高等數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末復(fù)習題

1、第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)1、求過點M（0,0，1）且垂直于平面的直線的方程. （07級下A第一1題7分）解： 3分直線方程為： 7分2、設(shè)求（07級下A第二1題7分）解： 4分 7分第九章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用3、設(shè)，求,4、設(shè)求. （05級下第一1題6分）解： 2分 4分 6分5、設(shè)其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求（05級下第一2題6分）解： 3分 6分6、設(shè)，求.（07級下A第二2題7分）解： 4分 7分7、設(shè)，其中具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求.（05級下補第一1題6分）解： 3分 6分8、設(shè)其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求9、求旋轉(zhuǎn)拋物面在點（2，1，4）處的切平面及法線方程. （07級下A第三1

2、題7分）解： 3分切平面方程為：或 5分法線方程為： 7分10、求在點（0，0）處的梯度及沿梯度方向的方向?qū)?shù)解：11、求在點M（1，1，1）沿從M到N（2，3，-1）的方向的方向?qū)?shù). （07級下A第二2題7分）解： 3分 5分 7分12、欲制造一個體積為的無蓋長方體形水池，試設(shè)計水池的尺寸，使其表面積最小. （07級下A第四題8分）解：設(shè)長為，寬為，高為，表面積 3分 5分 8分13、已知曲面方程，（1）求其在第一卦限內(nèi)的點處的切平面方程；（2）求該切平面與三坐標面所圍立體的體積的最小值. （05級下第六題8分）解：法向量切平面方程或 3分切平面在三個坐標軸上的截距分別為 5分令解方程組得

3、的最小值為 8分第十章 重積分14、設(shè)D: 求（05級下第一3題6分）（07級下A第一3題7分）解： 3分 4分 6分 7分15、已知在上連續(xù)，證明：.（07級下A第三2題7分）證明： 4分 7分16、計算二重積分，其中為所圍區(qū)域.17、計算二重積分,其中 為所圍區(qū)域.18、計算三重積分其中為球體.（05級下第一4題6分）解： 3分 6分19、計算三重積分其中為球體所圍區(qū)域.20、證明：證明：21、設(shè)有平面區(qū)域，（1）計算二重積分；（2）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，試給出一個所滿足的一般條件，使得.22、設(shè)有平面區(qū)域，（1）計算二重積分；（2）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，試給出一個所滿足的一般條件，使得 （05級下第

4、二題8分）解：（1） 4分（2）由于積分區(qū)域關(guān)于直線對稱，則當時 8分注：本題答案不惟一，如：等說明：積分域的輪換對等性（或稱為輪換對稱性）是把刻畫積分域的不等式或不等式組中的坐標進行輪換或?qū)Q后，積分域不改變的性質(zhì).對于平面上的積分域來說，輪換對稱性就是關(guān)于直線的對稱性；對于空間域來說，與的輪換對稱性是關(guān)于平面的對稱性.積分域的輪換對稱性與被積函數(shù)的輪換對稱性（以三元函數(shù)為例）：若積分域的邊界曲面方程中的依次輪換，方程的形式不變，則稱具有輪換對稱性.若被積函數(shù)中的依次輪換，方程的形式不變，則稱具有輪換對稱性.第十一章 曲線積分與曲面積分23、計算對弧長的曲線積分其中為曲線從到的一段弧. （0

5、5級下第一5題6分）解： 3分 6分24、計算對弧長的曲線積分其中為曲線從到的一段弧.25、計算對弧長的曲線積分其中為曲線從到的一段弧.26、計算對弧長的曲線積分其中為拋物線 從點O（0，0）到B（1，1）之間的一段弧. （07級下A第三3題7分）解： 4分 7分27、計算對坐標的曲線積分,其中是由拋物線和所圍區(qū)域的正向邊界. （07級下A第二3題7分）解： 3分 5分 7分28、計算對坐標的曲面積分其中為圓柱體的外側(cè)表面. （07級下A第一4題7分）解： 4分 7分29、計算對坐標的曲面積分其中為圓柱體的外側(cè)表面.30、計算對坐標的曲面積分其中為圓柱體的外側(cè)表面. （05級下第一6題6分）解

6、： 3分 6分31、計算對坐標的曲面積分其中為球面的外側(cè).32、證明曲線積分在全平面上與路徑無關(guān)；并計算，其中 為曲線從到的一段弧.33、證明對坐標的曲線積分在全平面上與路徑無關(guān)；計算，其中 為曲線從到的一段弧. （05級下第四題8分）證明:因為所以曲線積分在全平面上與路徑無關(guān) 4分 8分第十二章 無窮級數(shù)34、判別正項級數(shù)的收斂性.解：由比值審斂法知收斂.35、判別正項級數(shù)的收斂性. （05級下第一7題6分）解： 4分由比值審斂法知發(fā)散 6分36、判別正項級數(shù)的收斂性（07級下A第二4題7分）解：（1）當時，發(fā)散 2分（2）當時， 發(fā)散 4分（3）當時，, 收斂，收斂 7分37、判別正項級數(shù)

7、的收斂性.解：，而級數(shù)收斂，由比較審斂法，收斂.38、已知冪級數(shù).試求其收斂區(qū)間. （07級下A第一5題7分）解： 3分收斂半徑 5分收斂區(qū)間為 7分39、求級數(shù)的和. 解：令因為所以故40、將函數(shù)展開成的冪級數(shù)解：（直接將展開辦不到，但易展開）積分得因為右端級數(shù)在時均收斂，又在連續(xù)，所以展開式在收斂區(qū)間端點成立.41、已知冪級數(shù). 求其收斂域；利用逐項積分法，求其和函數(shù)（05級下第三題8分）解： 收斂半徑當時級數(shù)發(fā)散，收斂區(qū)間為 4分 8分42、已知函數(shù)以為周期，且，其傅里葉級數(shù)的和函數(shù)記為計算43、已知函數(shù)以為周期，且，其傅里葉級數(shù)的和函數(shù)記為計算（05級下第一8題6分）是的第一類間斷點解： 3分是的連續(xù)點 6分