算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（2）

1、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)一、復(fù)習(xí)引入：1重要不等式：如果2定理：如果a,b是正數(shù)，那么3.我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù).成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件二、講解新課：1公式的等價(jià)變形：ab，ab（）22 2（ab0），當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”號(hào)；3關(guān)于“平均數(shù)”的概念如果 則：叫做這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)；叫做這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)；推廣： 。語(yǔ)言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)上述重要不等式有著廣泛的應(yīng)用，例如：證明不等式，求函數(shù)最值，判斷變量或數(shù)學(xué)式子的取值范圍等等它們涉及到的題目活，變形多，必須把握好湊形技巧

2、今天，我們就來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)均值不等式的應(yīng)用三、講解范例：例1 已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：證明： 以上三式相加：例2 已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運(yùn)用，同時(shí)加強(qiáng)對(duì)均值不等式定理的條件的認(rèn)識(shí)證明：a,b,c,d都是正數(shù)，ab0，cd0，ac0，bd0得 由不等式的性質(zhì)定理4的推論1，得即點(diǎn)評(píng)：用均值不等式證明題時(shí)，要注意為達(dá)到目標(biāo)可先宏觀，而后微觀；均值不等式在運(yùn)用時(shí)，常需先湊形后運(yùn)用；均值不等式和不等式的基本性質(zhì)聯(lián)合起來(lái)證題是常用的行之有效的方法例3某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底

3、每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？分析：此題首先需要由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理解：設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為xm，水池的總造價(jià)為l元，根據(jù)題意，得 當(dāng)因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元評(píng)述：此題既是不等式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語(yǔ)言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件我們應(yīng)用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理(即均值不等式)順利解決了本章引例中的問題用均值不

4、等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案例4、已知，求函數(shù)的最小值及相應(yīng)的的值。解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，例5、已知，且的最小值。解：例6、已知，求：的范圍；的范圍。解：由已知得，由已知得四、課堂練習(xí)：1已知x0，當(dāng)x取什么值時(shí)，x2的值最小?最小值是多少?分析：注意到x2是和的形式，再看x2·81為定值，從而可求和的最小值解：x0x20，0,x2218，當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x±3時(shí)取“

5、”號(hào)故x=±3時(shí)，x2+的值最小，其最小值是182一段長(zhǎng)為 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少?分析：均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，解題過程中要(1)先構(gòu)造定值，(2)建立函數(shù)關(guān)系式，(3)驗(yàn)證“”號(hào)成立，(4)確定正確答案解：設(shè)矩形菜園的寬為xm，則長(zhǎng)為（2x）m，其中0x，其面積Sx（2x）·2x（2x）當(dāng)且僅當(dāng)2x2x，即x時(shí)菜園面積最大，即菜園長(zhǎng)m，寬為 m時(shí)菜園面積最大為 m23設(shè)0x2，求函數(shù)f(x)=的最大值，并求出相應(yīng)的x值分析：根據(jù)均值不等式：，研究的最值時(shí)，一要考慮3x與3x是否為正數(shù)

6、；二要考查式子3x（3x）是否為定值解：0x2, 3x0，3x0f（x）4當(dāng)且僅當(dāng)3x3x時(shí)，即x時(shí)取“”號(hào)故函數(shù)f（x）的最大值為4，此時(shí)x五、小結(jié) ：本節(jié)課我們用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系定理及其推廣的幾個(gè)重要不等式順利解決了函數(shù)的一些最值問題在解決問題時(shí)，我們重點(diǎn)從以下三個(gè)方面加以考慮：一是均值不等式成立的條件(各因式或項(xiàng)都取正值)；二是合理尋求各因式或項(xiàng)的積或和為定值；三是確定等號(hào)能夠成立只有這樣，我們才能在分析具體問題的特點(diǎn)的過程當(dāng)中合理運(yùn)用公式的適當(dāng)形式和具體方式，解決某些函數(shù)的最值問題六、課后作業(yè)：1解答下列各題：(1)求函數(shù)y2x（x0）的最小值(2)求函數(shù)yx2（x0）的最小值(3)，求函數(shù)的值域；(4)已知，求函數(shù)yx2（42x2）的最大值及相應(yīng)的的值；(5)若時(shí)，求函數(shù)的最小值及相應(yīng)的的值。解：(1)x