an+1=f(an)(nN+)，則a2006=_.2已知數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1, an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2)，則an的通項(xiàng)an=.3. 若an=n2+, 且an是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.4. 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1=, 前n項(xiàng)和為Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，則an=_.5. 已知，則a的取值范圍是_.6數(shù)列an滿(mǎn)足an+1=3an+n(n N+) ，

14、存在_個(gè)a1值，使an成等差數(shù)列；存在_個(gè)a1值，使an成等比數(shù)列。7已知(n N+)，則在數(shù)列an的前50項(xiàng)中，最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是_.8有4個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和中16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，則這四個(gè)數(shù)分別為_(kāi).9. 設(shè)an是由正數(shù)組成的數(shù)列，對(duì)于所有自然數(shù)n, an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng)，則an=_.10. 在公比大于1的等比數(shù)列中，最多連續(xù)有_項(xiàng)是在100與1000之間的整數(shù).11已知數(shù)列an中，an0，求證：數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件是（n2）恒成立。12已知數(shù)列an和bn中有an=an-1bn, bn=(

15、n2), 當(dāng)a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1時(shí)，（1）求證：an>0, bn>0且an+bn=1（nN）；（2）求證：an+1=；（3）求數(shù)列13是否存在常數(shù)a, b, c，使題設(shè)等式1·22+2·32+n·(n+1)2=(an2+bn+c)對(duì)于一切自然數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3，且各項(xiàng)和為972，這樣的數(shù)列共有_個(gè)。2設(shè)數(shù)列xn滿(mǎn)足x1=1, xn=，則通項(xiàng)xn=_.3. 設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足a1=3, an>0，且，則通項(xiàng)an=_.4. 已知數(shù)列

16、a0, a1, a2, , an, 滿(mǎn)足關(guān)系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，則=_.5. 等比數(shù)列a+log23, a+log43, a+log83的公比為=_.6. 各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過(guò)100，這樣的數(shù)列至多有_項(xiàng).7. 數(shù)列an滿(mǎn)足a1=2, a2=6, 且=2，則_.8. 數(shù)列an 稱(chēng)為等差比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)此數(shù)列滿(mǎn)足a0=0, an+1-qan構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，q稱(chēng)為此等差比數(shù)列的差比。那么，由100以?xún)?nèi)的自然數(shù)構(gòu)成等差比數(shù)列而差比大于1時(shí)，項(xiàng)數(shù)最多有_項(xiàng).9設(shè)hN+，數(shù)列an定義為：a0=1, an+1=

17、。問(wèn)：對(duì)于怎樣的h，存在大于0的整數(shù)n，使得an=1？10設(shè)akk1為一非負(fù)整數(shù)列，且對(duì)任意k1，滿(mǎn)足aka2k+a2k+1，（1）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，數(shù)列中存在n個(gè)連續(xù)項(xiàng)為0；（2）求出一個(gè)滿(mǎn)足以上條件，且其存在無(wú)限個(gè)非零項(xiàng)的數(shù)列。11求證：存在唯一的正整數(shù)數(shù)列a1,a2,使得a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1設(shè)an為下述自然數(shù)N的個(gè)數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1，3或4，求證：a2n是完全平方數(shù)，這里n=1, 2,.2設(shè)a1, a2, an表示整數(shù)1，2，n的任一排列，f(n)是這些排列中滿(mǎn)足如下性質(zhì)的排列數(shù)目：a1=1; |ai-ai+1|2, i=1,2,n-1。試問(wèn)f(2007)能否被3整除？3設(shè)數(shù)列an和bn滿(mǎn)足a0=1,b0=0，且求證：an (n=0,1,2,)是完全平方數(shù)。4無(wú)窮正實(shí)數(shù)數(shù)列xn具有以下性質(zhì)：x0=1，xi+1<xi (i=0,1,2,),（1）求證：對(duì)具有上述性質(zhì)的任一數(shù)列，總能找到一個(gè)n1，使3.999均成立；（2）尋求這樣的一個(gè)數(shù)列使不等式<4對(duì)任一n均成立。5設(shè)x1,x2,xn是各項(xiàng)都不大于M的正整數(shù)序列且滿(mǎn)足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,n).試問(wèn)這樣的序列最多有多少項(xiàng)？6設(shè)a1=a2=，且當(dāng)n