ch、無窮級數(shù)

1、1CH11、無窮級數(shù)1、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念與性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念與性質(zhì)一、概念一、概念1 1、定義、定義 1：對于數(shù)列，稱為（常數(shù)項(xiàng),21nuuunnnuuuu211無窮）級數(shù)。稱為級數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng)；nu級數(shù)的前項(xiàng)和稱為級數(shù)的部分和，顯然nnnuuuS21構(gòu)成一個(gè)數(shù)列。 ), 2 , 1(nSn2、定義、定義 2：若部分和數(shù)列有極限，即，則稱級數(shù)收斂， nSSSSnnlim1nnu稱為級數(shù)的和，記為。若無極限，則稱級數(shù)發(fā)散。S1nnu1nnuS nS1nnu稱為級數(shù)的余項(xiàng)，稱為誤差。21nnnnuuSSrnr例例 1、用定義判別下列級數(shù)的斂散性；n21) 1(1321211nn1) 1(111

2、n解：解：，故級數(shù)發(fā)散。2) 1(21nnnSn，111) 1(1nnnnun，故級數(shù)收斂于 1。11111112121211nnnSn不存在，故級數(shù)發(fā)散。nnnnnSnnSulim10,) 1(1為奇數(shù)為偶數(shù)3、兩個(gè)重要級數(shù)、兩個(gè)重要級數(shù) 幾何級數(shù)或等比級數(shù)時(shí)收斂，)0(0aaqaqaaqnnn1q2時(shí)發(fā)散。1q證：證：nnaqaqaS，發(fā)散，naSqn,1時(shí)，發(fā)散為偶數(shù)為奇數(shù)時(shí)nanaSqnn0) 1(11,1，qqaSqnn11,11時(shí)，發(fā)散，收斂，故得證。nSq,1時(shí)qaSqn1,1時(shí)調(diào)和級數(shù)發(fā)散nnn13121111證：證：將級數(shù) 2 項(xiàng)、2 項(xiàng)、4 項(xiàng)、8 項(xiàng)、項(xiàng)組合在一起，有m2

3、11212116191815141312111mmnn1121211611618181414121mm，故發(fā)散。211m11nn二、性質(zhì)二、性質(zhì)1、若，則Sunn1kSukkunnnn112、若，則也收斂，且11Sunn21Svnn1nnnvu211SSvunnn3、在級數(shù)中去掉或添加有限項(xiàng)不影響其斂散性。三、級數(shù)收斂的必要條件三、級數(shù)收斂的必要條件定理：定理：若級數(shù)收斂，則，即級數(shù)收斂的必要條件是通項(xiàng)趨于零。1nnu0nu證：證：若收斂，則1nnu0limlimlimlim11SSSSSSunnnnnnnnn3推論：推論：若，則發(fā)散。例如例 1 中的和0limnnu1nnu1nn11) 1(

4、nn注：注：級數(shù)的通項(xiàng)，此級數(shù)未必收斂。1nnu0nu1nnu例如對于調(diào)和級數(shù)，通項(xiàng)，但級數(shù)卻發(fā)散。11nn01nun2、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法常數(shù)項(xiàng)級數(shù)審斂法一、正項(xiàng)級數(shù)及審斂法一、正項(xiàng)級數(shù)及審斂法1 1、若，則稱為正項(xiàng)級數(shù)。0nu1nnu定理：定理：正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件是部分和數(shù)列有界。 nS證：證：，即為單增數(shù)列，故級數(shù)收斂。0nu nS 有界有極限nnSS2 2、審斂法、審斂法比較審斂法比較審斂法定理：定理：對于兩正項(xiàng)級數(shù)、，設(shè)，則1nnu1nnvnnvu (1)當(dāng)收斂時(shí)，也收斂；(2)當(dāng)發(fā)散時(shí)，也發(fā)散。1nnv1nnu1nnu1nnv證：證：(1)若收斂,設(shè)其和為，則的部分和1nnv1n

5、nu，即有界，從而收斂。nnnvvvuuuS2121nS1nnu(2)若發(fā)散，顯然其部分和，則的部分和1nnunS1nnv，從而，即nnnnSuuuvvv2121n發(fā)散。1nnv4例例 1、討論級數(shù)的斂散性。P)0(13121111pnnpppnp解：解：時(shí)，而發(fā)散，故發(fā)散。1pnnp1111nn11npn 時(shí)，將級數(shù) 1 項(xiàng)、2 項(xiàng)、4 項(xiàng)、8 項(xiàng)、項(xiàng)組合在一起，有1pm2ppppppnpn1518171413121111pppppp8181414121211 等比級數(shù)01111218141211nnpppp，故收斂，從而收斂，1211pq0121nnp11npn即級數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散，時(shí)收斂。p1

6、p1p比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式定理：定理：對于兩正項(xiàng)級數(shù)、，若，則與1nnu1nnv)0(limllvunnn1nnu同斂散。1nnv例例 2、討論下列級數(shù)的斂散性。 1131nn1) 1(1nnn11sinnn1211lnnn解：解：，而發(fā)散，故發(fā)散。311) 1(1nnn11nn1131nn，而發(fā)散，故發(fā)散。11) 1(1nnn11nn1) 1(1nnn，而發(fā)散，故發(fā)散。11)1sin(nn11nn11sinnn5，而收斂，故收斂。1111ln22nn121nn1211lnnn比值（達(dá)朗貝爾）審斂法比值（達(dá)朗貝爾）審斂法定理：定理：對于正項(xiàng)級數(shù)，若，則時(shí)級數(shù)收斂，1nnun

7、nnuu1lim1 時(shí)級數(shù)發(fā)散，時(shí)需進(jìn)一步判別。nnnuu1lim1 或1根值（柯西）審斂法根值（柯西）審斂法定理：定理：對于正項(xiàng)級數(shù)，若，則時(shí)級數(shù)收斂，1nnunnnulim1 時(shí)級數(shù)發(fā)散，時(shí)需進(jìn)一步判別。nnnulim1或1例例 3、判別下列級數(shù)的斂散性。 1) 13(52) 12(31nnn1223cosnnnn1211nnn1)1(21nnn解：解： 收斂1322312) 13(52) 12(31) 13(52) 12(311nnnnnnuunn， nnnnvnnnu223cos21212122111nnnnvvnnnn收斂，從而也收斂。1nnv1nnu 收斂111111)1)(enn

8、unnnn 收斂。12121)1(1nnnnu例例 4、判別下列級數(shù)的斂散性。 1!1nn13121nnn1cos1nn111nna)0(1nnn解：解：，收斂，故也收斂。nnn221!nn21!1121nn1!1nn6因均收斂，由性質(zhì)知原級數(shù)也收斂。1131,21nnnn，而收斂，故也收斂。21211cos12222nnnn121nn1cos1nn時(shí)， 發(fā)散，時(shí)， 發(fā)散10 a111, 0nnnaua1a21nu時(shí)，而收斂，故原級數(shù)收1a11111nnnnaaaa11nna121q斂發(fā)散收斂1111) 1(11nnnuunnnn時(shí)，級數(shù)變?yōu)?111nnnn，。時(shí)發(fā)散即11p時(shí)收斂即11p二、

9、交錯(cuò)級數(shù)及審斂法二、交錯(cuò)級數(shù)及審斂法1、若級數(shù)各項(xiàng)正負(fù)相間，即為，則稱之為321321uuuuuu或交錯(cuò)級數(shù)，可記為。0,) 1() 1(111nnnnnnnuuu 或2、交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲判別法若交錯(cuò)級數(shù)滿足 ，即單調(diào)下降趨于零，11) 1(nnnunnuu10nunu則收斂，且其和 (首項(xiàng))；余項(xiàng)的絕對值(誤差)11) 1(nnnu1uS 1nnur證：證：因，得 單增，nnuu1 nnnuuuuuuS21243212且 有上界， nnnnuuuuuuuuS212225432121u故有極限，且。nS2S1uS 又，即也有極限，SuSuSSnnnnnnnnn12212212limlimli

10、mlim12 nSS7從而部分和數(shù)列有極限，故級數(shù)收斂于，且。 nSSS1uS 2121nnnnnnuuuuSSr即也是一個(gè)交錯(cuò)級數(shù)，并滿足條件、，nr故也收斂，且其和 （首項(xiàng)） 。nr1nnur例例 5、討論下列交錯(cuò)級數(shù)的斂散性。 111) 1(nnn11) 1(nnnn12100) 1(nnnn解：解： 單降趨于零，故收斂。nun1 單降趨于零，故收斂。nnnnun111令2222100100)(,100)(xxxfxxxf即時(shí)，單降且趨于零，故收斂。10n1002nnun三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂1 1、若級數(shù)的項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)，則稱之為任意項(xiàng)級數(shù)，其各項(xiàng)絕對值構(gòu)成1nnu

11、nu的級數(shù)稱為的正項(xiàng)級數(shù)。1nnu1nnu定理：定理：收斂收斂。1nnu1nnu誤證：誤證：因，而收斂，由比較審斂法收斂。nnuu 1nnu1nnu證：證：令。 因收斂，得也收斂。nnnnnuvuuv0,21則1nnu1nnv又，從而也收斂。nnnuvu 21112nnnnnnuvu82、對任意項(xiàng)級數(shù)及其正項(xiàng)級數(shù)1nnu1nnu 若收斂（此時(shí)自然也收斂） ，則稱絕對收斂；1nnu1nnu1nnu 若發(fā)散，而收斂，則稱條件收斂。1nnu1nnu1nnu例例 6、討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性。 14sinnnn111) 1(nnn1ln) 1(nnnn12/ )1(2) 1(nnnn11)

12、 1(npnn解：解：，而收斂，故收斂，即原級數(shù)絕對收斂。441sinnnnun141nn1nnu對交錯(cuò)級數(shù)，單降趨于零，級數(shù)收斂。111) 1(nnnn1但 顯然發(fā)散，故原級數(shù)條件收斂。11111) 1(nnnnn令，又，)(0ln1)(,ln)(2時(shí)exxxxfxxxf01limlnlimxxxxx即單降趨于零，從而級數(shù)收斂。nnln又，由比較審斂法發(fā)散，nnnnnn1lnln) 1(1ln) 1(nnnn即原級數(shù)條件收斂。收斂，故原級數(shù)絕對收斂。112/ )1(1212) 1(nnnnnnnnu時(shí)，發(fā)散，時(shí)，單降趨于零，收斂，0p01) 1(pnn0ppn1，故原級數(shù)時(shí)發(fā)散時(shí)收斂1111

13、) 1(111ppnnunpnpnnn1100ppp絕對收斂條件收斂發(fā)散3、冪級數(shù)冪級數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)91、項(xiàng)為函數(shù)的級數(shù)稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。)(1xunn2、若數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂（發(fā)散） ，則稱為的收斂（發(fā)散）點(diǎn)，)(01xunn0 x)(1xunn收斂（發(fā)散）點(diǎn)的全體稱為的收斂（發(fā)散）域。)(1xunn3、對收斂域中任一，收斂，令其和為，故在收斂域上為x)(1xunnS)(1xunn的函數(shù)，令為，稱之為的和函數(shù)。x)(xS)(1xunn二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性1 1、稱為冪級數(shù)，稱為冪級數(shù)的系數(shù)。nnnnnnxxaxa)(000或na2、定理、定理 1（Abel 定理）

14、定理）若在時(shí)收斂，則滿足的一切使絕對收斂；nnnxa000 xx0 xx xnnnxa0若在時(shí)發(fā)散，則滿足的一切使發(fā)散。nnnxa000 xx0 xx xnnnxa0即3、收斂半徑與收斂區(qū)間、收斂半徑與收斂區(qū)間由 Abel 定理知，只可能有如下三種情況：nnnxa0 對任一，都收斂；除外，處處發(fā)散；xnnnxa00 xnnnxa0存在，當(dāng)時(shí)發(fā)散，當(dāng)時(shí)收斂。當(dāng)時(shí)，可能收斂，也0RRx Rx Rx可能發(fā)散。稱為的收斂半徑，級數(shù)可能在或Rnnnxa0,(),),(RRRRRR上收斂，此區(qū)間稱為的收斂區(qū)間。,RRnnnxa010規(guī)定：規(guī)定：對，收斂區(qū)間為；對，收斂區(qū)間縮為一R,0R點(diǎn)。0 x4、收斂半

15、徑、收斂區(qū)間的求法、收斂半徑、收斂區(qū)間的求法定理定理 2：設(shè)極限，其中為中相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)，nnnaa1lim1,nnaannnxa01,nnxx則若；若；若。1, 0R則R則, 00,R則上述三種情況可統(tǒng)一為。1lim1nnnaaR求出后，再用適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袆e出時(shí)級數(shù)的斂散性，即可得出級數(shù)RRx的收斂區(qū)間。例例 1、求下列級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間0nnx1) 1(nnnnx0!nnnx1)5(nnnx12) 1(nnnnx022) !()!2(nnxnn02nnx解：解：，又時(shí)，均發(fā)散，故收斂區(qū)間為111limlim1nnnnaaR1x0nnx。1 , 1，1) 1() 1() 1(limlim

16、11nnaaRnnnnnn時(shí)，交錯(cuò)級數(shù)中的單降趨于零，收斂，1x11) 1(nnnn1時(shí)，級數(shù)變?yōu)?，發(fā)散，故收斂區(qū)間為。1x111) 1() 1(nnnnnn1 , 1，故收斂區(qū)間為。! ) 1(1!1limlim1nnaaRnnnn,令，級數(shù)變?yōu)?，tx51nnnt1111limlim1nnaaRnnnn時(shí)，級數(shù)為，發(fā)散；時(shí)，級數(shù)為，收斂，1t1211nn1t1) 1(nnn11得，故收斂區(qū)間為。151, 11xt即6 , 4令，級數(shù)變?yōu)?，tx2) 1(1nnnt1) 1(11limlim1nnaaRnnnn時(shí)，級數(shù)為，發(fā)散；時(shí)，級數(shù)為，收斂，1t11nn1t1) 1(nnn得，故收斂區(qū)間為。

17、12) 1(1, 11xt即)3 , 1級數(shù)中的冪次不按自然數(shù)遞增，屬有缺項(xiàng)情形，不能用公式x計(jì)算，而要用比值法確定的斂散性，從而得出收斂區(qū)間與1limnnnaaR0)(nnxu收斂半徑。22222)1(2214) 1()22)(12(lim) !()!2()!1(!) 1(2lim)()(limxxnnnxnnxnnxuxunnnnnnn由比值法，當(dāng)時(shí)，級數(shù)（絕對）收斂，21, 142xx即當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散，故收斂半徑。21, 142xx即21R或：或：令，則級數(shù)變?yōu)?，tx 202) !()!2(nntnn 41)22)(12() 1(lim)!1(!) 1(2) !()!2(limlim22

18、21nnnnnnnaaRnnnnn得，故收斂半徑為。21,41xt即21R發(fā)散發(fā)散或級數(shù)絕對收斂1) 1(1)(1110limlim)()(lim22212)1(1xxuxxxxxxuxunnnnnnnnnn故，收斂區(qū)間為。1R1 , 1三、冪級數(shù)的運(yùn)算三、冪級數(shù)的運(yùn)算1、四則運(yùn)算：、四則運(yùn)算：加減法：（）nnnnnnnnnnxbaxbxa000)(21,minRRR 2、分析運(yùn)算、分析運(yùn)算12定理：定理：設(shè)冪級數(shù)的收斂區(qū)間為，和函數(shù)為，則在nnnxa0RR,)(xS)(xS內(nèi)可任意次求導(dǎo)或積分，并有RR,逐次求導(dǎo)公式：，1100)(nnnnnnnnnnxaxaxaxS逐次積分公式：，xnnn

19、nxnnnnnxxnadxxadxxadxxS00100001)( 逐項(xiàng)求導(dǎo)或積分后所得的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑，但收斂區(qū)間不一定相同，可能擴(kuò)大（積分時(shí)）或縮小（求導(dǎo)時(shí)） 。 逐項(xiàng)求導(dǎo)時(shí)要注意級數(shù)下標(biāo)的變化。3、幾個(gè)常用結(jié)果（等比級數(shù)）、幾個(gè)常用結(jié)果（等比級數(shù)），記為) 11(,11) 1(,1,11010 xxxxxxxxnnnnnnn“”公比首項(xiàng)1例例 2、求下列級數(shù)的和函數(shù)，并求 11nnxn12nnnnnxnn1) 1(112nnxn12) 1(1211nxnnn解：解： 21111)1 (11111xxxxxxxnnnnnnn令，則，故21x1142nnn221nnn1111

20、111) 1() 1(nnnnnnnnxxxxxnnxxnn32)1 (21111xxxxxxxx xxxxxxxnnnxnnnnnnnnn11) 1(21111111213323)1 (1)1 (1)1 (2111111xxxxxxx令，則12) 1()(1211nxxSnnn2221111) 1()(xxxSnnn，故xxxxSxSdxxdxxs0020arctan)0()(,11)(xxSarctan)(4、函數(shù)展成冪級數(shù)函數(shù)展成冪級數(shù)一、泰勒級數(shù)一、泰勒級數(shù)1、泰勒公式、泰勒公式若在的某鄰域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，則 )(xf0 x1n)()()(000 xxxfxfxf稱 nknkknnnxRx

21、xkxfxRxxnxfxxxf000)(00)(200)()(!)()()(!)()(! 2)(為在處的泰勒公式，其中。)(xf0 x1000)1()()!1()()(nnnxxnxxxfxR2、泰勒級數(shù)、泰勒級數(shù)若在的某鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，則 )(xf0 x)()(!)(0000)(xfxxnxfnnn稱為在處的 nnxxnxfxxxfxxxf)(!)()(! 2)()(00)(20000)(xf0 x泰勒級數(shù)。顯然，能展成泰勒級數(shù)的充要條件是余項(xiàng)。)(xf0)(xRn若，泰勒級數(shù)變?yōu)?，稱為馬克勞林級數(shù)。00 x0)(!)0(nnnxnf二、函數(shù)展成冪級數(shù)二、函數(shù)展成冪級數(shù)1、直接展開法、直

22、接展開法 計(jì)算出；), 2 , 1 , 0()()(0)()(nxfxfnn及 作出級數(shù)，并求出收斂區(qū)間；000)()(!)(nnnxxnxf14 討論是否為零，如為零，則，否則)(limxRnn000)()(!)()(nnnxxnxfxf不能展成冪級數(shù)。)(xf例例 1、展下列函數(shù)為的冪級數(shù)x xexf)(xxfsin)()()1 ()(為任意實(shí)數(shù)xxf解：解：!1!)0(, 1)0(,)()()()(nnfafexfnnnxn級數(shù)為，收斂區(qū)間為，0!nnnx, （收斂的級數(shù)通項(xiàng)）0)!1(lim)!1(lim)(lim11nxexnexRnnxnxnnn0故 (1),(! 2102xnxn

23、xxxennnx2sin)0(,2sin)()()(nfnxxfnn級數(shù)為),(,)!12() 1(! 5! 31253xnxxxxnn0)(, 0)!1()!1(21sin)(011xRnxxnnxxRnnnn從而故 (2),(,)!12() 1()!12() 1(! 5! 3sin0121253xnxnxxxxxnnnnn) 1() 1()0(,1) 1() 1()()()(nfxnxfnnn級數(shù)為，可證nxnnxx!) 1() 1(! 2) 1(120)(xRn故 (5)*2) 1 , 1(,!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (xxnnxxxn*在端點(diǎn)處上式是否成立與的取值有關(guān)。1

24、x152、間接展開法、間接展開法由已知展開式 代換、四則運(yùn)算、分析運(yùn)算 待求展開式例例 2、展下列函數(shù)為的冪級數(shù) x xxfcos)()1ln()(xxfxxf2sin)(xxfarcsin)(解：解：02012)!2() 1()!12() 1(sincosnnnnnnnxnxxx (3),(,)!2() 1(! 4! 21242xnxxxnn，0) 1(11)(nnnxxxf xnnnxdxxdxxf000) 1()(01001) 1() 1()0()(nnnnxnnnxdxxfxf故 (4)1 , 1,1) 1(1) 1(32)1ln(01132xnxnxxxxxnnnnn注：注：要熟記展

25、開式(1)(5)及兩個(gè)特例，)7() 1(11),6(1100nnnnnxxxx在實(shí)際中大多根據(jù)上述七個(gè)常用展式，采用間接展開法將函數(shù)展成冪級數(shù)。012)!12()2() 1(2sincossin2)(nnnnxxxxxf0022122212)!22(2) 1()!12)(22(2) 1()(nnnnnnnnnxnnxxf或：或：，代入的展開式即可。22cos1sin)(2xxxfx2cos 022121212122!11111)(nnxnnxxxf，02!21231nnnxnn02!)!2(! !12nnxnn xnnxdxxnndxxf0020!)!2(! !12)(，故012) 12(

26、!)!2(! !12)(nnxnnnxf16例例 3、將展開成的冪級數(shù) xlg2x解：解：221ln10ln12lg221lg2lg)2(2lglgxxxx 01101402) 1(2) 1(10ln12lg122) 1(10ln12lgnnnnnnnxnxnx例例 4、將在處展成冪級數(shù)。3412 xx1x解：解：14112121311121)3)(1(13412xxxxxxxx0041) 1(8121) 1(41411181211141nnnnnnxxxx)31(12121) 1(0322xxnnnnn3、歐拉、歐拉(Euler)公式公式將展開式(1) 中的換成純虛數(shù)，則! 212nxxxe

27、nxxix! 5! 4! 3! 21!)(! 2)(154322xixxixixnixixixenixxixxxxixxsincos! 5! 3! 4! 215342稱為歐拉公式。xixeixsincos顯然，,據(jù)此可得出下列常用結(jié)果：xixeixsincosyiyeeieexeexxiyxixixixixsincos,2sin,2cos7、付立葉級數(shù)付立葉級數(shù)一、三角級數(shù)與三角函數(shù)系的正交性一、三角級數(shù)與三角函數(shù)系的正交性171、稱為三角級數(shù)。10sincos2nnnnxbnxaa2、稱為三角函數(shù)系，它在區(qū)間,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx上正交，即

28、其中任意兩個(gè)不同函數(shù)的乘積在上的定積分為零。, ),(0coscos),(0sinsin,0sincos, 0sin, 0cosnknxdxkxnknxdxkxnxdxkxnxdxnxdx二、函數(shù)展成付立葉級數(shù)二、函數(shù)展成付立葉級數(shù)1、付立葉系數(shù)與付立葉級數(shù)、付立葉系數(shù)與付立葉級數(shù)設(shè)以為周期，且 (*)(xf210sincos2)(kkkkxbkxaaxf，100sincos2)(kkkakxdxbkxdxadxadxxfdxxfa)(1010cossincoscoscos2cos)(kkknxdxkxbnxdxkxanxdxanxdxxf，nnnadxnxanxdxkxa22cos1cosc

29、os, 2 , 1cos)(1nnxdxxfan類似可得，, 2 , 1sin)(1nnxdxxfbn 稱為付立葉系數(shù), 2 , 1sin)(1, 2 , 1 , 0cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann將代入(*)式后所得級數(shù)稱為的付立葉級數(shù)。nnba ,)(xf2、付立葉級數(shù)的收斂性、付立葉級數(shù)的收斂性（Dirichlet）收斂定理：收斂定理：若以為周期，且在一個(gè)周期如上滿足)(xf2,連續(xù)或僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；最多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則)(xf)(xf是連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂于；是間斷點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂于x)(xfx 左右極限的平均值。2)0()0(xfxf18即若設(shè)的付立葉級數(shù)的和

30、函數(shù)為，則)(xf)(xS為間斷點(diǎn)時(shí)為連續(xù)點(diǎn)時(shí)xxfxfxxfxSnxbnxaannn2)0()0()()(sincos210例例 1、周期為 2 的函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為，若它)(xf11,)(xxxf的付立葉級數(shù)的和函數(shù)為，求。)(xS)3(),(23SS解：解：的圖形如下：)(xS 故02) 1(12)03()03()3(,)()()(21212323ffSffS例例 2、以為周期，在上表達(dá)式為，展)(xf2,xxxf0101)(為付立葉級數(shù)，并做出及和函數(shù)的圖形。)(xf)(xf)(xS解：解：為奇函數(shù)，故)(xf0cos)(1nxdxxfan00cos12sin12sin)(1n

31、xnnxdxnxdxxfbn, 6 , 4 , 205 , 3 , 14) 1(12nnnnn的付立葉級數(shù)為)(xf12) 12sin(33sinsin4sin1nxnxxnxbnn在處跳躍間斷，在此處級數(shù)收斂于)(xf)(Zkkx ，而在其它點(diǎn)處連續(xù)，級數(shù)收斂于，即2)0()0(kfkf0211)(xf，),2, 0,(12) 12sin(4)(1xxnxnxfnkxkxxfxS0)()(19例例 3、以為周期，在上表達(dá)式為，展)(xf2,xxxxf000)(為付立葉級數(shù)。)(xf解：解：21)(100 xdxdxxfa偶奇nnnnnxdxxnxdxxfann02) 1(11cos1cos)

32、(1220nnxdxxnxdxxfbnn10) 1(sin1sin)(1 在處間斷，在此處級數(shù)收斂于 )(xf)() 12(Zkkx2)0()0(ff，而在其它點(diǎn)處22)(0 xxxxxxxf4sin413sin313cos922sin21sincos24)(), 2, 1, 0,) 12(,(kkxx三、周期延拓三、周期延拓 一般地，應(yīng)是上的周期函數(shù)，但有些只在上有定)(xf,)(xf,義，此時(shí)可令，則可將周期延拓為，,)()2(,)()(xxFxFxxfxF)(xf)(xF然后將展成付立葉級數(shù)，再令，即可得的付立葉級數(shù)。)(xF,x)(xf例例 4、展為付立葉級數(shù)，并求。xxxxxf00)

33、(12) 12(1nn解：解：如圖，將周期延拓為上的周期函數(shù)，則連續(xù)，)(xf,)(xF)(xF20002)(1xdxdxxfa偶奇nnnnnxdxxnxdxxfann041) 1(2cos2cos)(12200sin)(1nxdxxfbn故12)() 12(12cos42)(nxnxnxf令，則，得0 x12) 12(1420nn8) 12(1212nn8、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1、奇（偶）函數(shù)的付立葉級數(shù)、奇（偶）函數(shù)的付立葉級數(shù) 若為奇函數(shù)，則，若為偶函數(shù)，)(xf, 2 , 1sin)(2, 2 , 1 , 000nnxdxxfbnann)(xf則，即奇、偶函數(shù)的付立葉級

34、數(shù)分別為正, 2 , 10, 2 , 1 , 0cos)(20nbnnxdxxfann弦級數(shù)、余弦級數(shù)。1sinnnnxb10cos2nnnxaa例例 1、展為付立葉級數(shù)。xxxf)(解：解：如圖，將周期延拓為，則在處間)(xf)(xF)(xF), 1, 0() 12(kkx斷 為奇函數(shù)，)(xfnnxdxxnxdxxfbannn100) 1(2sin2sin)(2, 021故,sin) 1(2)(11xnxnxxfnn2、將、將上的函數(shù)展成正、余弦級數(shù)上的函數(shù)展成正、余弦級數(shù), 0 對僅定義在上的函數(shù)，可先在內(nèi)補(bǔ)充定義，得到, 0)(xf0 ,上的函數(shù)，使在內(nèi)為奇、偶函數(shù)，此過程稱為奇、偶,)(xF)(xF,延拓，然后將展為正、余弦級數(shù)，最后令，即可得到的正、)(xF*, 0 x)(xf余弦級數(shù)。例例 2、展為正弦和余弦級數(shù)。xxxf0, 1)(解：解：如圖，先將奇延拓為內(nèi)的奇函數(shù)，)(xf,)(xF則在處間斷，