高三人教A版理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)43立體幾何中的向量方法二——空間角與距離求解

1、課時(shí)作業(yè)(四十三)第43講立體幾何中的向量方法(二)空間角與距離求解時(shí)間：45分鐘分值：100分1點(diǎn)M在z軸上，它與經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且方向向量為s(1，1,1)的直線l的距離為，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是()A(0,0，±2) B(0,0，±3)C(0,0，±) D(0,0，±1)2若a(1,2,1)，b(2,0,1)分別是直線l1，l2的方向向量，則l1，l2的位置關(guān)系是()A平行 B異面C相交 D相交或異面3兩平行平面，分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1)，且兩平面的一個(gè)法向量n(1,0,1)，則兩平面間的距離是()A. B. C. D34方向向量為s(1,1,1

2、)的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0,0)，則坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0,0)到該直線的距離是()A. B. C. D.5如圖K431，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為1，則異面直線AD1和C1D所成角的余弦值是()圖K431A. B C. D.6在平行四邊形ABCD中，ABAC1，ACD90°，將它沿對(duì)角線AC折起，使AB和CD成60°角(如圖K432)，則B、D間的距離為()圖K432A1 B2 C. D2或7三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長(zhǎng)度分別為6,4,4，則其頂點(diǎn)到底面的距離為()A. B2 C. D.8在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E

3、、F分別為棱AA1、BB1的中點(diǎn)，G為棱A1B1上的一點(diǎn)，且A1G(01)，則點(diǎn)G到平面D1EF的距離為()A. B. C. D.圖K4339如圖K433，四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD，且PDAD1，AB2，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，當(dāng)二面角PECD的平面角為時(shí)，AE()A1 B. C2 D210已知三棱錐OABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，E為OC的中點(diǎn)，且OA1，OBOC2，則平面EAB與平面ABC夾角的余弦值是_11如圖K434，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱AA1長(zhǎng)為b，且AA1與A1B1，A1D1的夾角都是60

4、76;，則AC1的長(zhǎng)等于_圖K434圖K43512如圖K435，AO平面，BCOB，BC與平面的夾角為30°，AOBOBCa，則AC_.13如圖K436，在空間直角坐標(biāo)系中有棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1，點(diǎn)M是線段DC1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線AD1距離的最小值為_(kāi)圖K43614(10分)如圖K437，放置在水平面上的組合體由直三棱柱ABCA1B1C1與正三棱錐BACD組成，其中，ABBC.它的正視圖、俯視圖、側(cè)視圖的面積分別為21,21,1.(1)求直線CA1與平面ACD所成角的正弦值；(2)在線段AC1上是否存在點(diǎn)P，使B1P平面ACD？若存在，確定點(diǎn)P的位置；若不存在

5、，說(shuō)明理由圖K43715(13分)2011·安徽師大附中三模 如圖K438，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)(1)求證：AF平面BCE；(2)求證：平面BCE平面CDE；(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值圖K43816(12分)2011·湖北卷 如圖K439，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)都是4，E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)F在側(cè)棱CC1上，且不與點(diǎn)C重合(1)當(dāng)CF1時(shí)，求證：EFA1C；(2)設(shè)二面角CAFE的大小為，求tan的最小值圖K439課時(shí)作業(yè)(四十三)【基礎(chǔ)熱身】1B解析 設(shè)M(0,0，z)，直線的

6、一個(gè)單位方向向量s0，故點(diǎn)M到直線的距離d，解得z±3.2D解析 根據(jù)共線向量定理，顯然a，b不平行，所以l1，l2的位置關(guān)系是相交或異面3B解析 兩平面的一個(gè)單位法向量n0，故兩平面間的距離d|·n0|.4D解析 直線l的一個(gè)單位法向量s0，向量(1,0,0)，故點(diǎn)O到直線l的距離為d.【能力提升】5C解析 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A(2,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，1(2,0,1)，(0,2,1)，故異面直線AD1和C1D所成角的余弦值為|cos1，1|.6D解析 ACD90°，·0.同理·0，

7、AB和CD成60°角，60°或120°.，22222·2·2·2222·32×1×1×cos，|2或，即B、D間的距離為2或，故選D.7C解析 設(shè)三棱錐為PABC，且PA6，PBPC4，以P為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則P(0,0,0)，A(6,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,4)，(6,0,0)，(6,4,0)，(6,0,4)，設(shè)面ABC的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則n，n，所以yzx，所以可選面ABC的一個(gè)法向量為n(2,3,3)，所以P到面ABC的距離d|cos，n|，選C.

8、8D解析 如圖，如果過(guò)點(diǎn)G直接向平面D1EF作垂線，垂足為H，如果我們能求出向量，那么|就是點(diǎn)G到平面D1EF的距離在正方體中，建立空間直角坐標(biāo)系非常方便，因此用坐標(biāo)的方法，解決這個(gè)問(wèn)題如圖，以射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則G(1，1)，E，F(xiàn)，(0,1,0)，D1(0,0,1)，1.過(guò)點(diǎn)G向平面D1EF作垂線，垂足為H，由于點(diǎn)H在平面D1EF內(nèi)，故存在實(shí)數(shù)x，y使xy1，由于GHEF，GHED1，所以解得故，所以|，即點(diǎn)G到平面D1EF的距離是.9D解析 以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)E(1，y0,0)

9、(0y02)，則(1,2y0,0)，設(shè)平面PEC的法向量為n1(x，y，z)，xyz(2y0)12，記n1(2y0,1,2)，而平面ECD的法向量n2(0,0,1)，則二面角PECD的平面角滿足cos|cosn1，n2|，cosy02.當(dāng)AE2時(shí)，二面角PECD的平面角為.10.解析 以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,0)設(shè)平面ABC的法向量為n1(x，y，z)，則由n1知n1·2xz0，由n1知n1·2yz0，取n1(1,1,2)設(shè)平面EAB的法向量為n(x，y，z)，則

10、由n知n·2xz0，由n知n·2xy0，取n(1,2,2)則cosn，n1，所以平面EAB與平面ABC夾角的余弦值為.11.解析 由已知1，1，120°，90°.|1|2|1|2|1|2|2|221·2·21·b2a2a2abab2a2b22ab，故|1|.12.a解析 ，其中，90°，120°，故|2|2|2|2|22·2·2·3a22a2cos120°2a2，故|a，即ACa.13.a解析 設(shè)M(0，m，m)(0ma)，(a,0，a)，直線AD1的一個(gè)單位方向向

11、量s0，由(0，m，am)，故點(diǎn)M到直線AD1的距離d，根式內(nèi)的二次函數(shù)當(dāng)m時(shí)取最小值2a×a2a2，故d的最小值為a.14解答 由已知可得AB平面BB1C1C，由于三棱錐BACD是正三棱錐，所以CD平面BB1C1C，D，B，B1三點(diǎn)共線，ABBCBD.設(shè)ABa，BB1b.則其正視圖和俯視圖的面積都是aba2，側(cè)視圖的面積是a2，根據(jù)已知解得a，b2.以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線BC，BB1，BA分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A(0,0，)，C(，0,0)，D(0，0)，B1(0,2,0)，C1(，2,0)，A1(0,2，)(1)由于三棱錐BACD是正三棱錐，該三棱

12、錐的重心G，則BG平面ACD，故可取向量n(1，1,1)為平面ACD的一個(gè)法向量，(，2，)，故可取v(1，1)為直線CA1的一個(gè)方向向量設(shè)直線CA1與平面ACD所成角為，則sin|cosn，v|.(2)設(shè)m(m,2m，m)，則(m,2m2，m)，如果B1P平面ACD，則n，即(m,2m2，m)(，)，由此得方程組由得m，代入則1，矛盾，這說(shuō)明不存在滿足題目要求的點(diǎn)P.15解答 方法一：(1)證法一：取CE的中點(diǎn)G，連接FG、BG.F為CD的中點(diǎn)，GFDE且GFDE，AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.又DE2AB，四邊形GFAB為平行四邊形，則AFBG.

13、AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.證法二：取DE的中點(diǎn)M，連接AM、FM，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)MCE.AB平面ACD，DE平面ACD，DEAB.又ABDEME，四邊形ABEM為平行四邊形，則AMBE.FM、AM平面BCE，CE、BE平面BCE，F(xiàn)M平面BCE，AM平面BCE.又FMAMM，平面AFM平面BCE.AF平面AFM，AF平面BCE.(2)證明：ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.(3)在平面CDE內(nèi)，過(guò)F作FHCE于H，連接B

14、H，平面BCE平面CDE，F(xiàn)H平面BCE.FBH為BF和平面BCE所成的角設(shè)ADDE2AB2a，則FHCFsin45°a，BF2a，在RtFHB中，sinFBH.直線BF和平面BCE所成角的正弦值為.方法二：設(shè)ADDE2AB2a，建立如圖所示的坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)F為CD的中點(diǎn)，F(xiàn).(1)證明：，(a，a，a)，(2a,0，a)，()，AF平面BCE，AF平面BCE.(2)證明：，(a，a,0)，(0,0，2a)，·0，·0，.平面CDE，又AF平面BCE，平面BCE平面CD

15、E.(3)設(shè)平面BCE的法向量為n(x，y，z)，由n·0，n·0可得xyz0,2xz0，取n(1，2)又，設(shè)BF和平面BCE所成的角為，則sin.直線BF和平面BCE所成角的正弦值為.【難點(diǎn)突破】16解答 解法1：過(guò)E作ENAC于N，連接EF.(1)如圖，連接NF、AC1，由直棱柱的性質(zhì)知，底面ABC側(cè)面A1C，又底面ABC側(cè)面A1CAC，且EN底面ABC，所以EN側(cè)面A1C，NF為EF在側(cè)面A1C內(nèi)的射影，在RtCNE中，CNCEcos60°1，則由，得NFAC1.又AC1A1C，故NFA1C，由三垂線定理知EFA1C.(2)如圖，連接AF，過(guò)N作NMAF于M，連接ME，由(1)知EN側(cè)面A1C，根據(jù)三垂線定理得EMAF，所以EMN是二面角CAFE的平面角，即EMN，設(shè)FAC，則0°<45°.在RtCNE中，NEEC·sin60°，在RtAMN中，MNAN·sin3sin，故tan.又0°<45°，0<sin，故當(dāng)sin，即當(dāng)45°時(shí)，tan達(dá)到最小值，tan×，此時(shí)F與C1重合解法2：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，A1(0