高中排列組合基礎(chǔ)題 含答案

1、排列、組合問題基本題型及解法同學(xué)們在學(xué)習(xí)排列、組合的過程中，總覺得抽象，解法靈活，不容易掌握.然而排列、組合問題又是歷年高考必考的題目.本文將總結(jié)常見的類型及相應(yīng)的解法.一、相鄰問題“捆綁法”將必須相鄰的元素“捆綁”在一起，當(dāng)作一個元素進(jìn)行排列.例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必須站在一起，不同的排法共有幾種？分析：先把甲、乙當(dāng)作一個人，相當(dāng)于三個人全排列，有6種，然后再將甲、乙二人全排列有2種，所以共有6×212種排法.二、不相鄰問題“插空法”該問題可先把無位置要求的元素全排列，再把規(guī)定不相鄰的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意兩端）.例2 7個同學(xué)并排站成一

2、排，其中只有A、B是女同學(xué)，如果要求A、B不相鄰，且不站在兩端，不同的排法有多少種？.分析：先將其余5個同學(xué)先全排列，排列故是120.再把A、B插入五個人組成的四個空位（不包括兩端）中，（如圖0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5個同學(xué)）有2種方法.則共有440種排法.三、定位問題“優(yōu)先法”指定某些元素必須排（或不排）在某位置，可優(yōu)先排這個元素，后排其他元素.例3 6個好友其中只有一個女的，為了照像留念，若女的不站在兩端，則不同的排法有 種.分析：優(yōu)先排女的（元素優(yōu)先）.在中間四個位置上選一個，有種排法.然后將其余5個排在余下的5個位置

3、上，有種方法.則共480種排法.還可以優(yōu)先排兩端（位置優(yōu)先）.四、同元問題“隔板法”例4 10本完全相同的書，分給4個同學(xué)，每個同學(xué)至少要有一本書，共有多少種分法？分析：在排列成一列的10本書之間，有九個空位插入三塊“隔板”.如圖：×× × ××× ××××一種插法對應(yīng)于一種分法，則共有84種分法.五、先分組后排列對于元素較多，情形較復(fù)雜的問題，可根據(jù)結(jié)果要求，先分為不同類型的幾組，然后對每一組分別進(jìn)行排列，最后求和.例5 由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位

4、數(shù)字的共有（ ）（A）210個 （B）300個 （C）464個 （D）600個分析：由題意知，個位數(shù)字只能是0，1，2，3，4共5種類型，每一種類型分別有個、個、個、個、個，合計300個，所以選B例6 用0，1，2，3，9這十個數(shù)字組成五位數(shù)，其中含有三個奇數(shù)數(shù)字與兩個偶數(shù)數(shù)字的五位數(shù)有多少個?【解法1】考慮0的特殊要求，如果對0不加限制，應(yīng)有種，其中0居首位的有種，故符合條件的五位數(shù)共有11040個.【解法2】按元素分類：奇數(shù)字有1，3，5，7，9；偶數(shù)字有0，2，4，6，8.把從五個偶數(shù)中任取兩個的組合分成兩類：不含0的；含0的.不含0的：由三個奇數(shù)字和兩個偶數(shù)字組成的五位數(shù)有個；含0的，

5、這時0只能排在除首位以外的四個數(shù)位上，有種排法，再選三個奇數(shù)數(shù)與一個偶數(shù)數(shù)字全排放在其他數(shù)位上，共有種排法.綜合和，由分類計數(shù)原理，符合條件的五位數(shù)共有11040個.例8 由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字，比20000大，且百位數(shù)字不是3的自然數(shù)？ U【解】設(shè)A滿足題設(shè)條件，且百位數(shù)字是3的自然數(shù)，B滿足題設(shè)條件，且比20000大的自然數(shù)，則原題即求，畫韋恩圖如圖，陰影部分即，從圖中看出.又，由性質(zhì)2，有即由數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字，且比20000大的自然數(shù)的個數(shù)，易知.即由數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字、比20000大，且百位數(shù)字是3的自然數(shù)的個數(shù)，易知，所

6、以78.即可組成78個符合已知條件的自然數(shù).典型例題例1 用0到9這10 個數(shù)字可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？ 解法1：當(dāng)個位數(shù)上排“0”時，千位，百位，十位上可以從余下的九個數(shù)字中任選3個來排列，故有個； 當(dāng)個位上在“2、4、6、8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數(shù)字中任選一個，百位，十位上再從余下的八個數(shù)字中任選兩個來排，按乘法原理有（個） 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有 個例2 排一張有5個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。 （1）任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？ （2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？ 解：（1）先排歌唱節(jié)目有種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個

7、位子，從中選4個放入舞蹈節(jié)目，共有中方法，所以任兩個舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：43200. （2）先排舞蹈節(jié)目有中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5個歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：2880種方法。例3 某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課程表的方法分析與解法1：6六門課總的排法是，其中不符合要求的可分為：體育排在第一書有種排法，如圖中；數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)有種排法，如圖中；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，如圖中，這種情況有種排法，因此符合條件的排法應(yīng)是：

8、 （種）例4現(xiàn)有輛公交車、位司機(jī)和位售票員，每輛車上需配位司機(jī)和位售票員問車輛、司機(jī)、售票員搭配方案一共有多少種？分析：可以把輛車看成排了順序的三個空：，然后把名司機(jī)和名售票員分別填入因此可認(rèn)為事件分兩步完成，每一步都是一個排列問題解：分兩步完成第一步，把名司機(jī)安排到輛車中，有種安排方法；第二步把名售票員安排到輛車中，有種安排方法故搭配方案共有種例5下表是高考第一批錄取的一份志愿表如果有所重點院校，每所院校有個專業(yè)是你較為滿意的選擇若表格填滿且規(guī)定學(xué)校沒有重復(fù)，同一學(xué)校的專業(yè)也沒有重復(fù)的話，你將有多少種不同的填表方法？解：填表過程可分兩步第一步，確定填報學(xué)校及其順序，則在所學(xué)校中選出所并加排列

9、，共有種不同的排法；第二步，從每所院校的個專業(yè)中選出個專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有種綜合以上兩步，由分步計數(shù)原理得不同的填表方法有：種例6名同學(xué)排隊照相(1)若分成兩排照，前排人，后排人，有多少種不同的排法？(2)若排成兩排照，前排人，后排人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？(4)若排成一排照，人中有名男生，名女生，女生不能相鄰，有多少種不面的排法？解：(1) 種(2)第一步安排甲，有種排法；第二步安排乙，有種排法；第三步余下的人排在剩下的個位置上，有種排法，由分步計數(shù)原理得，符合要求

10、的排法共有種(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，有其余個元素排成一排，即看成個元素的全排列問題，有種排法；第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有種排法由分步計數(shù)原理得，共有種排法(4)第一步，名男生全排列，有種排法；第二步，女生插空，即將名女生插入名男生之間的個空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有種插入方法由分步計數(shù)原理得，符合條件的排法共有：種例8六人排一列縱隊，限定要排在的前面（與可以相鄰，也可以不相鄰），求共有幾種排法對這個題目，、四位同學(xué)各自給出了一種算式：的算式是；的算式是；的算式是；的算式是上面四個算式是否正確，正確的加以解釋，不正確的說明理由解：中很顯然，“在前的六人縱隊”的排隊

11、數(shù)目與“在前的六人縱隊”排隊數(shù)目相等，而“六人縱隊”的排法數(shù)目應(yīng)是這二者數(shù)目之和這表明：的算式正確中把六人排隊這件事劃分為占位，占位，其他四人占位這樣三個階段，然后用乘法求出總數(shù)，注意到占位的狀況決定了占位的方法數(shù)，第一階段，當(dāng)占據(jù)第一個位置時，占位方法數(shù)是；當(dāng)占據(jù)第2個位置時，占位的方法數(shù)是；當(dāng)占據(jù)第5個位置時，占位的方法數(shù)是，當(dāng)，占位后，再排其他四人，他們有種排法，可見的算式是正確的中可理解為從6個位置中選4個位置讓占據(jù)，這時，剩下的兩個位置依前后順序應(yīng)是的因此的算式也正確中把6個位置先圈定兩個位置的方法數(shù)，這兩個位置讓占據(jù)，顯然，占據(jù)這兩個圈定的位置的方法只有一種（要在的前面），這時，再

12、排其余四人，又有種排法，可見的算式是對的例9八個人分兩排坐，每排四人，限定甲必須坐在前排，乙、丙必須坐在同一排，共有多少種安排辦法？解法1：可分為“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”兩類情況應(yīng)當(dāng)使用加法原理，在每類情況下，劃分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三個步驟，又要用到分步計數(shù)原理，這樣可有如下算法：(種)解法2：采取“總方法數(shù)減去不命題意的所有方法數(shù)”的算法把“甲坐在第一排的八人坐法數(shù)”看成“總方法數(shù)”，這個數(shù)目是在這種前提下，不合題意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐兩排的八人坐法”這個數(shù)目是其中第一個因數(shù)表示甲坐在第一排的方法數(shù)，

13、表示從乙、丙中任選出一人的辦法數(shù)，表示把選出的這個人安排在第一排的方法數(shù)，下一個則表示乙、丙中沿未安排的那個人坐在第二排的方法數(shù)，就是其他五人的坐法數(shù)，于是總的方法數(shù)為(種)說明：解法2可在學(xué)完組合后回過頭來學(xué)習(xí)例10 計劃在某畫廊展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同陳列方式有（）ABCD解：將同一品種的畫“捆”在一起，注意到水彩畫不放在兩端，共有種排列但4幅油畫、5幅國畫本身還有排列順序要求所以共有種陳列方式應(yīng)選D說明：關(guān)于“若干個元素相鄰”的排列問題，一般使用“捆綁”法，也就是將相鄰的若干個元素“

14、捆綁”在一起，看作一個大元素，與其他的元素進(jìn)行全排列；然后，再“松綁”，將被“捆綁”的若干元素，內(nèi)部進(jìn)行全排列本例題就是一個典型的用“捆綁”法來解答的問題例11 由數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)的個數(shù)共有（）A210B300C464D600解法1：（直接法）：分別用作十萬位的排列數(shù)，共有種，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有個解法2：（間接法）：取個數(shù)字排列有，而作為十萬位的排列有，所以其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的這樣的六位數(shù)有(個)應(yīng)選B說明：(1)直接法、間接法是解決有關(guān)排列應(yīng)用題的兩種基本方法，何時使用直接法或間接法要視問題而定，有的問題如果使用直接法解決比

15、較困難或者比較麻煩，這時應(yīng)考慮能否用間接法來解(2)“個位數(shù)字小于十位數(shù)字”與“個位數(shù)字大于十位數(shù)字”具有對稱性，這兩類的六位數(shù)個數(shù)一樣多，即各占全部六位數(shù)的一半，同類問題還有6個人排隊照像時，甲必須站在乙的左側(cè)，共有多少種排法例12 用，這五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）A24個B30個C40個D60個分析：本題是帶有附加條件的排列問題，可以有多種思考方法，可分類，可分步，可利用概率，也可利用本題所提供的選擇項分析判斷解法1：分類計算將符合條件的偶數(shù)分為兩類一類是2作個位數(shù)，共有個，另一類是4作個位數(shù)，也有個因此符合條件的偶數(shù)共有個解法2：分步計算先排個位數(shù)字，有種排法，

16、再排十位和百位數(shù)字，有種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理，三位偶數(shù)應(yīng)有個解法3：按概率算用這個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個，其中偶點其中的因此三位偶數(shù)共有個解法4：利用選擇項判斷用這個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個其中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此偶數(shù)的個數(shù)應(yīng)少于個，四個選擇項所提供的答案中，只有符合條件應(yīng)選例13用共六個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，(1)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的位偶數(shù)？(2)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字且被整除的三位數(shù)？分析：位偶數(shù)要求個位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是，由于個位用或者不用數(shù)字，對確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個位數(shù)字用或者用進(jìn)行分類一個自然數(shù)能被整除的條件是所有數(shù)字之和

17、是的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個數(shù)字，然后進(jìn)行排列，但要注意就用與不用數(shù)字進(jìn)行分類解：(1)就個位用還是用分成兩類，個位用，其它兩位從中任取兩數(shù)排列，共有(個)，個位用或，再確定首位，最后確定十位，共有(個)，所有位偶數(shù)的總數(shù)為：(個)(2)從中取出和為的倍數(shù)的三個數(shù)，分別有下列取法：、，前四組中有，后四組中沒有，用它們排成三位數(shù)，如果用前組，共有(個)，如果用后四組，共有(個)，所有被整除的三位數(shù)的總數(shù)為(個)例14一條長椅上有個座位，人坐，要求個空位中，有個空位相鄰，另一個空位與個相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？分析：對于空位，我們可以當(dāng)成特殊元素對待，設(shè)空座梯形依次編號為先選定兩個空位，可以在號位，也可以在號位共有六種可能，再安排另一空位，此時需看到，如果空位在號，則另一空位可以在號位，有種可能，相鄰空位在號位，亦如此如果相鄰空位在號位，另一空位可以在號位，只有種可能，相鄰空位在號，號，號亦如此，所以必須就兩相鄰空位的位置進(jìn)行分類本題的另一考慮是，對于兩相鄰空位可以用合并法看成一個元素與另一空位插入已坐人的個座位之間，用插空法