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1、復習舊課:1無窮小量、無窮大量、無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系 導言:前面我們介紹了極限的定義,為了方便計算下面我們介紹極限的運算法則和兩個重要的極限23極限的運算法則231極限的性質定理1:(唯一性)如果極限存在,則它只有一個極限。即若,則 定理2 : (有界性)若極限存在,則函數(shù)在的某一空心鄰域內有界定理3 : (局部保號性)如果,并且(或),則在的某一空心鄰域內,有(或) 。推論 若在的某一空心鄰域內有(或),且,則(或) 。232極限的運算法則定理1: 設,則 (1) = (2) 若.(常數(shù)),則 (3) 證明 因為,,利用2。2定理,它們可以分別寫為: =,其中均為無窮小量
2、,則有: (1) +=A+B+由22定理知 仍為無窮小量,所以+以A+B為極限. 即=.容易證明: 例1 求解 15例2 求解 例3 求解 因為0根據(jù)無窮大于無窮小的關系所以有 注意:求極限時,必須注意每一步的根據(jù),否則會出現(xiàn)錯誤。 例4 求 解 例5 解 例 6 求解 結論: 例7 求 解 小結: 1極限運算法則 2求極限方法 1)設為多項式,則。2)、均為多項式,且,則3)若,則 4)若 為“”型時,用因式分解找出“零因子”。 5)結論: 6)若有界,則 7)若為“”型時,一般是通分或有理化后再處理。24兩個重要極限241判別極限存在的兩個準則準則1 (夾逼定理)設函數(shù)在的某一鄰域內滿足且
3、有極限,則有準則2 如果數(shù)列單調有界,則一定存在。242兩個重要極限1極限 例8 計算 解 ·=·=1例9計算解 例10計算解 結論:例11計算 解 例12 求解 例13 求 解 錯誤做法:1正確做法:2極限例14 計算解 例15 計算 解 例16 計算 解例 17計算解 例18計算 解 例19 解 令 所以 小結: ;1;1;1作業(yè)P271(3) (6) ,P311(1)(6)(9)2(1)(3)講述我們先介紹極限的運算法則 證明從略。以上性質只對的情況加以敘述,其它的形式也有類似的結果。設為多項式 當時, 因為為多項式,所以極限值等于在處的函數(shù)值因為為兩個多項式商的極限,且在x=1處分母的極限不為零,所以極限值等于函數(shù)值。 在x=-1處,分母為零,不能直接計算極限。在x=-1處,分母為零,不能直接計算極限?!啊毙?,先設法 約去非零因子。 “”型,用無窮小量分出法,即分子、分母同時除以x的最高次冪。 先通分,再計算。一般證明略 例8、例9
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