橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型

1、橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型題型分析高考展望橢圓問題在高考中占有比較重要的地位，并且占的分值也較多.分析歷年的高考試題，在填空題、解答題中都涉及到橢圓的題，所以我們對橢圓知識必須系統(tǒng)的掌握.對各種題型，基本的解題方法也要有一定的了解.?？碱}型精析題型一利用橢圓的幾何性質(zhì)解題例1如圖，焦點在x軸上的橢圓1的離心率e，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個焦點和頂點，P是橢圓上任意一點，求的最大值和最小值.點評熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)是解決此類問題的根本，利用離心率和橢圓的范圍可以求解范圍問題、最值問題，利用a、b、c之間的關(guān)系和橢圓的對稱性可構(gòu)造方程.變式訓練1(2014課標全國)已知點A(0，2)，橢圓E：1

2、(ab0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點.(1)求E的方程；(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當OPQ的面積最大時，求l的方程.題型二直線與橢圓相交問題例2(2015山東)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，左，右焦點分別是F1，F(xiàn)2.以F1為圓心、以3為半徑的圓與以F2為圓心、以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓E：1，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線ykxm交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q.()求的值；()求ABQ面積的最大值.點評解決直線與橢圓相交問題的一般思路：將直線

3、方程與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由判別式范圍或根與系數(shù)的關(guān)系解決.求范圍或最值問題，也可考慮求“交點”，由“交點”在橢圓內(nèi)(外)，得出不等式，解不等式.變式訓練2(2014四川)已知橢圓C：1 (ab0)的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點，T為直線x3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.證明OT平分線段PQ(其中O為坐標原點)；當最小時，求點T的坐標.題型三利用“點差法，設(shè)而不求思想”解題例3已知橢圓y21，求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程.點評當涉及平行弦的中點軌跡，過定點的弦的中點軌跡，過定點且

4、被定點平分的弦所在直線方程時，用“點差法”來求解.變式訓練3(2015揚州模擬)已知橢圓1(ab0)的一個頂點為B(0,4)，離心率e，直線l交橢圓于M，N兩點.(1)若直線l的方程為yx4，求弦MN的長.(2)如果BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.高考題型精練1.(2015課標全國改編)已知橢圓E的中心在坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y28x的焦點重合，A，B是C的準線與E的兩個交點，則AB_.2.(2014大綱全國改編)已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點.若AF1B的周長為4，則C的方程為_.3.

5、(2014福建改編)設(shè)P，Q分別為圓x2(y6)22和橢圓y21上的點，則P，Q兩點間的最大距離是_.4.若橢圓和雙曲線具有相同的焦點F1，F(xiàn)2，離心率分別為e1，e2，P是兩曲線的一個公共點，且滿足PF1PF2，則的值為_.5.橢圓C：1 (ab0)的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點，且的最大值的取值范圍是c2,2c2，其中c是橢圓的半焦距，則橢圓的離心率取值范圍是_.6.(2014遼寧)已知橢圓C：1，點M與C的焦點不重合.若M關(guān)于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則ANBN_.7.(2014江西)過點M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C：1(ab0)相交于A，B兩點，

6、若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率等于_.8.(2014安徽)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0bb0)的左，右焦點，頂點B的坐標為(0，b)，連接BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連結(jié)F1C.(1)若點C的坐標為，且BF2，求橢圓的方程；(2)若F1CAB，求橢圓離心率e的值.10.(2015重慶)如圖，橢圓1(ab0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于P、Q兩點，且PQPF1.(1)若PF12，PF22，求橢圓的標準方程；(2)若PF1PQ，求橢圓的離心率e.11.(2015陜西)已知橢圓E：1(ab0)的半焦距為c，原點O到經(jīng)過兩點(c,

7、0)，(0，b)的直線的距離為c.(1)求橢圓E的離心率；(2)如圖，AB是圓M：(x2)2(y1)2的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點，求橢圓E的方程.12.(2015泰州模擬)已知橢圓G：1(ab0)的離心率為，右焦點為(2，0).斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(3,2).(1)求橢圓G的方程；(2)求PAB的面積.答案精析第29練橢圓問題中最值得關(guān)注的基本題型常考題型典例剖析例1解設(shè)P點坐標為(x0，y0).由題意知a2，e，c1，b2a2c23.所求橢圓方程為1.2x02，y0.又F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)

8、，xx02yxx01(x02)2.當x02時，取得最小值0，當x02時，取得最大值4.變式訓練1解(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程為y21.(2)當lx軸時不合題意，故設(shè)l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.當16(4k23)0，即k2時，x1,2.從而PQ|x1x2|.又點O到直線PQ的距離d，所以O(shè)PQ的面積SOPQdPQ.設(shè)t，則t0，SOPQ.因為t4，當且僅當t2，即k時等號成立，且滿足0，所以，當OPQ的面積最大時l的方程為yx2或yx2.例2解(1)由題意知2a4，則a

9、2，又，a2c2b2，可得b1，所以橢圓C的方程為y21.(2)由(1)知橢圓E的方程為1.()設(shè)P(x0，y0)，由題意知Q(x0，y0).因為y1，又1，即1，所以2，即2.()設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).將ykxm代入橢圓E的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2，則有x1x2，x1x2.所以|x1x2|.因為直線ykxm與y軸交點的坐標為(0，m)，所以O(shè)AB的面積S|m|x1x2|2.設(shè)t，將ykxm代入橢圓C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.由可知0t1，因此S22，故S2，當且僅當t1，即m214k

10、2時取得最大值2.由()知，ABQ面積為3S，所以ABQ面積的最大值為6.變式訓練2(1)解由已知可得解得a26，b22，所以橢圓C的標準方程是1.(2)證明由(1)可得F的坐標是(2,0)，設(shè)T點的坐標為(3，m)，則直線TF的斜率kTFm.當m0時，直線PQ的斜率kPQ，直線PQ的方程是xmy2.當m0時，直線PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得消去x，得(m23)y24my20，其判別式16m28(m23)0，所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.所以PQ的中點M的坐標為(，).所以直線OM的斜率

11、kOM.又直線OT的斜率kOT，所以點M在直線OT上，因此OT平分線段PQ.解由可得TF，PQ .所以 .當且僅當m21，即m1時，等號成立，此時取得最小值.所以當最小時，T點的坐標是(3,1)或(3，1).例3解設(shè)弦的兩端點分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為R(x，y)，則x2y2，x2y2，兩式相減并整理可得，將2代入式，得所求的軌跡方程為x4y0(x0)，與橢圓方程y21聯(lián)立得方程組，消掉x2得9y212yr2460.令12249(r246)0，解得r250，即r5.由題意易知P，Q兩點間的最大距離為r6.4.2解析由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長為2a，雙曲線的實軸

12、長為2m，不妨令P在雙曲線的右支上.由雙曲線的定義知|PF1|PF2|2m，由橢圓的定義知|PF1|PF2|2a，又PF1PF2，F(xiàn)1PF290，|PF1|2|PF2|24c2，式的平方加上式的平方得|PF1|2|PF2|22a22m2，由得a2m22c2，即2，2.5.解析設(shè)M(x0，y0)，則(cx0，y0)，(cx0，y0)，xc2yxc2b2xc2b2xc2b2.x0a，a，當x0a時，有最大值b2，c2b22c2，c2a2c22c2，2c2a23c2，e.6.12解析橢圓1中，a3.如圖，設(shè)MN的中點為D，則DF1DF22a6.D，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為MN，AM，BM的中點，BN2DF2

13、，AN2DF1，ANBN2(DF1DF2)12.7.解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則0，.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，.8.x2y21解析設(shè)點B的坐標為(x0，y0).x21，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0).AF2x軸，A(，b2).AF13F1B，3，(2，b2)3(x0，y0).x0，y0.點B的坐標為.將B代入x21，得b2.橢圓E的方程為x2y21.9.解設(shè)橢圓的焦距為2c，則F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0).(1)因為B(0，b)，所以BF2a.又BF2，故a.因為點C在橢圓上，所以1，解得b21.故所求橢圓的方程為y2

14、1.(2)因為B(0，b)，F(xiàn)2(c,0)在直線AB上，所以直線AB的方程為1.解方程組得所以點A的坐標為.又AC垂直于x軸，由橢圓的對稱性，可得點C的坐標為.因為直線F1C的斜率為，直線AB的斜率為，且F1CAB，所以1.又b2a2c2，整理得a25c2.故e2，因此e.10.解(1)由橢圓的定義，得2aPF1PF2(2)(2)4，故a2.設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1PF2，因此2cF1F22，即c，從而b1.故所求橢圓的標準方程為y21.(2)方法一如圖，設(shè)點P(x0，y0)在橢圓上，且PF1PF2，則1，xyc2，求得x0 ，y0.由PF1PQPF2得x00，從而PF2.2(a2b2

15、)2a(a)2.由橢圓的定義，PF1PF22a，QF1QF22a，從而由PF1PQPF2QF2，有QF14a2PF1.又由PF1PQ，PF1PQ，知QF1PF1，因此，(2)PF14a，即(2)(a)4a，于是(2)(1)4，解得e .方法二如圖，由橢圓的定義，得PF1PF22a，QF1QF22a.從而由PF1PQPF2QF2，有QF14a2PF1.又由PF1PQ，PF1PQ，知QF1PF1，因此，4a2PF1PF1，得PF12(2)a，從而PF22aPF12a2(2)a2(1)a.由PF1PF2，知PFPFF1F(2c)2，因此e.11.解(1)過點(c,0)，(0，b)的直線方程為bxcy

16、bc0，則原點O到該直線的距離d，由dc，得a2b2，解得離心率.(2)方法一由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2.依題意，圓心M(2,1)是線段AB的中點，且AB.易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，由x1x24，得4，解得k，從而x1x282b2.于是AB |x1x2|，由AB，得，解得b23，故橢圓E的方程為1.方法二由(1)知，橢圓E的方程為x24y24b2，依題意，點A，B關(guān)于圓心M(2,1)對稱，且AB，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x4y4b2，x4y4b2，兩式相減并結(jié)合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0，易知AB與x軸不垂直，則x1x2，所以AB的斜率kAB，因此直線AB的方程為y(x2)1，代入得x24x82b20，所以x1x24，x1x282b2，于是AB |x1x2|.由A