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第9節(jié) 二元函數(shù)的泰勒公式設連續(xù)可導的任意。固定，記，則 （*）下面設充分連續(xù)可導。固定，記.我們用數(shù)學歸納法證明：。（1）當時。由復合函數(shù)的求導法則，可求得（2）歸納地設公式對于時是對的。當時。記由（*），公式也是對的。，由一元函數(shù)的泰勒公式，得 (9.2)因此，(，)， (9.1)其中 我們有二元函數(shù)的泰勒公式：定理9.1(二元函數(shù)的泰勒公式) 設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有直到階的連續(xù)偏導數(shù)，則對內(nèi)的任一點，有， (9.1)其中，此式稱為二元函數(shù)在點處帶拉格朗日型余項的泰勒公式 是沒有意義的，只有的右邊才有意義。若，則得， (9.3)稱之為二元函數(shù)的中值公式特別地，若令，便得到二元函數(shù)的麥克勞林公式：， (9.4)【例9.1】設，在點附近用二次多項式逼近，并用它計算的近似值解由題意，用在處的二階泰勒公式去掉余項即可得到所要求的二次多項式因為，得，于是有，令，故【例9.2】求的階帶拉格朗日型余項的麥克勞林公式解令，則有，當時，由一元函數(shù)的泰勒公式，有，將代入，得，習題9-9求函數(shù)在點處的二階泰勒多項式*求函數(shù)的三階麥克勞林公式求函數(shù)在的鄰域內(nèi)的泰勒公式求函數(shù)的階
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