浙江大學(xué)2005年解答

1、浙江大學(xué)2005年數(shù)學(xué)分析解答一 （10分）計算定積分解：=由分部積分法+2所以，所以= 解畢二 （10分）設(shè)在可積，且，計算 解：因為在可積，所以，所以 因為，所以與等價且極限值相等由積分的定義：=4 解畢三 （15分）設(shè)為實數(shù)，且試確定的值，使得 解：若，顯然，這與矛盾，所以計算，利用洛必達法則：，易有，若，矛盾，所以.計算，繼續(xù)利用洛必達法則： 解畢四 （15分）設(shè)在上連續(xù)，且對每一個，存在，使得，證明：在存在使得證明:反證法,由于在上連續(xù),由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),不妨假設(shè) 對于任選的一點,存在使得, 存在使得 所以即,但對所有的x,矛盾.所以存在零點 證畢五 （20分）（1）設(shè)在上連

2、續(xù)，且收斂。證明存在數(shù)列滿足條件（2）設(shè)在上連續(xù)，且收斂，問是否必有？為什么？證明：（1）因為收斂，所以對于任意的，存在時 考慮，由積分中值定理，存在，使得，將記做，易見 當(dāng)時，即 證畢（2）不一定有.舉一個例子:是這樣一個函數(shù):顯然函數(shù)=,但(因為在整點處函數(shù)值為1) 解畢六（20分）設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且已知和均為有限數(shù)。證明： （1）對任何均成立. （2）也是有限數(shù)，并且滿足不等式. 證明:(1) 考慮在t處展開:=,t0,整理一下有:,所以所以 證畢(2) 因為對任何均成立. 取,所以,所以也是有限數(shù)，并且滿足不等式. 證畢七 （10分）在可積，且收斂，證明： 證明: 因為收斂,所

3、以使得 在上因為可積, 由引理即 :當(dāng)時 所以當(dāng)時,即: 證畢八 （15分）（1）將展開為冪級數(shù)，求收斂半徑. （2）利用（1）證明：. （3）利用（2）中公式近似計算的值，需要用多少項求和，誤差會不超過（為自然數(shù)）解：（1）由冪級數(shù)理論= 由收斂半徑的求法收斂半徑：（2）在級數(shù)中，令，由萊布尼茨對交錯級數(shù)的判別法，級數(shù)收斂，所以（3）對于誤差的計算，取決于余項，不妨近似地用代替余項，所以所以至少計算項，這里是取整函數(shù). 解畢九 （15分）設(shè)是上徑向函數(shù)，即存在一元函數(shù)使得若，求滿足的方程及函數(shù).解：，所以由 所以，所以所以 這里均為常數(shù)。所以 解畢十 （25分）(1)設(shè)是上，周期為的函數(shù)（）,且。利用的級數(shù)展開證明：，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)，使得（2）設(shè)是上具有光滑邊界的連通區(qū)域，設(shè)是的面積，則其中向量場， 是x軸和y軸的單位向量.，是邊界的單位外法向量，是邊界的弧長微分.（3）設(shè)同上，是的邊界的長度，利用（1），（2）證明：等號成立當(dāng)且僅當(dāng)是圓盤.證明：（1）因為是上，所以均是連續(xù)函數(shù)，所以滿足等式，又注意到所以 這里均為的系數(shù)，由級數(shù)理論可得：的系數(shù)為，由等式：，顯然如若等號成立，說明，由的級的復(fù)數(shù)形式：存在常數(shù)，使得 證畢 （2）證明：=，所以將第一類曲線積分向第二類曲線積分轉(zhuǎn)化：= 證畢(3) 將坐標(biāo)看作是弧長的函數(shù)，因為有：