第09章09二元函數(shù)的泰勒公式(1)_第1頁(yè)
第09章09二元函數(shù)的泰勒公式(1)_第2頁(yè)
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第9節(jié) 二元函數(shù)的泰勒公式設(shè)連續(xù)可導(dǎo)的任意。固定，記，則 （*）下面設(shè)充分連續(xù)可導(dǎo)。固定，記.我們用數(shù)學(xué)歸納法證明：。（1）當(dāng)時(shí)。由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可求得（2）歸納地設(shè)公式對(duì)于時(shí)是對(duì)的。當(dāng)時(shí)。記由（*），公式也是對(duì)的。，由一元函數(shù)的泰勒公式，得 (9.2)因此，(，)， (9.1)其中 我們有二元函數(shù)的泰勒公式：定理9.1(二元函數(shù)的泰勒公式) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有直到階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)內(nèi)的任一點(diǎn)，有， (9.1)其中，此式稱為二元函數(shù)在點(diǎn)處帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式 是沒有意義的，只有的右邊才有意義。若，則得， (9.3)稱之為二元函數(shù)的中值公式特別地，若令，便得到二元函數(shù)的麥克勞林公式：， (9.4)【例9.1】設(shè)，在點(diǎn)附近用二次多項(xiàng)式逼近，并用它計(jì)算的近似值解由題意，用在處的二階泰勒公式去掉余項(xiàng)即可得到所要求的二次多項(xiàng)式因?yàn)?，得，于是有，令，故【?.2】求的階帶拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式解令，則有，當(dāng)時(shí)，由一元函數(shù)的泰勒公式，有，將代入，得，習(xí)題9-9求函數(shù)在點(diǎn)處的二階泰勒多項(xiàng)式*求函數(shù)的三階麥克勞林公式求函數(shù)在的鄰域內(nèi)的泰勒公式求函數(shù)的階

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