幾何學(xué)是一門(mén)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)分支

1、基本圖形與初中幾何教學(xué)試論“相似三角形”中的基本圖形內(nèi)容提要：幾何研究的對(duì)象是圖形，識(shí)圖是學(xué)習(xí)幾何的基本功，而所有的圖形都是由基本圖形組成和發(fā)展變化而來(lái)的。相似三角形中就有許多特殊的基本圖形。這些基本的規(guī)律圖形是非常重要的，它是我們遇到的許多復(fù)雜圖形的底圖。在復(fù)雜的圖形中，如果能夠發(fā)現(xiàn)一些基本圖形的話，對(duì)找到證明途徑往往具有很大的啟示作用。本文通過(guò)對(duì)相似三角形中的幾種基本圖形的分類(lèi)和分析，以及典型例題的證明，進(jìn)一步說(shuō)明了基本圖形的重要作用。幾何學(xué)是一門(mén)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)、內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)領(lǐng)域里一門(mén)極為重要的學(xué)科。而幾何是生活中的物質(zhì)空間的數(shù)學(xué)化，把物質(zhì)空間作為教學(xué)活動(dòng)的源泉，它研究的對(duì)象主要

2、是學(xué)生日常生活中經(jīng)常接觸的東西。初中幾何的內(nèi)容包括：（1）線段、角；（2）相交線、平行線；（3）三角形；（4）四邊形；（5）相似形；（6）解直角三角形；（7）圓。從內(nèi)容和教學(xué)課程的安排上，我們可以看出，相似形不僅是幾何學(xué)龐大知識(shí)鏈中承上啟下的一環(huán)；也是初中數(shù)學(xué)教育的重要組成部分?！跋嗨菩巍钡膬?nèi)容是在“全等形”的基礎(chǔ)上研究的，是有關(guān)全等知識(shí)的拓廣和發(fā)展。從變換的角度來(lái)講，也就是由保距變換進(jìn)入到保角變換。但它也是幾何中其他一些知識(shí)的基礎(chǔ)，如為引進(jìn)“銳角三角函數(shù)”作好了知識(shí)上、方法上的準(zhǔn)備，又為證明圓冪定理等奠定了理論基礎(chǔ)。相似形還是研究其他學(xué)科的基礎(chǔ)，如物理學(xué)中的“力學(xué)、光學(xué)”等知識(shí)也需利用相似三

3、角形性質(zhì)，同時(shí)相似形知識(shí)還有很重要的實(shí)用價(jià)值，如“工程設(shè)計(jì)、放大樣、測(cè)量、繪圖”等方面的工作都要用到這部分知識(shí)，因此這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)于今后參加生產(chǎn)勞動(dòng)從事實(shí)際工作也具有重要作用。由于相似形是采用廣泛聯(lián)系著的比較抽象的相似變換的方法，再加上它所涉及的內(nèi)容廣泛，使之成為初中幾何教學(xué)中的難點(diǎn)之一，而學(xué)好這部分的知識(shí)內(nèi)容關(guān)鍵就是掌握其中一些主要的基本圖形。其實(shí)學(xué)習(xí)平面幾何,就是創(chuàng)造條件使一般圖形向基本圖形轉(zhuǎn)化,然后利用基本圖形的性質(zhì)去解決問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生由具體到抽象,由“求真”的科學(xué)文化知識(shí)教育，將人類(lèi)幾千年沉積的科學(xué)文化成果轉(zhuǎn)化為學(xué)生的個(gè)體身心的文化素質(zhì)。所以，掌握?qǐng)D形的本質(zhì)，特征，聯(lián)系，應(yīng)用是學(xué)好

4、平面幾何，培養(yǎng)學(xué)生文化素質(zhì)的重要一議。所謂基本圖形，就是直接由定義、判定定理或性質(zhì)定理所給出的一些幾何圖形。如三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°。字母表達(dá)式為：A+B+C=180°。圖1就是該定理的基本圖形。又如平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。字母表達(dá)式為：=。圖2就是該定理的基本圖形?？梢?jiàn)，定理決定了圖形，圖形表達(dá)了定理，知其一，便知其二?；緢D形的展示可使學(xué)生結(jié)合圖形能具體形象的理解掌握定理，進(jìn)行了“求真”的科學(xué)文化知識(shí)的教育，加之“求美”的藝術(shù)圖形的構(gòu)成，使學(xué)生在快樂(lè)的教學(xué)過(guò)程中掌握知識(shí)，提高了文化素質(zhì)，進(jìn)而也提高了學(xué)

5、生的能力?；緢D形之間是有聯(lián)系的，明確與其聯(lián)系演變，對(duì)掌握基本圖形及應(yīng)用有著重要作用。因此，必須根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)良好的思維環(huán)境，使之由形象思維向抽象思維過(guò)渡。如：平行線分線段成比例定理是相似一章的基本定理。同樣，其基本圖形也是本章其它圖形的基礎(chǔ)。三角形一邊平行線判定，內(nèi)外角平行線性質(zhì)定理，相似三角形的判定定理，三角形中位線定理都是由平行線分線段成比例定理演變來(lái)的。因?yàn)閷W(xué)生的思維是不定向和不穩(wěn)定的，通過(guò)基本圖形的演變和學(xué)生對(duì)其定理的形式的掌握，會(huì)使學(xué)生的思維模式逐漸形成，理解力和記憶力也隨之增強(qiáng)，開(kāi)發(fā)了學(xué)生身心的潛能，使知識(shí)成果在學(xué)生的身心結(jié)構(gòu)中積沉和內(nèi)化。一、基本圖形平行線分線段成比

6、例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得對(duì)應(yīng)線段成比例。字母表達(dá)式：=或AB*AE=AD*AC（圖3、4）（一）基本型（圖3）例1 已知如圖1，在ABC中，點(diǎn)M是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC邊上的一點(diǎn)，且滿足=,連結(jié)BD交AM于點(diǎn)E，求的值。解：過(guò)點(diǎn)M作BD的平行線交AC于點(diǎn)NMNBD CMNCBD =又點(diǎn)M是BC的中點(diǎn) CM=MB CN=DN又= = =同理又MNED AEDAMN =求線段的比例關(guān)系通常讓人聯(lián)想到平行線分線段成比例定理，而運(yùn)用此定理的關(guān)鍵是要有平行線，所以此類(lèi)題型就轉(zhuǎn)化為如何添置平行線的問(wèn)題了。如何迅速

7、發(fā)現(xiàn)要利用的相似三角形是解題中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。常見(jiàn)的方法是把稍有變化的題目轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的題目和基本圖形，如添輔助線（特別是平行線）、變式、等量代換等。例2 已知如圖2,過(guò)菱形ABCD的頂點(diǎn)C的直線分別交BD、AB、AD的延長(zhǎng)線于E、F、G。若AG=2AF,求證:EB=BD。證明： BCAG FBCFAG =又BC=DC = 又BFDC EBFEDC = EB=ED引入替換的思想方法，是相似三角形證明中經(jīng)常用的一種方法。以上解法便利用“DC”取代“BC”來(lái)得到新的線段比例關(guān)系。例3 已知如圖3，平行四邊形ABCD，EFAC，BF交AD延長(zhǎng)線于M。求證：AD2AE*AM證明： EFAC DEFDA

8、C = 又AB=CD = (1) ABCD是平行四邊形 MAB=FCB又AMBC M=CBF AMBCBF= (2) 由(1)(2) = (3)又ABCD MDFMAB = (4)由(3)(4) = 即AD2AE*AM成比例線段問(wèn)題貫穿平面幾何的相似形與圓兩大章的內(nèi)容。證明四條線段成比例問(wèn)題，是常見(jiàn)的一種類(lèi)型證明題，從基本圖形得到四條線段成比例就得根據(jù)給要證明的四條線段放在兩個(gè)合適的三角形中，通過(guò)證明兩個(gè)三角形相似，然后應(yīng)用兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到證明的已知條件，構(gòu)造出基本圖形，才能得出結(jié)論。（二）拓展型（圖4）例4 已知如圖4，E是正方形ABCD的邊AB上的一點(diǎn)，H是CE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H任意

9、作一直線FG，交AD、BC于點(diǎn)G、F。若AE=2BE，求。證明： 過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交FG于點(diǎn)MEMFC EMHCFH =又點(diǎn)H是CE的中點(diǎn)EH=HC MH=HF又EMAD 由平行線分線段成比例定理=MG=2FM=4HF=4MH =幾何教學(xué)中經(jīng)常遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：學(xué)生定義、公理、定理記得很熟，但不會(huì)應(yīng)用。其中主要原因就是定義、定理、公理都是針對(duì)一些“基本”圖形（三角形、圓、矩形）的；但在實(shí)際應(yīng)用中，學(xué)生在復(fù)雜圖形中卻發(fā)現(xiàn)不了這些基本圖形。所以在確定相似三角形時(shí)，經(jīng)?？梢宰プ∵@些基本圖形的特征尋找到正確的解決方法。如果在教學(xué)中能夠引導(dǎo)學(xué)生掌握這些基本圖形，并能靈活地使用這些方法，則可使學(xué)生在解

10、題中拓展思路，培養(yǎng)其分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提高其數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。（三）綜合運(yùn)用例5 已知如圖5，DB=DC,APBC,PG分別交AB、AD、AC于E、F、G。求證：=。證明： 過(guò)點(diǎn)F作BC的平行線交AB、AC于點(diǎn)M、NMFBC APBC MFAP MEFAEP = (1)FNAP GNFGAP = (2)FMBD FNDC =又BD=DC MF=FN (1)=(2) 即 =引入中介值的思想，得四條線段成比例,這種方法，應(yīng)用得非常普遍。以上解法便利用其中的兩段線段相等，證明取代后的四條線段成比例即可。例6 已知如圖6，在ABC中，D在AB上，過(guò)點(diǎn)D的直線分別交CB的延長(zhǎng)線和AC于點(diǎn)F、E。如果

11、=。求證：AE=BF。證明： 過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交AB于點(diǎn)GEGBC AGEABC = (1)又EGBF EGDFBD = (2)又= (1)=(2) 即 = AE=BF例7 已知如圖7，在梯形ABCD中，ABCD，AD、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作EGAB，交BD、AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、G。若AB=a，CD=b，求FG的長(zhǎng)。解： EGAB CGFCAB = (1)又ABCD EGCD ACDAGF = (2)(2)-(1) 得 FG(-)=1 FG=我們知道數(shù)學(xué)的思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，它是構(gòu)造數(shù)學(xué)能力的核心。基本圖形是幾何教學(xué)的基本途徑，作為“模型”的基本圖形能教給學(xué)生掌握知識(shí)的通法，即普

12、通意義的方法，提高掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)發(fā)展能力，使之帶有規(guī)律性、全局性和運(yùn)用面廣的方法，發(fā)展思維的靈活性和創(chuàng)造性，使學(xué)生在天稟賦的基礎(chǔ)上形成自身的能力和文化素質(zhì)。二、基本圖形(一) 當(dāng)AED=ABC時(shí)，ADEACB(圖5)字母表達(dá)式：=或AB*AD=AC*AE例1 已知如圖1，在ABC中，BD、CE是高，且ABC+ACB=2A。求證：BC=2ED。證明： ABC+ACB=2A 而ABC+ACBA180°A60° ACE=ABD=90°60°30°= 又EAD=CAB=60° AEDACB = BC=2ED例2 已知如圖2，PAB、PCD是

13、O的割線，且PAB過(guò)圓心O，若PA=AO求tgPOC*tgPOD的值。解： 連結(jié)BD、BC、AC、ADtgPOC*tgPODtgCBA*tgDBA=*=* (1)PCA=PBD P=P PCAPBD =又PDA=CBP P=P PADPCB =將(1)轉(zhuǎn)化為 tgPOC*tgPOD*=*=又PA=AO OA=OB = tgPOC*tgPOD=基本圖形的關(guān)鍵作用是模型作用，熟悉地掌握基本圖形的性質(zhì)、特征后，作為“模型”儲(chǔ)存在記憶中，為理解應(yīng)用概念，定理打基礎(chǔ)，這樣在解決問(wèn)題中，才能應(yīng)用自如，逐漸形成一個(gè)良好循環(huán)?？吹綀D形，就能想到其反應(yīng)的定理，概念的內(nèi)容，明確求證的結(jié)論和已知的題設(shè)，就能聯(lián)想到與

14、其有關(guān)的圖形。在實(shí)際解題中，能直接觀察到一些基本圖形，就會(huì)很容易聯(lián)想到其表達(dá)式，找到解決問(wèn)題的途徑。特殊情況：當(dāng)ACB=ADE=Rt時(shí)（圖6） 例3 已知如圖3，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿對(duì)角線AC將ACD翻折，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，AE交BC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F到AC的距離FG為多少？解： AFBCFE AF=CF 又BF+CF=8 BF+AF=8 (1)又AF2=BF2+AB2=BF2+62 (2) 由（1）（2）解得BF= AF=FC= AC=10AGF=E=Rt GAF=EAC RtAFGRtACE = FG=AF*=例4 已知如圖4，在ABC中，C=90°，P為AB上的一

15、點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合，過(guò)點(diǎn)P作PEAB交AC邊于點(diǎn)E，點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合。若AB=10，AC=8，設(shè)AP的長(zhǎng)為x，四邊形PECB的周長(zhǎng)為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。（北京市海淀區(qū)2002年高級(jí)中學(xué)中等學(xué)校招生考試）解： 在ABC中，C=90°，AB=10，AC=8，根據(jù)勾股定理，得BC=6又PEAB EPA=ACB=RtA為公共角 AEPABC =又AP=x = 即AE=，PE=EC=8- BP=10-x y=PE+EC+CB+BP=+8-+6+10-x-+24設(shè)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合(圖4) 有CPAB又ACB=90° CA2=AP*AB 即 8210*AP 解得AP=因點(diǎn)P與

16、點(diǎn)A不重合，點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合 故自變量x的取值范圍是0xy與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y-+24（0x)(二)由上題的解答過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)另一種特殊的情況，那就是C、E兩點(diǎn)重合的情形。也就是當(dāng)圖5中的點(diǎn)E重合于點(diǎn)C時(shí)，基本圖形就變成為圖7的形式了。這時(shí)的字母表達(dá)式應(yīng)為： =或AC2=AD*AB例5 已知如圖5，在ABC中，AD平分BAC，AD的垂直平分線交AD于E,交BC的延長(zhǎng)線于F。求證:FD2=FB*FC。（廣州市中考題）證明： 連結(jié)AFFAD=FDA CAD=BAD FADCAD=FDABADFAC=B 又AFC=BFA（公共角） FACFBA= FA2=FB*FC又FA=FD FD2=FB*F

17、C用數(shù)形結(jié)合、引輔助線、以及解方程（比例）、等量代換（線段比、“中間比”）去尋找解體思路。如尋找“對(duì)應(yīng)”，即如要找對(duì)應(yīng)定點(diǎn)，只要判斷兩個(gè)定點(diǎn)是否相等，相等的角為對(duì)應(yīng)角，它們的頂點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，相應(yīng)兩個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線就是對(duì)應(yīng)線段等。例6 已知如圖6，在ABC中，ACB=90°,AM是BC邊上的中線，D在AM上，且DBM=BAM。求證：CDAM。證明： DBM=BAM BMD=AMB（公共角） DBMBAM = BM2=DM*AM又AM是BC的邊上的中線 CM=BM CM2=DM*AM =又AMC=CMD（公共角） CMDAMC CDM=ACM=Rt CDAM對(duì)于一些較難的幾何圖形，基本

18、圖形是隱藏在所給的圖形里，必須根據(jù)所給的已知條件適當(dāng)引輔助線構(gòu)成基本圖形，才能達(dá)到目的。例7 已知如圖7，在ABC中，ACB=2ABC.求證：AB2=AC2+AC*BC。證明： 作ACB的角平分線交AB于點(diǎn)D 則ACD=ABC 又A=A（公共角） ACDABC = AC2=AD*AB (1) AC*BC=AB*CD (2) 又B=DCB BD=CD 則（2）轉(zhuǎn)化為 AC*BC=AB*BD (3)由（1）（3）得 AC2+AC*BCAD*AB+AB*BD=AB(AD+DB)=AB2 得證例8 已知如圖8，在正方形ABCD中，M是AB上一點(diǎn)，N是BC上一點(diǎn)。且BM=BN，BECM，垂足為點(diǎn)E。求證

19、：DEEN。證明： ABC=Rt BECM 1MBE=2+MBE=Rt 1=2 同理 又DCEECB=2+ECB=Rt DCE=2 又MEB=BEC=Rt BCEMBE = 又BC=DC BN=BM = 即= 又DCE2 DCENEB DECNEB DENBEC=Rt DEEN同樣道理，當(dāng)ACB=ADC=Rt時(shí)，基本圖形就變?yōu)閳D8了。這時(shí)就變成了我們所熟悉的射影定理。字母表達(dá)式為：AC2=AD*AB或BC2=BD*AB例9 已知如圖9，AB是O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上,PC是O的切線，切點(diǎn)為C，且CDAB，垂足為E。若OE:EA=1:2，PA=6,求O的半徑。(長(zhǎng)沙市2002年初中畢業(yè)會(huì)考

20、)解： 連結(jié)OC 設(shè)OE=x OE:EA=1:2 EA=2x OA=OC=3xOP=3x+6PC是O的切線 PCO=Rt 又CDAB 由射影定理知 OC2=OE*OP即(3x)2=x(3x+6) x11 x20（不合題意，舍去）故r=OA=3*1=3三、圓中的基本圖形重視掌握基本圖形聯(lián)系，演變，好就好在只要記住或回憶起其中一個(gè)，就能記住其它。如：相交弦定理，切割線定理，割線定理，就是從上面幾種基本圖形演變而來(lái)的。以切割線定理為例，可知此圖形其實(shí)就是基本圖形（二）的演變。切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。字母表達(dá)式：PC2=PA*PB（圖9）例1 已知如圖1，P為O外一點(diǎn)，PA為O切線