MATLAB實現(xiàn)抽樣定理探討及仿真

1、應(yīng)用 MATLAB實現(xiàn)抽樣定理探討及仿真一 課程設(shè)計的目的利用MATLAB，仿模信號抽樣與恢復(fù)系統(tǒng)的實際實現(xiàn)，探討過抽樣和欠抽樣的信號以及抽樣與恢復(fù)系統(tǒng)的性能。二 課程設(shè)計的原理模擬信號經(jīng)過 (A/D) 變換轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號的過程稱為采樣，信號采樣后其頻譜產(chǎn)生了周期延拓，每隔一個采樣頻率 fs，重復(fù)出現(xiàn)一次。為保證采樣后信號的頻譜形狀不失真，采樣頻率必須大于信號中最高頻率成分的兩倍，這稱之為采樣定理。時域采樣定理從采樣信號恢復(fù)原信號必需滿足兩個條件： (1) 必須是帶限信號，其頻譜函數(shù)在 各處為零；（對信號的要求，即只有帶限信號才能適用采樣定理。）(2) 取樣頻率不能過低，必須 2 （或 2）。

2、（對取樣頻率的要求，即取樣頻率要足夠大，采得的樣值要足夠多，才能恢復(fù)原信號。）如果采樣頻率大于或等于，即（為連續(xù)信號的有限頻譜），則采樣離散信號能無失真地恢復(fù)到原來的連續(xù)信號 。一個頻譜在區(qū)間（- ，）以外為零的頻帶有限信號，可唯一地由其在均勻間隔 （ ）上的樣點值所確定。根據(jù)時域與頻域的對稱性，可以由時域采樣定理直接推出頻域采樣定理。(a)(b) (c)圖2.1抽樣定理a) 等抽樣頻率時的抽樣信號及頻譜（不混疊）b) 高抽樣頻率時的抽樣信號及頻譜（不混疊）c) 低抽樣頻率時的抽樣信號及頻譜（混疊）2.1信號采樣 如圖1所示，給出了信號采樣原理圖信號采樣原理圖（a） 由圖1可見，其中，沖激采樣

3、信號的表達(dá)式為： 其傅立葉變換為，其中。設(shè)，分別為，的傅立葉變換，由傅立葉變換的頻域卷積定理，可得 若設(shè)是帶限信號，帶寬為， 經(jīng)過采樣后的頻譜就是將在頻率軸上搬移至處（幅度為原頻譜的倍）。因此，當(dāng)時，頻譜不發(fā)生混疊；而當(dāng)時，頻譜發(fā)生混疊。2.1.3信號重構(gòu)設(shè)信號被采樣后形成的采樣信號為，信號的重構(gòu)是指由經(jīng)過內(nèi)插處理后，恢復(fù)出原來信號的過程。又稱為信號恢復(fù)。若設(shè)是帶限信號，帶寬為，經(jīng)采樣后的頻譜為。設(shè)采樣頻率，則由式（9）知是以為周期的譜線。現(xiàn)選取一個頻率特性（其中截止頻率滿足）的理想低通濾波器與相乘，得到的頻譜即為原信號的頻譜。顯然，與之對應(yīng)的時域表達(dá)式為 （10）而將及代入式（10）得 （1

4、1）式（11）即為用求解的表達(dá)式，是利用MATLAB實現(xiàn)信號重構(gòu)的基本關(guān)系式，抽樣函數(shù)在此起著內(nèi)插函數(shù)的作用。三、抽樣定理的仿真和探討3.1.1 的臨界采樣及重構(gòu)圖當(dāng)采樣頻率小于一個連續(xù)的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為臨界采樣. 修改門信號寬度、采樣周期等參數(shù)，重新運行程序，觀察得到的采樣信號時域和頻域特性，以及重構(gòu)信號與誤差信號的變化。程序運行結(jié)果：3.1.2 的過采樣及重構(gòu)當(dāng)采樣頻率大于一個連續(xù)的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為過采樣.在不同采樣頻率的條件下，觀察對應(yīng)采樣信號的時域和頻域特性，以及重構(gòu)信號與誤差信號的變化。程序運行結(jié)果：3.1.3 Sa(t)的欠采樣及重構(gòu)當(dāng)采樣頻率小于一

5、個連續(xù)的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為過采樣。利用頻域濾波的方法修改實驗中的部分程序，完成對采樣信號的重構(gòu)。程序運行結(jié)果：誤差分析：絕對誤差error已大為增加，其原因是因采樣信號的頻譜混疊，使得在區(qū)域內(nèi)的頻譜相互“干擾”所致。四、課題研討的小結(jié)該課程設(shè)計使我們對采樣定理的一些基本公式得到了進(jìn)一步鞏固。在整個實驗過程中，我們查閱了很多相關(guān)知識，從這些書籍中我們受益良多。雖然學(xué)習(xí)過采樣過程和恢復(fù)過程，但是認(rèn)識不深，實踐能力也有所欠缺，通過這次實驗對采樣過程和恢復(fù)過程有了進(jìn)一步掌握。通過實驗的設(shè)計使我們對采樣定理和信號的重構(gòu)有了深一步的掌握，也讓我們在實踐的過程中了解到團隊合作的重要性。雖然在實

6、驗過程中出現(xiàn)很多錯誤，但是在老師的幫助和團隊成員的齊心協(xié)力下，不斷的修正錯誤，同時也學(xué)會了MATLAB中信號表示的基本方法及繪圖函數(shù)的調(diào)用。雖然剛開始我們對MATLAB的基本使用方法沒有太深刻的認(rèn)識，但是該實驗使我們對MATLAB函數(shù)程序的基本結(jié)構(gòu)有所了解，也提高了我們獨立完成實驗的能力和理論聯(lián)系實際的應(yīng)用能力。通過這次課程設(shè)計，我們不僅學(xué)到了學(xué)科知識，鍛煉了實踐能力，更重要的是學(xué)到了學(xué)習(xí)的方法和團隊合作的重要性。我們團隊分工有序，每個人都能按時完成各自的任務(wù)。在遇到問題時，大家都能夠互相理解，互相幫助，最后圓滿完成課題！附錄：一、的臨界采樣及重構(gòu)1.Sa(t)的臨界采樣及重構(gòu)程序代碼；wm=

7、1;wc=wm; Ts=pi/wm; ws=2.4*pi/Ts; n=-100:100; nTs=n*Ts; f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);subplot(311);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的原信號');grid;t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1

8、/pi);subplot(312);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號');grid;subplot(313);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號重構(gòu)sa(t)');grid;2.程序運行運行結(jié)果圖與分析圖3.1.1 的臨界采樣及重構(gòu)圖運行結(jié)果分析：為了比較由采樣信號恢復(fù)后的信號與原信號

9、的誤差，可以計算出兩信號的絕對誤差。當(dāng)t選取的數(shù)據(jù)越大，起止的寬度越大。二、的過采樣及重構(gòu)1.Sa(t)的過采樣及重構(gòu)程序代碼；wm=1;wc=1.1*wm; Ts=1.1*pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Ts;f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);subplot(411);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)'

10、);title('sa(t)=sinc(t/pi)的原信號');grid;error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-10:0.5:10;f1=sinc(t1/pi);subplot(412);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號');grid;subplot(413);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=s

11、inc(t/pi)的過采樣信號重構(gòu)sa(t)');grid;subplot(414);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('過采樣信號與原信號的誤差error(t)');grid;2.程序運行運行結(jié)果圖與分析。圖3.1.2 的過采樣信號、重構(gòu)信號及兩信號的絕對誤差圖運行分析：將原始信號分別修改為抽樣函數(shù)Sa(t)、正弦信號sin(20*pi*t)+cos(20*pi*t)、指數(shù)信號e-2tu(t)時，在不同采樣頻率的條件下，可以觀察到對應(yīng)采樣信號的時域和頻域特性，以及重構(gòu)信

12、號與誤差信號的變化。三、Sa(t)的欠采樣及重構(gòu)1.Sa(t)的欠采樣及重構(gòu)程序代碼；wm=1;wc=wm; Ts=2.5 *pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Ts;f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);subplot(411);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的原信號');grid;t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1/pi);subplot(412);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號sa(t)');grid;subplot(413);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('