2020屆廣東省高三1月大聯(lián)考數(shù)學(理)試題(解析版)

1、【點睛】第 1 頁共 21 頁2020 屆廣東省高三 1 月大聯(lián)考數(shù)學(理)試題一、單選題1.乞丄在復平面內對應的點位于()2-iA .第一象限B.第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】A【解析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算計算化簡，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義判斷【詳解】6 +i (6+i )2+i ) 11 +8i 11 8.解：因為i,在復平面里所對應的點的坐標為2-i (2 -i )(2+i )55511 8,，位于第一象限，5 5所以 口在復平面內對應的點位于第一象限.2 -i故選：A【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算及復平面，考查運算求解能力，屬于基礎題2.已知集合M - x|x2-x -

2、12 Of,N - x| -4：x：5，則M門N =()A.RB.-3,4C.4,5D.-4,-3U4,5【答案】D【解析】 求出集合M，再根據(jù)交集的定義運算可得 【詳解】解：由X2x -12 0，得X：-3或x 4,M一| x2x -12 0| x：-3或x 4；N =、x| -4：x 5:M PN=切45或4xc3=(4,3)U(4,5).【點睛】第 1 頁共 21 頁故選：D第3頁共 21 頁本題考查集合的交集，考查運算求解能力，屬于基礎題【答案】【詳解】2 2的方程為匕=1.109故選：B【點睛】本題考查橢圓的方程與性質，考查運算求解能力，屬于基礎題4. 2019 年慶祝中華人民共和國

3、成立 70 周年閱兵式彰顯了中華民族從站起來、富起來邁向強起來的雄心壯志.閱兵式規(guī)模之大、類型之全均創(chuàng)歷史之最，編組之新、要素之全彰顯強軍成就.裝備方陣堪稱 強軍利刃”強國之盾”，見證著人民軍隊邁向世界一流軍隊的堅定步伐.此次大閱兵不僅得到了全中國人的關注，還得到了無數(shù)外國人的關注某單位有 10 位外國人，其中關注此次大閱兵的有8 位，若從這 10 位外國人中任意選取【解析】至少有-位關注此次大閱兵的對立事件為恰有-位不關注此次大閱兵，根據(jù)對立事件的概率公式計算概率 【詳解】33 .已知橢圓C:a b 0的焦距為 2,且短軸長為6，則C的方程為2x yA .82B.102y-.i92 2C.

4、136352 2x x “D.【解依題意可得2c =2,2b =6，根據(jù)ab2c2即可求出橢圓的標準方程解：依題意可得2c =2,2b =6，貝U c =1,b=3，所以a2二b2 c20，所以 C3 位做一次采訪，則被采訪者中至少有2 位關注此次大閱兵的概率為（）7A.15【答案】CB.1514C.152930第4頁共 21 頁解：從這 10 位外國人中任意選取 3 位做一次采訪，其結果為Cw =120個,第5頁共 21 頁2 1恰有2位不關注此次大閱兵有C2C8 =8個，故選：C【點睛】本題考查排列組合的應用與古典概型，考查運算求解能力，屬于基礎題5.在四棱錐P -ABCD中，PB =PD

5、 =2,AB =AD =1,PC二3PA=3，則AC二【答案】C【解析】由勾股定理的逆定理可得PA _ AB,PA _ AD，即可得PA _平面ABCD,再由勾股定理計算可得【詳解】解：依題意可得，PA2AB2=PB2，則PA_ AB，同理可得PA_ AD因為AB * AD = A, 所以PA_平面ABCD，則PA_ AC因為PC h；?3PA =3 所以AC = 32-、3= . 6.故選：C【點睛】本題考查線面垂直，考查空間想象能力，屬于基礎題角差的正切公式計算可得【詳解】二 二二 二3二二3 10則至少有 2 位關注大閱兵的概率P亠算Co1415B.2/2D.23口5 兀A0=6 .已知

6、0 e |-，且sin 1日 +1=-，貝 U tan B =(2丿14丿104A . 2B.C. 33【答案】A125【解析】 由同角三角函數(shù)的基本關系計算可得cos一 一、tan -，再根據(jù)兩I 4丿I 4丿第6頁共 21 頁解：因為，一，所以，一，又sin:,14 2丿4124丿I 4丿10第7頁共 21 頁所以心4晉，貝y tan一l 4丿IH H所以tan v - tan II 4故選：A【點睛】tantanI 4丿41 ta ntanI 4丿4-3-12.1-3本題考查三角恒等變換，考查運算求解能力，屬于基礎題7 在平行四邊形ABCD中，AB=4,AD=1, - BAD =60 ,

7、DDC，2AE DB=9，1B.-4【答案】B【解析】 根據(jù)向量的線性運算及向量的數(shù)量積計算可得【詳解】解：Q AB =4,AD =1, - BAD =60 ,DE = DC,2AE DB=9tTTT TITT.AE二AD DE二AD AB， DB 二 AB ADAE DB二AD DE AB - ADPAD AB AB -AD=-AD _ (AB? 1 - AB AD9=16 -11 -1 4 cos60 =141，所以故選：B【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查運算求解能力，屬于基礎題8 我國古代數(shù)學名著九章算術里有一個這樣的問題:今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百 問人數(shù)

8、、金價幾何？ ”為了解決這個問題，某人設計了如圖所示的程序框圖，運行該程序框圖，則輸出的x,y分別為（）第8頁共 21 頁X,y是方程組y _ 3O00 x_30的解，解方y(tǒng) = 400 x -3400y是方程組y = 300 x一100,的解，解此方程y= 400 x 3400可得X=33,y =9800.故選：D【點睛】 本題考查程序框圖，考查運算求解能力，屬于基礎題9 .已知函數(shù)f x - -2cosx，若將曲線y = f 2x向左平移衫個單位長度后，得到【答案】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求得g x的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質解不等式即可.【詳解】結如A. 30,8900B. 31, 92

9、00C. 32, 9500D. 33, 9800【答案】程即可.【詳解】【解根據(jù)算法的功能，可知輸出的解：根據(jù)算法的功能，可知輸出的x,曲線y=g x，則不等式g(x), 1的解集是(12，kB.k,k二一128，k：D._2-t，2 2k Z【解第9頁共 21 頁g x二-2cos由g x , 1，得-2cos 2x ,V6丿2k一亍贓x石W , k Z，得f剟k二匸k Z故選：A【點睛】 本題考查三角函數(shù)的圖象及其性質，考查推理論證能力與運算求解能力10 .現(xiàn)有三條曲線： 曲線y =2ex-2；曲線y二2sin x；曲線y = x3- x - 2.直線y二2x與其相切的共有()A . 0

10、條B. 1 條C . 2 條D . 3 條【答案】D【解析】分別求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義一一判斷【詳解】 解：若f x =2ex-2，則由f x =2ex=2，得x=0,點0,0在直線y =2x上,則直線y =2x與曲線y =2ex-2相切;若f x i=2s inx,則由f x i=2cosx = 2，得x=2k二k Z，當k=0時x = 0, 點0,0在直線y =2x上，則直線y = 2x與曲線y = 2sin x相切；32若f x二x -x-2，則由f x =3x -1=2，得X二1，其中-1, -2在直線y =2x上，所以直線y=2x與曲線y=x3_x_2相切.故選：D【點睛

11、】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查邏輯推理與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，屬于基礎題2 211.已知P為雙曲線C:卑%=1(a 0,b 0)左支上一點，F(xiàn)1,F2分別為Ca2b2的左、右焦點，M為虛軸的一個端點，若|MP |+ PF?的最小值為F1F2，則C的離解：將曲線y = f 2x向左平移2個單位長度后，得到曲線y = 2cos i 2xJT1，得cos i 2x + I1- 則62，則第10頁共 21 頁心率為（）A LB.2、6C 纟6D .4.62 2【答案】C【解析】 根據(jù)雙曲線的定義可得|MP|+PF2MPI+lPR +2a，又|MP | PF.一MFi即可得到關于 e 的方程，解得.【詳解

12、】解：|MP|+|PF2=|MP| + PFi|+2aMF.+2a = Jb2+c2+ 2a = 2c,即，2c2- a22a = 2c，化簡得2c2- 8ac亠5a2= 0，即2e2- 8e亠5 = 0,解得46或46，所以46.2 2 2故選：C【點睛】本題考查雙曲線的離心率，考查化歸與轉化的數(shù)學思想212已知函數(shù)f x為偶函數(shù)，當X 0時，f X二電x_，則（）f4X2XA.f -2f 9.12f 3“B.f 3皿f 9.1.2f-2C.f -2f 33f 9.143.2D.f 9.r.2f 3皿f-2【答案】DX 121【解析】令g歹-?x-0，則f x=g x4，對g x求導，分析其

13、單調性，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質比較9.1亠2，3“.3的大小關系，根據(jù)函數(shù)的單調性判斷大小/.【詳解】解:1入x 11，令gx丁？XT,1-xl n22Xx2xr22第11頁共 21 頁當0,x log2e時，g x 0,g x單調遞增;第12頁共 21 頁當x log2e時，g x : 0,g x單調遞減因為g 1 =g 2 =0,所以當0, x : 1時，g x：0,且g x單調遞增又0：9.12：9“-34：3皿：1，所以g 9.1皿:：:g 3.2:：: g 1 0,21c1* f X二g X在-:：,0上單調遞減，且f xmin：故f 9.1 2f 3.2f -2.故選：D【點睛】本題

14、考查函數(shù)的綜合應用，考查數(shù)學抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng)，屬于難題二、填空題13 上海地鐵 11 號線是世界最長的地鐵截至2019 年 9 月 28 日，中國已開通地鐵的城市有 41 個，按照地鐵的全長排名，排在前四名的依次為上海705km、北京637km、廣州（478km卜南京（378km ），則這四個城市的地鐵全長的平均值為 _km.【答案】549.5【解析】根據(jù)平均數(shù)的定義計算可得【詳解】705 637 478 3782198解：這四個城市的地鐵全長的平均值為549.5.44故答案為：549.5【點睛】本題考查統(tǒng)計中的平均數(shù)，考查運算求解能力，屬于基礎題14 .已知3a=12,b =2log

15、32，現(xiàn)有下列四個結論：a =2b，a - b =1:a : 2b:a 3.其中所有正確結論的編號是 _.【答案】【解析】將指數(shù)式轉化為對數(shù)式，再根據(jù)對數(shù)的運算性質驗證【詳解】第13頁共 21 頁解：3a= 12,b = 2log32，得a = log312,b = log34,2b = log316，貝U第14頁共 21 頁a-b=log33=1,a：2b,a b = log?48 Iog327 = 3.故所有正確結論的編號是.故答案為：【點睛】本題考查指數(shù)、對數(shù)運算，考查運算求解能力與推理論證能力，屬于基礎題.15 設a,b,c分別為ABC內角A,B,C的對邊已知空3 =c，則cos Bc

16、osCa2c2b的取值范圍為ac【答案】才-5oU 0,2【解析】根據(jù)正弦定理將邊化角，結合兩角和的正弦公式可求角C，由余弦定理知a2c2-b2=2cos B，根據(jù)余弦函數(shù)的性質求出范圍ac【詳解：因為辿=，所以2a -、一3b cosC = - 3c cosB cosBcosC = 0,cosB cosC所以2sin A -；3sin B cosC二. 3 sin C cos B,即2sin AcosC = ,3sin C B二 一3sin A,又si nA 0,所以cosC二32則 r，因為十,所以B 0于汽,c2ac2 + 2 _&2= 2cosB，故a一-“ 3,0J 0,2.

17、ac故答案為：6 ； 一忌九2；本題考查正弦與余弦定理的應用，考查運算求解能力本題是一個易錯題，學生容易忽略cosB不能等于 0，屬于中檔題.16 設三棱錐P-ABC的每個頂點都在球O的球面上，PAB是面積為.3的等邊三角形，ZACB=45 ,則當三棱錐P-ABC勺體積最大時，球O的表面積為 _.【答案】28-3第15頁共 21 頁【解析】由題意可求AB =2，故當CA=CB且平面PAB_底面ABC時，三棱錐P-ABC的體積最大分別求出.：PAB和.ABC外接圓的半徑，即可求得外接球的半徑 與表面積【詳解】解：如圖，由題意得 上3 AB1 2= 3，解得AB =2.4當CA = CB且平面PA

18、B_底面ABC時，三棱錐P - ABC的體積最大.分別過.PAB和ABC的外心作對應三角形所在平面的垂線，垂線的交點即球心0,設PAB和ABC的外接圓半徑分別為ri，D，球0的半徑為R，1證明：MN/平面CDE.2求直線AM與平面CDE所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析2則,r2二2.2 sin 45第16頁共 21 頁=2 -=-，球0的表面積為4二R2二一二3333【點睛】本題考查三棱錐的體積與球體的表面積，考查空間想象能力與運算求解能力，屬于難題三、解答題17如圖，在直三棱柱ABC -DEF中，BAC =90，ACB =30，BE = BC = 2，M,N分別是BE,AC的中點.第

19、17頁共 21 頁(2)竺14【解析】(1)取CD的中點0，連接NO,EO，可證四邊形MEON是平行四邊形, 即得MN二EO，即可證明線面平行(2)建立空間直角坐標系，利用向量法求出線面角的正弦值【詳解】解：(1 )證明：取CD的中點0，連接NO，E0. N是AC的中點，二NO AD二ME.M是BE的中點， NO =ME,二四邊形MEON是平行四邊形，-MN二EO. EO二平面CDE,MN二平面CDE,- MN/ 平面CDE.(2)解：以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz. BAC = 90,ACB二30, DE = AB =1,DF=AC =3, 則D 0,0,0,E 1,0,0

20、,C0,、3,2,A 0,0,2,M 1,0,1, 則DE =1,0,0,DC N0, .3,2.設平面CDE的法向量為n = x, y, z,則n -DE = nDC = 0，即x - 3y 2z = 0,令y =2,則z =-、一3，得n二0,2,-、一3. 設直線AM與平面CDE所成角為二， AM二1,0,-1,LAM叩 _ _ _ -|AM |n| -2714，.342sin日=cos( AM , n故AM與平面CDE所成角的正弦值為4214第18頁共 21 頁【點睛】本題考查線面平行的證明，線面角的計算，考查空間想象能力， 計算能力，屬于中檔題._ 2 2a1=1 2,ana* 11

21、 = 2a“ 1a,bn(1)求數(shù)列；bn?的通項公式；r211(2)求數(shù)列an2的前n項和Sn.IanJ【答案】(1)bn=2n-bn 12bn.又 bi =2 ,CbnI是首項為 2,公比為 2 的等比數(shù)列,從而bn= 2n.(2)4n 16n -43【解析】(1)根據(jù)遞推公式可得n項和Sn.- an 11an 1=2anan18 .在數(shù)列 0 中,an第19頁共 21 頁丄=4n2,an123n=42 42 42 |l| 42N41424HI 4n2n4 1 -4n2n1-44n 16n _4-3【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式以及求和公式，屬于中檔題2佃.已知直線x = 2p與拋物線

22、C:y =2px p 0交于p,Q兩點，且POQ的 面積為 16 (O為坐標原點).(1) 求C的方程.(2) 直線|經(jīng)過C的焦點F且I不與x軸垂直，|與C交于A,B兩點，若線段AB的AB垂直平分線與x軸交于點D，試冋在x軸上是否存在點E，使- 為定值？若存在，DE求該定值及E的坐標；若不存在，請說明理由 .【答案】(1)y2=4x(2)存在，1,0【解析】(1)將X =2p代入y2=2px，得y=2p，即可表示出POQ的面積，計算可得p.(2) bn二an -an an-丄=2n,an1an -an=4n, Sn-42n第20頁共 21 頁(2)設直線|的方程為 y 二 k x -1 k =

23、0 ,聯(lián)立直線與曲線方程， 根據(jù)焦點弦長公式計 算出| AB|，求出線段AB的垂直平分線與x軸交于點D的坐標，設E(t,0)，貝卩DE可用第21頁共 21 頁【詳解】解：(1)將X = 2 P代入y2=2 px，得y因為p 0，所以p = 2, 故C的方程為y2=4x.(2)由題意設直線I的方程為 y 二kx11y二ki. X-1,2 222由2得k x -12 k4 x k = 0.y =4x,2設A x1,y1，B X2, y2，則x1x2=2k 42所以| AB | = % x2p =4k24k22令y=o，得x=32，所以D的橫坐標為3 ，kkAB4k2+4DE2(3-1 )k +2坐

24、標為1,0.所以當且僅當3-t =2，即t =1時,ABDE為定值，且定值為 2，故存在點E,且E的含t，k的式子表示，即可分析當t為何值是ABDE為定值.12所以=POQ的面積為2p 4p=4p-16.k2因為線段AB的中點的橫坐標為為x22k2p，縱坐標為所以線段AB的垂直平分線的方程為k2+2設E (t,0，則DE(3-1 )k2+2k2第22頁共 21 頁【點睛】本題考查求拋物線的標準方程，直線與拋物線的綜合應用問題，屬于中檔題20 某城市有東、西、南、北四個進入城區(qū)主干道的入口，在早高峰時間段，時常發(fā)生第23頁共 21 頁交通擁堵，交警部門記錄了 11 月份 30 天內的擁堵情況（如

25、下表所示，其中表示擁堵,O表示通暢）.假設每個人口是否發(fā)生擁堵相互獨立，將各入口在這30 天內擁堵的頻率代替各入口每天擁堵的概率 .111.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.111.1.23456789101112134151東入OOOOOOO口西入OOOOOOOO口南入OOOOOOOOOOOO口北入OOOOOOOOOOO口111.111.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.61718192021222324252627282930東入OOOOOOOO口西入OOOOOOO口第24頁共 21 頁南入口OOOOOOOOO

26、OOO北入口OOOOOOOOOOOOO（1）分別求該城市一天中早高峰時間段這四個主干道的入口發(fā)生擁堵的概率（2）各人口一旦出現(xiàn)擁堵就需要交通協(xié)管員來疏通，聘請交通協(xié)管員有以下兩種方案可供選擇方案一：四個主干道入口在早高峰時間段每天各聘請一位交通協(xié)管員，聘請每位交通協(xié)管員的日費用為m（135：m：175，且m = 140）元.方案二：在早高峰時間段若某主干道入口發(fā)生擁堵，交警部門則需臨時調派兩位交通協(xié)管員協(xié)助疏通交通，調派后當日需給每位交通協(xié)管員的費用為200 元.以四個主干道入口聘請交通協(xié)管員的日總費用的數(shù)學期望為依據(jù)，你認為在這兩個方案中應該如何選擇？請說明理由.1【答案】（1）-5（2）當

27、135：m 140時，應該選擇方案一；當140：m：175時，應該選擇方案二【解析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)利用古典概型的概率公式計算可得（2）計算出方案二聘請交通協(xié)管員的日總費的期望值，結合方案一比較分析【詳解】解：（1）將東、西、南、北四個主干道入口發(fā)生擁堵的情況分別記為事件（2）對于方案二，設四個主干道聘請交通協(xié)管員的日總費用為則X的可能取值為 0，400，800，1200，1600.151P A=PBP C；= P D630第25頁共 21 頁P X -0 =(1、2(工1 _!_P 112y15161001、L L ( (1、2(1、21 ( 11R(X X 1 -121525 152用，

28、100第26頁共 21 頁21 1 P X =1600 =12丿(5丿100164033101故E X U040080012001600560元.100100100100100對于方案一，四個主干道聘請交通協(xié)管員的日總費用為4m元，當135：m :：: 140時，4m：560，應該選擇方案一;當140：m : 175時，4m 560，應該選擇方案二【點睛】本題考查古典概型的概率計算問題，以及離散型隨機變量的分布列、期望的計算，屬于 中檔題tIn x21 .已知函數(shù)f X :X(1)若對任意0,f x2: kx恒成立，求k的取值范圍;1(2)若函數(shù)g x；= f xm有兩個不同的零點X1，X2，

29、證明:x(2)證明見解析【解析】(1)參變分離，由f x2: kx對任意x0,二：恒成立，得意0：恒成立.令h x二2器，利用導數(shù)求出h x的最大值，即可求出k的x取值范圍.(2)若函數(shù)g(x)的兩個零點為，X2，不妨設設 劉：X2，根據(jù)函數(shù)的單調性可得1x1: 1X2，要證X1X22，即證X2 2 - x只需證明gX2g 2 - N由eg X1=g X2，只需證明g為g2-為.令mx = g x g2 x,1丄,1，求導分析函數(shù)的單調性，進而可得：X1X22.e【詳解】P X =800|1 -2 2f 1 1 L 4 )+ 2丿 2 丿122( (+2X+2X - -遼丿2c 匚4)4x 2

30、漢1卜：-510033-?P X =1200 =-遼丿I 5丿511 2 JI 2丿2 15丿2c 102 =-100X|x22.第27頁共 21 頁:kx對任意0,=恒成立，得k2lnrx對任意x 0, :恒遞減2則k3e，即k的取值范圍為ln x +1ln x(2)證明：設捲次2,g x二-m，則gx；=呼xx在0,1上，g x 0,g x單調遞增；在 1,亠j上，g x : 0,g x單調遞減=-m，當x時，g x -m，且g x廠m,1 二0 . m：1,Xi: 1：X2,e要證x1x2 2,即證X2 2 - X1Tx21,2 1,g x在 1,=上單調遞減,只需證明g X2: g 2

31、-X1由g X1=g X2，只需證明gN: g2-為令m(x)=g(x)g(2x ),廠,1 :Ve丿In x ln (2x)m x2廠x(2-x)2(1)解：由f x成立人2ln x令h x -x則h x/3lnxx令h x =0，則ix =e30,h x單調遞增；在ie2,:上，h x -.0,h x單調/ 1、h(xhax=he323e，(1) g 1 =1 -m , g -.ej第28頁共 21 頁Tx-,1，-lnx 0，宀2，第29頁共 21 頁mx在1, 1上單調遞增, m x : m 1 =0,即m x : 0, x1x22.【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，最值，函數(shù)零點的 存在性及個數(shù)判斷，難度中檔.x = 1 3t,l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).=a +4t4(1) 若a，求C與I的普通方程；3(2)若|與C有兩個不同的公共點，求a的取值范圍.【答案】(1)C的普通