高等數(shù)學微分方程試題及答案

1、第九章 常微分方程 一變量可分離方程及其推廣 1變量可分離的方程 （1）方程形式： 通解 （注：在微分方程求解中，習慣地把不定積分只求出它的一個原函數(shù)，而任意常數(shù)另外再加） （2）方程形式： 通解 2變量可分離方程的推廣形式 （1）齊次方程 令， 則 二一階線性方程及其推廣 1一階線性齊次方程 它也是變量可分離方程，通解，（為任意常數(shù)） 2一階線性非齊次方程 用常數(shù)變易法可求出通解公式 令 代入方程求出則得 3伯努利方程 令把原方程化為 再按照一階線性非齊次方程求解。4方程：可化為 以為自變量，為未知函數(shù) 再按照一階線性非齊次方程求解。三、可降階的高階微分方程方程類型解法及解的表達式通解令，則

2、，原方程一階方程，設其解為，即，則原方程的通解為。令，把看作的函數(shù)，則把，的表達式代入原方程，得一階方程，設其解為即，則原方程的通解為。 四線性微分方程解的性質(zhì)與結構 我們討論二階線性微分方程解的性質(zhì)與結構，其結論很容易地推廣到更高階的線性微分方程。 二階齊次線性方程 （1） 二階非齊次線性方程 （2） 1若，為二階齊次線性方程的兩個特解，則它們的線性組合（，為任意常數(shù)）仍為同方程的解，特別地，當（為常數(shù)），也即與線性無關時，則方程的通解為 2若，為二階非齊次線性方程的兩個特解，則為對應的二階齊次線性方程的一個特解。 3若為二階非齊次線性方程的一個特解，而為對應的二階齊次線性方程的任意特解，則

3、為此二階非齊次線性方程的一個特解。 4若為二階非齊次線性方程的一個特解，而為對應的二階齊次線性方程的通解（，為獨立的任意常數(shù)）則是此二階非齊次線性方程的通解。 5設與分別是與 的特解，則是 的特解。五二階和某些高階常系數(shù)齊次線性方程1二階常系數(shù)齊次線性方程 其中，為常數(shù)， 特征方程特征方程根的三種不同情形對應方程通解的三種形式（1）特征方程有兩個不同的實根，則方程的通解為（2）特征方程有二重根 則方程的通解為（3）特征方程有共軛復根， 則方程的通解為2階常系數(shù)齊次線性方程 其中為常數(shù)。 相應的特征方程 特征根與方程通解的關系同二階情形很類似。（1）若特征方程有個不同的實根則方程通解 （2）若為

4、特征方程的重實根則方程通解中含有 y=（3）若為特征方程的重共軛復根，則方程通解中含有 由此可見，常系數(shù)齊次線性方程的通解完全被其特征方程的根所決定，但是三次及三次以上代數(shù)方程的根不一定容易求得，因此只能討論某些容易求特征方程的根所對應的高階常系數(shù)齊次線性方程的通解。六、二階常系數(shù)非齊次線性方程 方程： 其中為常數(shù) 通解： 其中為對應二階常系數(shù)齊次線性方程的通解上面已經(jīng)討論。所以關鍵要討論二階常系數(shù)非齊次線性方程的一個特解如何求？ 1其中為次多項式，為實常數(shù)， （1）若不是特征根，則令 （2）若是特征方程單根，則令 （3）若是特征方程的重根，則令 2 或 其中為次多項式，皆為實常數(shù)（1）若不是

5、特征根，則令（2）若是特征根，則令例題：一、齊次方程1.求的通解2. 二、一階線形微分方程1. 2.求微分方程的通解三、伯努力方程四、可降階的高價微分方程1.求的通解 2.五、二階常系數(shù)齊次線形微分方程1.2.，六、二階常系數(shù)非齊次線形微分方程 1.求的通解 2.求方程的通解 3.七、作變量代換后求方程的解1.求微分方程的通解2.3. 4.八、綜合題1.設f（x）x，其中f（x）連續(xù)，求f（x）2.已知，是某二階線性非齊次常系數(shù)微分方程的三個解，求此微分方程及其通解.3.設內(nèi)滿足以下條件（1）求所滿足的一階和二階微分方程（2）求出的表達式4.設函數(shù)yy（x）在內(nèi)具有二階導數(shù)，且是yy（x）的反

6、函數(shù).（1）試將xx（y）所滿足的微分方程變換為yy（x）滿足的微分方程；（2）求變換后的微分方程滿足初始條件y（0）0，的解.5.設是以2為周期的連續(xù)函數(shù)，（1） 求微分方程的通解以上這些解中，有沒有以2為周期的解？若有，求出，若無，說明理由6.已知曲線yf(x)（x>0）是微分方程2y/+y/-y=(4-6x)e-x的一條積分曲線，此曲線通過原點，且在原點處的切線斜率為0，試求：（1）曲線yf(x)到x軸的最大距離。（2）計算九、微分方程的幾何和物理應用1.設函數(shù)二階可導，且過曲線上任意一點作該曲線的切線及軸的垂線，上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積記為區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積記

7、為，并設恒為1，求此曲線的方程。2.設曲線的極坐標方程為，為任一點，為上一定點，若極徑，與曲線所圍成的曲邊扇形面積值等于上兩點間弧長值的一半，求曲線的方程。3.有一在原點處與x軸相切并在第一象限的光滑曲線，P(x,y)為曲線上的任一點。設曲線在原點與P點之間的弧長為S1，曲線在P 點處的切線在P點與切線跟y軸的交點之間的長度為S2，且=，求該曲線的方程。4.設函數(shù)f（x）在上連續(xù)，若曲線yf（x），直線x1，xt（t>1）與x軸圍成平面圖形繞x軸旋轉一周所成旋轉體的體積V（t），試求yf（x）所滿足的微分方程，并求的解.5.一個半球體狀的雪球，其體積融化的速率與半球面面積S成正比，比例常

8、數(shù)，假設在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為的雪堆開始融化的3小時內(nèi)，融化了其體積的，問雪堆全部融化需要多少小時。6.有一房間容積為100，開始時房間空氣中含有二氧化碳0.12%，為了改善房間的空氣質(zhì)量，用一臺風量為10/分的排風扇通入含0.04%的二氧化碳的新鮮空氣，同時以相同的風量將混合均勻的空氣排出，求排出10分鐘后，房間中二氧化碳含量的百分比？7.有一容積為500的水池，原有100的清水，現(xiàn)在每分鐘放進2濃度為50%的某溶液，同時每分鐘放出1溶液，試求當水池充滿時池中溶液濃度。8.某湖泊的水量為V，每年排入湖泊內(nèi)含污染物A的污水量為，流入湖泊內(nèi)不含污染物A的污水量為，流出湖泊的水量為，已知1999年底中湖中A的含量為，超過國家規(guī)定指標，為了治理污染，從2000年初起，限制排入湖泊中含A污水的濃度不超過，問至多需要經(jīng)過多少年，湖泊中污染物A的含量才可降至以內(nèi)。（設湖水中A的濃度是均勻的）。9.已知某車間的容積為30×30×6 ，其中的空氣含0.12%的二氧化碳，現(xiàn)以含二氧化碳0.04%的新鮮空氣輸入，問每分鐘應輸入多少，才能在30分鐘后使車間空氣中二氧化碳的含量不超過0.06%，（假定輸入的新鮮空氣與原有空氣很快混合均勻，且以相同流量排出）。