淋雨量數(shù)學(xué)模型

1、 論文題目：雨中行走淋雨量分析 雨中行走淋雨量分析摘要本文在給定的降雨條件下，分別建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，分析人體在雨中奔跑時淋雨多少與奔跑速度、降雨方向等因素的關(guān)系。其中文中所涉及到的降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失而在水面上積聚的水層深度，它可以直觀地表示降雨的多少。淋雨量，是指人在雨中行走時全身所接收到得雨的體積，可表示為單位時間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時間的乘積。利用MATLAB軟件對各個問題進(jìn)行了求解。針對問題一，設(shè)降雨淋遍全身不考慮雨的方向，經(jīng)簡化假設(shè)得人淋雨面積為前后左右及頭頂面積之和。人以最大速度奔跑1000m，用MATLAB求解可得淋雨量近

2、似為0.0024。針對問題二，雨迎面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面，人淋雨面積為前方和頭頂面積之和。因各個方向上降雨速度分量不同，故分別計算頭頂和前方的淋雨量后相加即為總的淋雨量。據(jù)此可列出總淋雨量W與跑步速度v之間的函數(shù)關(guān)系。分析表明當(dāng)跑步速度為時，淋雨量最少。并計算出當(dāng)雨與人體的夾角=0時，淋雨量近似為0.0012；當(dāng)=30°時，淋雨量近似為0.0016。針對問題三，雨從背面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，人淋雨量與人和雨相對速度有關(guān)。列出函數(shù)關(guān)系式分析并求解，可知當(dāng)人速度v=2時淋雨量最少，=30°時的總淋雨量近似為 0.2405556E-03。針對問題四，列出

3、淋雨量W和跑步速度v之間的函數(shù)關(guān)系式，利用MATLAB畫出分別為0°，10°，.90°的曲線圖。針對問題五，雨線與人跑步方向不在同一平面內(nèi)，則考慮人的淋雨面積為前后左右以及頭頂。分別列式表示，總的淋雨量即為三者之和。關(guān)鍵詞淋雨量；降雨的大?。唤涤甑姆较颍L(fēng)）；路程的遠(yuǎn)近；行走的速度； 一、 問題重述生活中我們常常會遇到下雨卻沒有遮雨工具的時刻，我們在那時會有很多選擇，其中之一就是淋雨，往往很多人會在雨中快走或奔跑以使自己身體淋雨量最小化，但往往很多人會感覺到淋雨量并不會因為快走或奔跑而減少多少，反而有時候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有關(guān)參數(shù)的關(guān)系如何，讓我們假

4、設(shè)一數(shù)學(xué)模型模擬計算真實情況。當(dāng)我們在雨中從一處沿直線跑到另一處時，如果雨速為常數(shù)，走的時候身體的動作的大小和暴露在雨中的面積大小影響著淋雨的多少，并且行走速度也同樣影響著淋雨量，將人體簡化成一個長方體，高a=1.5米，寬b=0.5米，厚c=0.2m，跑步距離d=1000m，跑步最大速度 =5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2/h=，記跑步速度為 。1.當(dāng)我們不考慮雨的方向時，假設(shè)降雨會淋遍全身，這時如果我們最大速度奔跑會淋多少雨？2.雨從迎面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，建立總淋雨量與速度及參數(shù)a b c d u 之間的關(guān)系。問速度多大，總淋雨量最少。 計算=0

5、°，=30°時的總淋雨量。3.雨從背面吹來，設(shè)雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，建立總淋雨量與速度及參數(shù)a b c d u w 之間的關(guān)系。問速度多大，總淋雨量最少。計算 =30°時的總淋雨量。4.以總淋雨量為縱軸，速度為橫軸對第3問作圖（考慮的影響），并解釋結(jié)果的實際意義。5.若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會有什么變化？ 二、問題分析2.1 問題一分析若不考慮雨的方向，雨以降雨量w均勻地淋遍全身。將人體簡化成長方體，求出人接受雨的總面積，人以最大速度跑步，并計算淋雨時間、單位時間、單位面積上的降雨量，求出人跑完全程的總淋雨量W。2.2

6、問題二分析 雨迎面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)且與人體夾角為，如圖1所示。根據(jù)實際情況估計人體淋雨可分為頭頂和前后左右?guī)讉€方向上。雨迎面吹來時，由于雨相對于人的速度有變化，因此人單位時間內(nèi)接收雨量變化，且與相對速度成正比。據(jù)此，推算出前后側(cè)上單位時間接受雨量。同理，頭頂部位接雨量與雨速垂直于頭頂平面的分速度成正比。分別計算出頭頂側(cè)與前后側(cè)單位時間接雨量，并分別乘以各自面積以及時間d/t,即得到頭頂及兩側(cè)淋雨的總量。在人體總的淋雨量.據(jù)此可得W與v之間關(guān)系，并能求出=0和=30°時的總淋雨量。圖12.3 問題三分析雨從背面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)且與人體夾角為，如圖2所

7、示。左右方向上淋雨量為0。頭頂上單位時間內(nèi)接收雨的量與雨速垂直方向上的分量成正比，為頭頂面積bc與時間的d/v以及之積。當(dāng)時，前方不受雨，前后方向上單位時間內(nèi)淋雨量與人前進(jìn)方向上人相對于雨的速度（usin-v）成正比，據(jù)此推算出；而當(dāng)時，后方不受雨，由于人速已經(jīng)高于雨速，這時前面會向前撞上雨滴，即與成正比。為人體前面積ab和跑步時間d/v頂淋雨量以及之積。由此可計算出總的淋雨量。 據(jù)此可得W與v之間關(guān)系，并能求出=30°時的總淋雨量。圖22.4 問題四分析以總淋雨量W為縱軸、速度為橫，針對問題三的求解，利用MATLAB作出當(dāng)分別為0°，10°，20°，3

8、0°，40°，50°，60°，70°，80°，90°時的曲線圖并加以分析。2.5 問題五分析csinbcos 圖3 俯視圖如圖三，為人體模型的俯視圖。需要分三部分計算，在前后面上，雨垂直方向分速度為，相對速度為，乘上垂直受雨的面積ab以及時間即為前后側(cè)受雨量。因為垂直于左右面人的分速度為0，左右兩面上相對速度為乘上面積ac以及時間極為左右受雨量.而頭頂受雨與雨速和人速的夾角大小無關(guān)，因此仍按（2）、（3）問的算法做。由可得雨量求法公式。二、 模型假設(shè)1. 人在奔跑過程中，大小與方向恒定，即沿直線勻速前進(jìn)。2. 對問題1人體各

9、個方向均勻接受雨量，即單位時間、單位面積上接受雨量恒定。3. 對問題2、3雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，并且雨線與人體夾角不變。在此過程中左右兩次因與雨速平行而不沾雨。4. 假設(shè)雨的密度相同，雨滴大小、形狀相同，雨速均勻不變5. 假設(shè)單位時間內(nèi)接收雨的量與雨速成正比。6. 將人體理想化為一個長、寬、高、已知的長方體模型，且人體行走過程中的震蕩引起的誤差可忽略不計。三、 符號說明a人體高度b人體寬度c人體厚度d跑步距離u雨速w降雨量雨迎面吹來時與人體的夾角俯視圖中雨速與人速的夾角跑步最大速度W總淋雨量頭頂面積人前或后表面積雨點相對人頭頂速度的垂直分量雨點相對人前后面速度的垂直分量頭頂單位時間接收雨

10、量前后面單位時間接收雨量頭頂接收雨量人體前后面接收雨量人體左右面接收雨量五、 模型建立與求解5.1問題一不考慮雨的方向，因為降雨量w均勻地淋遍全身，所以在將人體簡化成長方體的情況下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根據(jù)淋雨時間、單位時間、單位面積上的降雨量等有關(guān)條件，列出總淋雨量W的求解公式如下： 利用MATLAB編程求解（見附錄一），可得： 5.2問題二根據(jù)題意，將降落在人體上的雨滴分成兩部分， （頂部）（前面），人體接收的雨量和頭頂面積、頭頂部分與雨滴垂直下落方向分量、行走時間有關(guān)。列式求解如下：頭頂： 假設(shè)降雨量w與與點密度（均勻不計）淋雨量與人相對速度有關(guān)，所以： 正面：而 利用MAT

11、LAB編程求解（見附錄二），可得：當(dāng)v=5m/s時，淋雨量W最?。划?dāng)=0°時，W=0.0012 當(dāng)=30°時，W=0.00165.3問題三根據(jù)題意，根據(jù)題意，將降落在人體上的雨滴分成兩部分， （頂部）（前后兩面），面積為 假設(shè)：與雨點密度，雨點與人的相對速度成正比而雨點均勻分布。頭頂： 正面： 當(dāng)時，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨會沾到人的前面當(dāng)時，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨會沾到人的后面因為所以用lingo編程（見附錄三）求解可得：當(dāng)v=2m/s時，總淋雨量最少;雨線方向與人體夾角為30°時，淋雨量為0.2405556E-03。 圖45.4問題四 根據(jù)問

12、題三的結(jié)論，列出總的淋雨量W和人速度v之間的關(guān)系式，利用MATLAB畫出取不同值時的函數(shù)圖像如下： 分析圖像可知，當(dāng)v=2時，總淋雨量最少。5.5問題五應(yīng)用（3）中的結(jié)論前后側(cè)，當(dāng)時，相對速度 ，可總結(jié)為同理，可得左右側(cè)接收雨量三者相加得六、 模型評價 通過對本題的分析求解，可知道人在雨中奔跑的淋雨量不僅與跑步速度有關(guān)，還與雨線與人跑步方向的夾角，雨速以及人跑步速度等因素有關(guān)。本文忽略了降雨密度不均勻，風(fēng)向不穩(wěn)定等次要因素，以便更好的對問題進(jìn)行分析和研究。但在實際問題中的限制性因素遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過這些，因此此文的分析方法仍存在一定的局限性，有待改進(jìn)和提高。參考文獻(xiàn) 1 薛定宇，陳陽泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題

13、的MATLAB求解.北京：清華大學(xué)出版社，2008年10月。2 陳杰.MATLAB寶典.北京：電子工業(yè)出版社，2007年。附錄附錄1：問題一求解程序clear;a=1.5;b=0.5;c=0.2;w=0.02/3600;d=1000;Vm=5;W=(2*a*b+2*a*c+b*c)*w*d/VmW=0.0024附錄2：問題二求解程序附錄2.1：分析當(dāng)v=vm時總淋雨量最小程序clear;syms t v;a=1.5;b=0.5;c=0.2;w=0.02/3600; d=1000;u=4;minss=(b*c*d*w*cos(t)+a*b*d*w*sin(t)/v+a*b*w*d/u;h=dif

14、f(minss,'v') %導(dǎo)數(shù)h = -(1/1800*cos(t)+1/240*sin(t)/v2%h=-(1/1800*cos(t)+1/240*sin(t)/v2恒小于零，原函數(shù)為減函數(shù)附錄2.2：當(dāng)=0時總淋雨量程序clear;t=0;v=5;a=1.5;b=0.5;c=0.2;w=0.02/3600; d=1000;u=4;minss=(b*c*d*w*cos(t)+a*b*d*w*sin(t)/v+a*b*w*d/u minss =0.0012附錄2.3：當(dāng)=30°時總淋雨量clear;t=pi/6;v=5;a=1.5;b=0.5;c=0.2;w=0.0

15、2/3600;d=1000;u=4;minss=(b*c*d*w*cos(t)+a*b*d*w*sin(t)/v+a*b*w*d/uminss =0.0016附錄3：問題三中=30°時總淋雨量程序一：min=0.5*0.2*1.732/2*1000/v*0.02/3600+(2-v)/2*1.5*0.5*0.02/3600*1000/v;v>=0;v<=2;運行結(jié)果Local optimal solution found at iteration: 8 Objective value: 0.2405556E-03 Variable Value Reduced Cost V

16、 2.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.2405556E-03 -1.000000 2 2.000000 0.000000 3 0.000000 0.1161944E-02程序二：min=0.5*0.2*1.732/2*1000/v*0.02/3600+(v-2)/2*1.5*0.5*0.02/3600*1000/v;v>=2;v<=5;運行結(jié)果：Local optimal solution found at iteration: 8 Objective value: 0.2405556E-03 Variable

17、 Value Reduced Cost V 2.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.2405556E-03 -1.000000 2 0.000000 -0.9213884E-03 3 3.000000 0.000000附錄4：問題四的程序t=sin(t0); v1=0:0.1:t(1); v11=t(1):0.1:5; y1=(5.556e-4.*cos(t(1)+41.67e-4.*sin(t(1)./v1-4.167e-3/4; y11=(5.556e-4.*cos(t(1)-41.67e-4.*sin(t(1)./v11

18、+4.167e-3/4; plot(v1,y1,'r'); hold on plot(v11,y11,'r'); xlabel('vÖá'); ylabel('WÖá'); v2=0:0.1:t(2); v22=t(2):0.1:5; y2=(5.556e-4.*cos(t(2)+41.67e-4.*sin(t(2)./v2-4.167e-3/4; y22=(5.556e-4.*cos(t(2)-41.67e-4.*sin(t(2)./v22+4.167e-3/4; plot(v2,y2,&

19、#39;g-.'); hold on plot(v22,y22,'g-.'); v3=0:0.1:t(3); v33=t(3):0.1:5; y3=(5.556e-4.*cos(t(3)+41.67e-4.*sin(t(3)./v3-4.167e-3/4; y33=(5.556e-4.*cos(t(3)-41.67e-4.*sin(t(3)./v33+4.167e-3/4; plot(v3,y3,'k:'); hold on plot(v33,y33,'k:'); v4=0:0.1:t(4); v44=t(4):0.1:5; y4=(5.

20、556e-4.*cos(t(4)+41.67e-4.*sin(t(4)./v4-4.167e-3/4; y44=(5.556e-4.*cos(t(4)-41.67e-4.*sin(t(4)./v44+4.167e-3/4; plot(v4,y4,'b'); hold on plot(v44,y44,'b'); v5=0:0.1:t(5); v55=t(5):0.1:5; y5=(5.556e-4.*cos(t(5)+41.67e-4.*sin(t(5)./v5-4.167e-3/4; y55=(5.556e-4.*cos(t(5)-41.67e-4.*sin(t

21、(5)./v55+4.167e-3/4; plot(v5,y5,'c'); hold on plot(v55,y55,'c'); v6=0:0.1:t(6); v66=t(6):0.1:5; y6=(5.556e-4.*cos(t(6)+41.67e-4.*sin(t(6)./v6-4.167e-3/4; y66=(5.556e-4.*cos(t(6)-41.67e-4.*sin(t(6)./v66+4.167e-3/4; plot(v6,y6,'y'); hold on plot(v66,y66,'y'); v7=0:0.1:t

22、(7); v77=t(7):0.1:5; y7=(5.556e-4.*cos(t(7)+41.67e-4.*sin(t(7)./v7-4.167e-3/4; y77=(5.556e-4.*cos(t(7)-41.67e-4.*sin(t(7)./v77+4.167e-3/4; plot(v7,y7,'m'); hold on plot(v77,y77,'m'); v8=0:0.1:t(8); v88=t(8):0.1:5; y8=(5.556e-4.*cos(t(8)+41.67e-4.*sin(t(8)./v8-4.167e-3/4; y88=(5.556e-4.*cos(t(8)-41.67e-4.*sin(t(8)./v88+4.167e-3/4; plot(v8,y8,'k'); hold on plot(v88,y88,'k'