高等數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)題

1、第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)1、求過點(diǎn)M（0,0，1）且垂直于平面的直線的方程. （07級(jí)下A第一1題7分）解： 3分直線方程為： 7分2、設(shè)求（07級(jí)下A第二1題7分）解： 4分 7分第九章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用3、設(shè)，求,4、設(shè)求. （05級(jí)下第一1題6分）解： 2分 4分 6分5、設(shè)其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求（05級(jí)下第一2題6分）解： 3分 6分6、設(shè)，求.（07級(jí)下A第二2題7分）解： 4分 7分7、設(shè)，其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求.（05級(jí)下補(bǔ)第一1題6分）解： 3分 6分8、設(shè)其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求9、求旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)（2，1，4）處的切平面及法線方程. （07級(jí)下A第三1

2、題7分）解： 3分切平面方程為：或 5分法線方程為： 7分10、求在點(diǎn)（0，0）處的梯度及沿梯度方向的方向?qū)?shù)解：11、求在點(diǎn)M（1，1，1）沿從M到N（2，3，-1）的方向的方向?qū)?shù). （07級(jí)下A第二2題7分）解： 3分 5分 7分12、欲制造一個(gè)體積為的無蓋長方體形水池，試設(shè)計(jì)水池的尺寸，使其表面積最小. （07級(jí)下A第四題8分）解：設(shè)長為，寬為，高為，表面積 3分 5分 8分13、已知曲面方程，（1）求其在第一卦限內(nèi)的點(diǎn)處的切平面方程；（2）求該切平面與三坐標(biāo)面所圍立體的體積的最小值. （05級(jí)下第六題8分）解：法向量切平面方程或 3分切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為 5分令解方程組得

3、的最小值為 8分第十章 重積分14、設(shè)D: 求（05級(jí)下第一3題6分）（07級(jí)下A第一3題7分）解： 3分 4分 6分 7分15、已知在上連續(xù)，證明：.（07級(jí)下A第三2題7分）證明： 4分 7分16、計(jì)算二重積分，其中為所圍區(qū)域.17、計(jì)算二重積分,其中 為所圍區(qū)域.18、計(jì)算三重積分其中為球體.（05級(jí)下第一4題6分）解： 3分 6分19、計(jì)算三重積分其中為球體所圍區(qū)域.20、證明：證明：21、設(shè)有平面區(qū)域，（1）計(jì)算二重積分；（2）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，試給出一個(gè)所滿足的一般條件，使得.22、設(shè)有平面區(qū)域，（1）計(jì)算二重積分；（2）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，試給出一個(gè)所滿足的一般條件，使得 （05級(jí)下第

4、二題8分）解：（1） 4分（2）由于積分區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱，則當(dāng)時(shí) 8分注：本題答案不惟一，如：等說明：積分域的輪換對(duì)等性（或稱為輪換對(duì)稱性）是把刻畫積分域的不等式或不等式組中的坐標(biāo)進(jìn)行輪換或?qū)Q后，積分域不改變的性質(zhì).對(duì)于平面上的積分域來說，輪換對(duì)稱性就是關(guān)于直線的對(duì)稱性；對(duì)于空間域來說，與的輪換對(duì)稱性是關(guān)于平面的對(duì)稱性.積分域的輪換對(duì)稱性與被積函數(shù)的輪換對(duì)稱性（以三元函數(shù)為例）：若積分域的邊界曲面方程中的依次輪換，方程的形式不變，則稱具有輪換對(duì)稱性.若被積函數(shù)中的依次輪換，方程的形式不變，則稱具有輪換對(duì)稱性.第十一章 曲線積分與曲面積分23、計(jì)算對(duì)弧長的曲線積分其中為曲線從到的一段弧. （0

5、5級(jí)下第一5題6分）解： 3分 6分24、計(jì)算對(duì)弧長的曲線積分其中為曲線從到的一段弧.25、計(jì)算對(duì)弧長的曲線積分其中為曲線從到的一段弧.26、計(jì)算對(duì)弧長的曲線積分其中為拋物線 從點(diǎn)O（0，0）到B（1，1）之間的一段弧. （07級(jí)下A第三3題7分）解： 4分 7分27、計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,其中是由拋物線和所圍區(qū)域的正向邊界. （07級(jí)下A第二3題7分）解： 3分 5分 7分28、計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分其中為圓柱體的外側(cè)表面. （07級(jí)下A第一4題7分）解： 4分 7分29、計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分其中為圓柱體的外側(cè)表面.30、計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分其中為圓柱體的外側(cè)表面. （05級(jí)下第一6題6分）解

6、： 3分 6分31、計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分其中為球面的外側(cè).32、證明曲線積分在全平面上與路徑無關(guān)；并計(jì)算，其中 為曲線從到的一段弧.33、證明對(duì)坐標(biāo)的曲線積分在全平面上與路徑無關(guān)；計(jì)算，其中 為曲線從到的一段弧. （05級(jí)下第四題8分）證明:因?yàn)樗郧€積分在全平面上與路徑無關(guān) 4分 8分第十二章 無窮級(jí)數(shù)34、判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性.解：由比值審斂法知收斂.35、判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性. （05級(jí)下第一7題6分）解： 4分由比值審斂法知發(fā)散 6分36、判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性（07級(jí)下A第二4題7分）解：（1）當(dāng)時(shí)，發(fā)散 2分（2）當(dāng)時(shí)， 發(fā)散 4分（3）當(dāng)時(shí)，, 收斂，收斂 7分37、判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)

7、的收斂性.解：，而級(jí)數(shù)收斂，由比較審斂法，收斂.38、已知冪級(jí)數(shù).試求其收斂區(qū)間. （07級(jí)下A第一5題7分）解： 3分收斂半徑 5分收斂區(qū)間為 7分39、求級(jí)數(shù)的和. 解：令因?yàn)樗怨?0、將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)解：（直接將展開辦不到，但易展開）積分得因?yàn)橛叶思?jí)數(shù)在時(shí)均收斂，又在連續(xù)，所以展開式在收斂區(qū)間端點(diǎn)成立.41、已知冪級(jí)數(shù). 求其收斂域；利用逐項(xiàng)積分法，求其和函數(shù)（05級(jí)下第三題8分）解： 收斂半徑當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，收斂區(qū)間為 4分 8分42、已知函數(shù)以為周期，且，其傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)記為計(jì)算43、已知函數(shù)以為周期，且，其傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)記為計(jì)算（05級(jí)下第一8題6分）是的第一類間斷點(diǎn)解： 3分是的連續(xù)點(diǎn) 6分