歐拉法改進(jìn)歐拉法斐波那契法原理及流程圖

1、1歐拉法求微分方程方法說明歐拉(Euler)法是解常微分方程初值問題 (4.1) 最簡(jiǎn)單的數(shù)值方法，其具體做法是，將區(qū)間a，b進(jìn)行N等分：，步長(zhǎng).并將式(4.1)寫成等價(jià)的積分形式（4.2）再對(duì)式(4.2)右端積分用矩形公式計(jì)算，則有, (4.3)在式(4.3)右端取，舍去余項(xiàng)。則得,作為的近似值。在式(4.3)右端取，舍去余項(xiàng)，則得y2=y1+hf（x1，y1）作為的近似值一般地，在式(4.3)右端取舍去余項(xiàng)，則得(4.4)作為的近似值式(4.4)為歐拉法計(jì)算公式我們知道微分方程的解是平面上的一族積分曲線，這族曲線中過點(diǎn)的積分曲線就是初值問題式(4.1)的解歐拉法的幾何意義是，過點(diǎn)引斜率為的

2、積分曲線的切線，此切線與直線的交點(diǎn)為，再過點(diǎn)引以為斜率的切線與直線的交點(diǎn)為，依此類推，從出發(fā)，作以為斜率的切線，此切線與直線交點(diǎn)為于是便得到過點(diǎn)的一條折線，見圖4.1過的積分曲線則用此折線來代替因此，這種方法亦稱折線法 圖4.1 例：用歐拉法求微分方程歐拉法流程圖如下:x0+h=x1y0+h*f(x0,y0)=y1n=1輸出x1,y1n=1+nx1= x0y1= y0結(jié)束n=N ?讀入x0,y0,b,h開始計(jì)算N=fix(b-x0)/h)歐拉法程序如下：clear;clc;x1=0;x2=1;h=0.1;x0=0;y0=1;N=(x2-x1)/h;%要計(jì)算的次數(shù)x(1)=x0;y(1)=y0;

3、for n=1:N x(n+1)=x(n)+h; y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n);endX=xY=y2 改進(jìn)歐拉法求微分方程方法說明 由于歐拉法采用矩形公式計(jì)算積分產(chǎn)生較大截?cái)嗾`差改進(jìn)歐拉法(又稱改進(jìn)折線法)是采取梯形公式來計(jì)算式(4.3)右端積分，則有 （5.1）在式(5.1)右端取，舍去余項(xiàng)，則得將作為的近似值在式(5.1)右端再取，舍去余項(xiàng)，則得將作為的近似值一般地，在式(5.1)右端取，舍去余項(xiàng)則得(5.2)將作為的近似值式(5.2)為改進(jìn)歐拉法計(jì)算公式流程圖如下：例：用改進(jìn)歐拉法求微分方程改進(jìn)歐拉法程序如下：clear;clc;x1=0;x2=1;h=

4、0.1;x0=0;y0=1;p(1)=0;N=(x2-x1)/h;x(1)=x0;y(1)=y0;for n=1:N x(n+1)=x(n)+h; y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n); p(n+1)=y(n)+h*(y(n+1)-2*x(n)/y(n+1); y(n+1)=(y(n+1)+p(n+1)/2;endX=xY=y3斐波那契法求極值方法說明斐波那契法原理類似于黃金分割法，只是搜索區(qū)間的縮短率不再采用黃金分割數(shù)0.618。如圖7.1所示，只要在a,b內(nèi)取兩點(diǎn)x1,x2,并計(jì)算出f(x1),f(x2),通過比較，可將區(qū)間a,b縮短為a,x2或x1,b。因?yàn)樾碌膮^(qū)間內(nèi)包含一個(gè)已經(jīng)計(jì)算過函數(shù)值的點(diǎn)，所以再從其中取一個(gè)試點(diǎn)，又可將這個(gè)新區(qū)間再縮短一次，不斷地重復(fù)這個(gè)過程，直至最終的區(qū)間長(zhǎng)度縮短到滿足預(yù)先給定的精確度為止。圖7.1 現(xiàn)在的問題是，怎樣選取試點(diǎn)，在保證同樣精確度的情況下使得計(jì)算f(x)函數(shù)值的次數(shù)最少？在計(jì)算函數(shù)值的次數(shù)一定的情況下，最初區(qū)間與最終區(qū)間的長(zhǎng)度之比可作為取點(diǎn)方式優(yōu)劣的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。計(jì)算n次函數(shù)值，如何取點(diǎn)使最終區(qū)間最小？或者最終區(qū)間長(zhǎng)度為1，計(jì)算n次函數(shù)值，初始區(qū)間最多為多長(zhǎng)？為此，引入Fibonacci數(shù)列： F0=F1=1 Fn=Fn-1+Fn-2 , n2 表7.1系 所以當(dāng)試點(diǎn)個(gè)數(shù)n確定之后，最初的兩個(gè)試