高中數(shù)學(xué)典型例題解析 數(shù)列

1、高中數(shù)學(xué)典型例題解析- 數(shù)列§4.1等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.數(shù)列：按一定次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列.2.項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，第n項(xiàng)，.3.通項(xiàng)公式：一般地，如果數(shù)列an的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.4. 有窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列.5. 無(wú)窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列6.數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）及相鄰兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）間關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，則這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法，其關(guān)健是

2、先求出a1,a2,然后用遞推關(guān)系逐一寫(xiě)出數(shù)列中的項(xiàng).7.等差數(shù)列:一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用表示 8.等差中項(xiàng):如果，這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，那么我們把叫做和的等差中項(xiàng) 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.數(shù)列的概念應(yīng)注意幾點(diǎn)：（1）數(shù)列中的數(shù)是按一定的次序排列的，如果組成的數(shù)相同而排列次序不同，則就是不同的數(shù)列；（2）同一數(shù)列中可以出現(xiàn)多個(gè)相同的數(shù)；（3）數(shù)列看做一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集(1，2，3，n)的函數(shù).2.一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式通常不是唯一的.3.數(shù)列an的前n項(xiàng)的和Sn與an之間

3、的關(guān)系：若a1適合an(n>2),則不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.4.從函數(shù)的角度考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是關(guān)于n的一次式；從圖像上看，表示等差數(shù)列的各點(diǎn)（n,）均勻排列在一條直線上，由兩點(diǎn)確定一條直線的性質(zhì)，不難得出，任兩項(xiàng)可以確定一個(gè)等差數(shù)列.5、對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和公式的理解：等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和公式可變形為，若令A(yù)，Ba1，則An2+Bn.6、在解決等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，如已知，a1，an，d，n中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知數(shù)列1，4，7，10，3n+7,其中后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大3.（1

4、）指出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）指出1+4+（3n5）是該數(shù)列的前幾項(xiàng)之和.錯(cuò)解：（1）an=3n+7;(2) 1+4+（3n5）是該數(shù)列的前n項(xiàng)之和.錯(cuò)因：誤把最后一項(xiàng)（含n的代數(shù)式）看成了數(shù)列的通項(xiàng).（1）若令n=1,a1=101,顯然3n+7不是它的通項(xiàng).正解：（1）an=3n2;(2) 1+4+（3n5）是該數(shù)列的前n1項(xiàng)的和. 例2 已知數(shù)列的前n項(xiàng)之和為 求數(shù)列的通項(xiàng)公式。錯(cuò)解： 錯(cuò)因：在對(duì)數(shù)列概念的理解上，僅注意了anSnSn-1與的關(guān)系，沒(méi)注意a1=S1.正解： 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 經(jīng)檢驗(yàn) 時(shí) 也適合， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 例3 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和記為Sn，S10=10 ，S30

5、=70，則S40等于 。錯(cuò)解：S30= S10·2d. d30， S40= S30+d =100.錯(cuò)因：將等差數(shù)列中Sm, S2m Sm, S3m S2m成等差數(shù)列誤解為Sm, S2m, S3m成等差數(shù)列.正解：由題意：得代入得S40 。例4等差數(shù)列、的前n項(xiàng)和為Sn、Tn.若求；錯(cuò)解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，故由題意令an=7n+1;bn=4n+27.錯(cuò)因：誤認(rèn)為正解：例5已知一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=255n，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；錯(cuò)解：由an0得n5前5項(xiàng)為非負(fù)，從第6項(xiàng)起為負(fù)，Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)當(dāng)n6時(shí)，Sn=a6+a7+a8+a

6、n Sn=錯(cuò)因：一、把n5理解為n=5，二、把“前n項(xiàng)和”誤認(rèn)為“從n6起”的和.正解： 例6已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前項(xiàng)和的公式嗎？解：理由如下：由題設(shè)： 得： 例7已知： （） （1） 問(wèn)前多少項(xiàng)之和為最 大？（2）前多少項(xiàng)之和的絕對(duì)值最??？ 解：（1） （2） 當(dāng)近于0時(shí)其和絕對(duì)值最小 令： 即 1024+ 得： 例8項(xiàng)數(shù)是的等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)為是方程的兩根，求證此數(shù)列的和是方程 的根。 （） 證明：依題意 （獲證）。 四、典型習(xí)題導(dǎo)練1已知，求及。2設(shè)，求證：。3.求和: 4.求和： 5.已知依次成等差數(shù)列，求證：依次成等差數(shù)列.

7、6.在等差數(shù)列中， ，則 （       ）。A72B60C48D367. 已知是等差數(shù)列，且滿足，則等于_。8.已知數(shù)列成等差數(shù)列，且，求的值。§4.2等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于 同 一 個(gè) 常 數(shù)，那 么 這 個(gè) 數(shù) 列 就 叫 做 等 比 數(shù) 列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示2. 等比中項(xiàng)：若，成等比數(shù)列，則稱 為 和 的等比中項(xiàng)3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.由于等比數(shù)列的每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均

8、不為0，因此q也不為0.2.對(duì)于公比q，要注意它是每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比，防止把相鄰兩項(xiàng)的比的次序顛倒.3.“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒(méi)有“前一項(xiàng)”，同時(shí)應(yīng)注意如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列，這時(shí)可以說(shuō)此數(shù)列從. 第2項(xiàng)或第3項(xiàng)起是一個(gè)等比數(shù)列.4.在已知等比數(shù)列的a1和q的前提下，利用通項(xiàng)公式an=a1qn-1,可求出等比數(shù)列中的任一項(xiàng).5.在已知等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的前提下，使用an=amqn-m可求等比數(shù)列中任意一項(xiàng).6.等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=a1qn-1可改寫(xiě)為.當(dāng)q>0，且q1時(shí)，y=qx是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，

9、而是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列an的圖象是函數(shù)的圖象上的一群孤立的點(diǎn).7在解決等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，如已知，a1，an，d，n中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 已知數(shù)列的前n項(xiàng)之和Sn=aqn（為非零常數(shù)），則為（）。A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列錯(cuò)解：（常數(shù)）為等比數(shù)列，即B。錯(cuò)因：忽略了中隱含條件n1.正解：當(dāng)n1時(shí)，a1=S1aq;當(dāng)n>1時(shí)，（常數(shù)）但既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，選C。例2 已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn，S10=10 ，S30=70，則S40等于.錯(cuò)解：S30= S10

10、83;q 2. q 27，q， S40= S30·q =.錯(cuò)因：是將等比數(shù)列中Sm, S2m Sm, S3m S2m成等比數(shù)列誤解為Sm, S2m, S3m成等比數(shù)列.正解：由題意：得，S40=.例3 求和：a+a2+a3+an.錯(cuò)解： a+a2+a3+an.錯(cuò)因：是（1）數(shù)列an不一定是等比數(shù)列，不能直接套用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式（2）用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式應(yīng)討論q是否等于1.正解：當(dāng)a0時(shí)，a+a2+a3+an0; 當(dāng)a1時(shí)，a+a2+a3+ann;當(dāng)a1時(shí)， a+a2+a3+an.例4設(shè)均為非零實(shí)數(shù)， 求證：成等比數(shù)列且公比為。證明：證法一：關(guān)于的二次方程有實(shí)根， ， 則必有：，

11、即，非零實(shí)數(shù)成等比數(shù)列 設(shè)公比為，則，代入 ，即，即。證法二： ，且 非零，。 例5在等比數(shù)列中，求該數(shù)列前7項(xiàng)之積。 解： ，前七項(xiàng)之積 例6求數(shù)列前n項(xiàng)和 解： 兩式相減：例7從盛有質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的鹽水2kg的容器中倒出1kg鹽水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg鹽水，然后再加入1kg水，問(wèn)：(1)第5次倒出的的1kg鹽水中含鹽多kg？ (2)經(jīng)6次倒出后，一共倒出多少kg鹽？此時(shí)加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為多少？解：(1)每次倒出的鹽的質(zhì)量所成的數(shù)列為an，則： a1= 0.2 （kg）, a2=×0.2（kg）, a3= ()2×0.2（kg） 由

12、此可見(jiàn)：an= ()n-1×0.2（kg）, a5= ()5-1×0.2= ()4×0.2=0.0125（kg）。 (2)由(1)得an是等比數(shù)列 a1=0.2 , q= 答：第5次倒出的的1kg鹽水中含鹽0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg鹽，此時(shí)加1kg水后容器內(nèi)鹽水的鹽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為0.003125。四、典型習(xí)題導(dǎo)練1.求下列各等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：1) a1=-2, a3=-82) a1=5, 且2an+1=-3an 3) a1=5, 且2.在等比數(shù)列，已知，求. 3.已知無(wú)窮數(shù)列， 求證：（1）這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列 （2）這個(gè)數(shù)列中的任一項(xiàng)

13、是它后面第五項(xiàng)的， （3）這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中。4.設(shè)數(shù)列為求此數(shù)列前項(xiàng)的和。5.已知數(shù)列an中，a1=-2且an+1=Sn，求an ,Sn6.是否存在數(shù)列an，其前項(xiàng)和Sn組成的數(shù)列Sn也是等比數(shù)列，且公比相同？7.在等比數(shù)列中，求的范圍。§4.3數(shù)列的綜合應(yīng)用一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容.解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立數(shù)學(xué)模型，有關(guān)平均增長(zhǎng)率、利率（復(fù)利）以及等值增減等實(shí)際問(wèn)題，需利用數(shù)列知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型.2. 應(yīng)用題成為熱點(diǎn)題型，且有著繼續(xù)加熱的趨勢(shì)，因?yàn)閿?shù)列在實(shí)際生活中應(yīng)用比較廣泛，所以數(shù)列應(yīng)用題占有很重要的位置，解

14、答數(shù)列應(yīng)用題的基本步驟：（1）閱讀理解材料，且對(duì)材料作適當(dāng)處理；（2）建立變量關(guān)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型；（3）討論變量性質(zhì)，挖掘題目的條件，分清該數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，是求Sn還是求an.一般情況下，增或減的量是具體體量時(shí)，應(yīng)用等差數(shù)列公式；增或減的量是百分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)用等比數(shù)列公式若是等差數(shù)列，則增或減的量就是公差；若是等比數(shù)列，則增或減的百分?jǐn)?shù)，加1就是公比q.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析 1.首項(xiàng)為正（或負(fù)）的遞減（或遞增）的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大（或最?。﹩?wèn)題，轉(zhuǎn)化為解不等式解決；2.熟記等差、等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，在用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，勿忘分類討論思想；3.等差數(shù)

15、列中, am=an+ (nm)d, ; 等比數(shù)列中，an=amqn-m; 4.當(dāng)m+n=p+q（m、n、p、q）時(shí)，對(duì)等差數(shù)列an有：am+an=ap+aq；對(duì)等比數(shù)列an有：aman=apaq；5.若an、bn是等差數(shù)列，則kan+bbn(k、b是非零常數(shù))是等差數(shù)列；若an、bn是等比數(shù)列，則kan、anbn等也是等比數(shù)列；6.等差（或等比）數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9）仍是等差（或等比）數(shù)列；7.對(duì)等差數(shù)列an,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)，S偶-S奇nd；項(xiàng)數(shù)為2n1時(shí)，S奇S偶a中（n）；8.若一階線性遞推數(shù)列an=kan1+b（k

16、0,k1）,則總可以將其改寫(xiě)變形成如下形式:(n2)，于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項(xiàng)公式；三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.證明：。錯(cuò)解：欲證只需證2即證：由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，只需證原不等式成立.錯(cuò)因：在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，忽視了q1的情況.正解：欲證只需證2即證：由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，只需證由已知數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，>0,.若,則 0；若,原不等式成立.例2 一個(gè)球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回至原高度的一半落下，當(dāng)它第10次著地時(shí)，共經(jīng)過(guò)了多少米？（精確到1米）錯(cuò)解：因球每次著地后又跳回至原高度的一半，從而每次著地之間經(jīng)過(guò)的路

17、程形成了一公比為的等比數(shù)列，又第一次著地時(shí)經(jīng)過(guò)了100米，故當(dāng)它第10次著地時(shí)，共經(jīng)過(guò)的路程應(yīng)為前10項(xiàng)之和.即199（米）錯(cuò)因：忽視了球落地一次的路程有往有返的情況.正解：球第一次著地時(shí)經(jīng)過(guò)了100米，從這時(shí)到球第二次著地時(shí)，一上一下共經(jīng)過(guò)了100（米）因此到球第10次著地時(shí)共經(jīng)過(guò)的路程為300（米）答：共經(jīng)過(guò)300米。例3 一對(duì)夫婦為了給他們的獨(dú)生孩子支付將來(lái)上大學(xué)的費(fèi)用，從孩子一出生就在每年生日，到銀行儲(chǔ)蓄a元一年定期，若年利率為r保持不變，且每年到期時(shí)存款（含利息）自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，當(dāng)孩子18歲上大學(xué)時(shí)，將所有存款（含利息）全部取回，則取回的錢(qián)的總數(shù)為多少？錯(cuò)解：年利率不變，每年到

18、期時(shí)的錢(qián)數(shù)形成一等比數(shù)列，那18年時(shí)取出的錢(qián)數(shù)應(yīng)為以a為首項(xiàng)，公比為1+r的等比數(shù)列的第19項(xiàng)，即a19=a(1+r)18.錯(cuò)因：只考慮了孩子出生時(shí)存入的a元到18年時(shí)的本息，而題目要求是每年都要存入a元.正解：不妨從每年存入的a元到18年時(shí)產(chǎn)生的本息 入手考慮，出生時(shí)的a元到18年時(shí)變?yōu)閍(1+r)18，1歲生日時(shí)的a元到18歲時(shí)成為a(1+r)17，2歲生日時(shí)的a元到18歲時(shí)成為a(1+r)16，17歲生日時(shí)的a元到18歲時(shí)成為a(1+r)1，a(1+r)18+ a(1+r)17+ + a(1+r)1答：取出的錢(qián)的總數(shù)為。 例4求數(shù)列的前n項(xiàng)和。 解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為an，前n項(xiàng)和為Sn，則 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，例5求數(shù)列前n項(xiàng)和解：設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為bn，則 例6設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和 解：取n =1，則又由 可得：例7大樓共n層，現(xiàn)每層指定一人，共n人集中到設(shè)在第k層的臨時(shí)會(huì)議室開(kāi)會(huì)，問(wèn)k如何確定能使n位參加人員上、下樓梯所走的路程總和最短。（假定相鄰兩層樓梯長(zhǎng)相等）解：設(shè)相鄰兩層樓梯長(zhǎng)為a，則當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，取 S達(dá)到最小值當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，取 S達(dá)到最大值 四、典型習(xí)題導(dǎo)練1在1000，20