一DSP定點算數運算1數的定標在定點DSP芯片中,采用

1、一 定點算數運算 1 數的定標 在定點DSP芯片中，采用定點數進行數值運算，其操作數一般采用整型數來表示。一個整型數的最大表示范圍取決于DSP芯片所給定的字長，一般為16位或24位。顯然，字長越長，所能表示的數的范圍越大，精度也越高。如無特別說明，本書均以16位字長為例。 DSP芯片的數以2的補碼形式表示。每個16位數用一個符號位來表示數的正負，0表示數值為正，l則表示數值為負。其余15位表示數值的大小。因此， 二進制數0010000000000011b=8195 二進制數1111111111111100b= -4 對DSP芯片而言，參與數值運算的數就是16位的整型數。但在許多情況下，數學運算

2、過程中的數不一定都是整數。那么，DSP芯片是如何處理小數的呢？應該說，DSP芯片本身無能為力。那么是不是說DSP芯片就不能處理各種小數呢？當然不是。這其中的關鍵就是由程序員來確定一個數的小數點處于16位中的哪一位。這就是數的定標。 通過設定小數點在16位數中的不同位置，就可以表示不同大小和不同精度的小數了。數的定標有Q表示法和S表示法兩種。表1.1列出了一個16位數的16種Q表示、S表示及它們所能表示的十進制數值范圍。 從表1.1可以看出，同樣一個16位數，若小數點設定的位置不同，它所表示的數也就不同。例如， 16進制數2000H=8192，用Q0表示 16進制數2000H=0.25，用Q15

3、表示 但對于DSP芯片來說，處理方法是完全相同的。 從表1.1還可以看出，不同的Q所表示的數不僅范圍不同，而且精度也不相同。Q越大，數值范圍越小，但精度越高；相反，Q越小，數值范圍越大，但精度就越低。例如，Q0 的數值范圍是一32768到+32767，其精度為1，而Q15的數值范圍為-1到0.9999695，精度為1/32768=0.00003051。因此，對定點數而言，數值范圍與精度是一對矛盾，一個變量要想能夠表示比較大的數值范圍，必須以犧牲精度為代價；而想精度提高，則數的表示范圍就相應地減小。在實際的定點算法中，為了達到最佳的性能，必須充分考慮到這一點。 浮點數與定點數的轉換關系可表示為：

4、 浮點數(x)轉換為定點數(xq)：xq=(int)x* 2Q 定點數(xq)轉換為浮點數(x)：x=(float)xq*2-Q 例如，浮點數x=0.5，定標Q=15，則定點數xq=L0.5*32768J=16384，式中LJ表示下取整。反之，一個用Q=15表示的定點數16384，其浮點數為163幼*2-15=16384/32768=0.5。浮點數轉換為定點數時，為了降低截尾誤差，在取整前可以先加上0.5。 表1.1 Q表示、S表示及數值范圍 Q表示 S表示 十進制數表示范圍 Q15 S0.15 -1x0.9999695 Q14 S1.14 -2x1.9999390 Q13 S2.13 -4x

5、3.9998779 Q12 S3.12 -8x7.9997559 Q11 S4.11 -16x15.9995117 Q10 S5.10 -32x31.9990234 Q9 S6.9 -64x63.9980469 Q8 S7.8 -128x127.9960938 Q7 S8.7 -256x255.9921875 Q6 S9.6 -512x511.9804375 Q5 S10.5 -1024x1023.96875 Q4 S11.4 -2048x2047.9375 Q3 S12.3 -4096x4095.875 Q2 S13.2 -8192x8191.75 Q1 S14.1 -16384x16383

6、.5 Q0 S15.0 -32768x32767 2 高級語言：從浮點到定點 我們在編寫DSP模擬算法時，為了方便，一般都是采用高級語言(如C語言)來編寫模擬程序。程序中所用的變量一般既有整型數，又有浮點數。如例1.1程序中的變量i是整型數，而pi是浮點數，hamwindow則是浮點數組。 例1.1 256點漢明窗計算 int i；+ float pi=3.14l59； float hamwindow256； for(i=0；i(Qx-Qz)，若Qx=Qz z=temp(Qz-Qx)，若Qx32767，因此 Qx=1，Qy=0，Qz=0，則定點加法為： x=30000；y=20000； tem

7、p=200001=35000； 因為z的Q值為0，所以定點值z=35000就是浮點值，這里z是一個長整型數。當加法或加法的結果超過16位表示范圍時，如果程序員事先能夠了解到這種情況，并且需要保持運算精度時，則必須保持32位結果。如果程序中是按照16位數進行運算的，則超過16位實際上就是出現了溢出。如果不采取適當的措施，則數據溢出會導致運算精度的嚴重惡化。一般的定點DSP芯片都沒有溢出保護功能，當溢出保護功能有效時，一旦出現溢出，則累加器ACC的結果為最大的飽和值(上溢為7FFFH，下溢為8001H)，從而達到防止溢出引起精度嚴重惡化的目的。 2.2乘法運算的C語言定點模擬 設浮點乘法運算的表達

8、式為： float x，y，z； z=xy； 假設經過統(tǒng)計后x的定標值為Qx，y的定標值為Qy，乘積z的定標值為Qz，則 z=xy zq*2-Qx=xq*yq*2-(Qx+Qy) zq=(xqyq)2Qz-(Qx+Qy) 所以定點表示的乘法為： int x，y，z； long temp； temp=(long)x； z=(temp*y)(Qx+Qy-Qz)； 例1.5定點乘法。 設x=18.4，y=36.8，則浮點運算值為=18.4*36.8=677.12； 根據上節(jié)，得Qx=10，Qy=9，Qz=5，所以 x=18841；y=18841； temp=18841L； z=(18841L*188

9、41)(10+9-5)=354983281L14=21666； 因為z的定標值為5，故定點z=21666，即為浮點的z=21666/32=677.08。 2.3除法運算的C語言定點摸擬 設浮點除法運算的表達式為： float x，y，z； z=x/y； 假設經過統(tǒng)計后被除數x的定標值為Qx，除數y的定標值為Qy，商z的定標值為Qz，則 z=x/y zq*2-Qz=(xq*2-Qx)/(yq*2-Qy) zq=(xq*2(Qz-Qx+Qy)/yq 所以定點表示的除法為： int x，y，z； long temp； temp=(long)x； z=(temp(Qz-Qx+Qy)/y； 例1.6定點

10、除法。 設x=18.4，y=36.8，浮點運算值為z=x/y=18.4/36.8=0.5； 根據上節(jié)，得Qx=10，Qy=9，Qz=15；所以有 z=18841，y=18841； temp=(long)18841； z=(18841L(15-10+9)/18841=3O8690944L/18841=16384； 因為商z的定標值為15，所以定點z=16384，即為浮點z=16384/215=0.5。 2.4程序變量的Q值確定 在前面幾節(jié)介紹的例子中，由于x，y，z的值都是已知的，因此從浮點變?yōu)槎c時Q值很好確定。在實際的DSP應用中，程序中參與運算的都是變量，那么如何確定浮點程序中變量的Q值呢

11、？從前面的分析可以知道，確定變量的Q值實際上就是確定變量的動態(tài)范圍，動態(tài)范圍確定了，則Q值也就確定了。 設變量的絕對值的最大值為|max|，注意|max|必須小于或等于32767。取一個整數n，使?jié)M足 2n-1|max|2n 則有 2-Q=2-15*2n=2-(15-n) Q=15-n 例如，某變量的值在-1至+1之間，即|max|1，因此n=0，Q=15-n=15。 既然確定了變量的|max|就可以確定其Q值，那么變量的|max|又是如何確定的呢？一般來說，確定變量的|max|有兩種方法。一種是理論分析法，另一種是統(tǒng)計分析法。 1. 理論分析法 有些變量的動態(tài)范圍通過理論分析是可以確定的。例

12、如： (1)三角函數。y=sin(x)或y=cos(x)，由三角函數知識可知，|y|=1。 (2)漢明窗。y(n)=0.54一0.46cosnn/(N-1)，0=n=N-1。因為-1=cos2n/(N-1)=1，所以0.08=y(n)=1.0。 (3)FIR卷積。y(n)=h(k)x(n-k)，設|h(k)|=1.0，且x(n)是模擬信號12位量化值，即有|x(n)|=211，則|y(n)|=211。 (4)理論已經證明，在自相關線性預測編碼(LPC)的程序設計中，反射系數ki滿足下列不等式：|ki|15； for(i=0；i(n-1)；i)x1n-i-2=xinlength-i-1； 主程序

13、與浮點的完全一樣。“ 3 DSP定點算術運算 定點DSP芯片的數值表示基于2的補碼表示形式。每個16位數用l個符號位、i個整數位和15-i個小數位來表示。因此： 00000010.10100000 表示的值為： 212-12-3=2.625 這個數可用Q8格式(8個小數位)來表示，其表示的數值范圍為-128至l27.996，一個Q8定點數的小數精度為1/256=0.004。 雖然特殊情況(如動態(tài)范圍和精度要求)必須使用混合表示法。但是，更通常的是全部以Q15格式表示的小數或以Q0格式表示的整數來工作。這一點對于主要是乘法和累加的信號處理算法特別現實，小數乘以小數得小數，整數乘以整數得整數。當然

14、，乘積累加時可能會出現溢出現象，在這種情況下，程序員應當了解數學里面的物理過程以注意可能的溢出情況。下面我們來討論乘法、加法和除法的DSP定點運算，匯編程序以TMS320C25為例。 3.1定點乘法 兩個定點數相乘時可以分為下列三種情況： 1. 小數乘小數 例1.9 Q15*Q15=Q30 0.5*0.5=0.25 0.100000000000000；Q15 * 0.100000000000000；Q15 - 00.010000000000000000000000000000=0.25；Q30 兩個Q15的小數相乘后得到一個Q30的小數，即有兩個符號位。一般情況下相乘后得到的滿精度數不必全部保

15、留，而只需保留16位單精度數。由于相乘后得到的高16位不滿15位的小數據度，為了達到15位精度，可將乘積左移一位，下面是上述乘法的TMS320C25程序： LT OP1；OP1=4000H(0.5/Q15) MPY OP2；oP2=4000H(0.5/Ql5) PAC SACH ANS，1；ANS=2000H(0.25/Q15)二 整數乘整數 例1.10 Q0*Q0=Q0 17*(-5)=-85 0000000000010001=l7 *1111111111111011=-5-11111111111111111111111110101011=-85 3. 混合表示法 許多情況下，運算過程中為了

16、既滿足數值的動態(tài)范圍又保證一定的精度，就必須采用Q0與Q15之間的表示法。比如，數值1.2345，顯然Q15無法表示，而若用Q0表示，則最接近的數是1，精度無法保證。因此，數1.2345最佳的表示法是Q14。 例1.11 1.5*0.75= 1.125 01.10000000000000=1.5；Q14 *00.11000000000000=0.75；Q14 - 0001.0010000000000000000000000000=1.125 Q28 Q14的最大值不大于2，因此，兩個Q14數相乘得到的乘積不大于4。 一般地，若一個數的整數位為i位，小數位為j位，另一個數的整數位為m位，小數位為

17、n位，則這兩個數的乘積為(i+m)位整數位和(j+n)位小數位。這個乘積的最高16位可能的精度為(im)整數位和(15- i- m)小數位。 但是，若事先了解數的動態(tài)范圍，就可以增加數的精度。例如，程序員了解到上述乘積不會大于1.8，就可以用Q14數表示乘積，而不是理論上的最佳情況Q13。例3.11的TMS320C25程序如下： LT OP1；OP1 = 6000H(1.5/Ql4) MPY OP2；OP2 = 3000H(0.75/Q14) PAC SACH ANS，1；ANS=2400H(1.125/Q13) 上述方法，為了精度均對乘的結果舍位，結果所產生的誤差相當于減去一個LSB(最低位

18、)。采用下面簡單的舍人方法，可使誤差減少二分之一。 LT OP1 MPY OP2 PAC ADD ONE，14(上舍入) SACH ANS，1 上述程序說明，不管ANS為正或負，所產生的誤差是l/2 LSB，其中存儲單元ONE的值為1。 3.2定點加法 乘的過程中，程序員可不考慮溢出而只需調整運算中的小數點。而加法則是一個更加復雜的過程。首先，加法運算必須用相同的Q點表示，其次，程序員或者允許其結果有足夠的高位以適應位的增長，或者必須準備解決溢出問題。如果操作數僅為16位長，其結果可用雙精度數表示。下面舉例說明16位數相加的兩種途徑。 1.保留32位結果 LAC OP1；(Q15) ADD O

19、P2；(Ql5) SACH ANSHI ；(高16位結果) SACL ANSLO ：(低16位結果) 2.調整小數點保留16位結果 LAC OP1，15；(Q14數用ACCH表示) ADD OP2，15；(Q14數用ACCH表示) SACH ANS；(Q14) 加法運算最可能出現的問題是運算結果溢出。TMS320提供了檢查溢出的專用指令BV，此外，使用溢出保護功能可使累加結果溢出時累加器飽和為最大的整數或負數。當然，即使如此，運算精度還是大大降低。因此，最好的方法是完全理解基本的物理過程并注意選擇數的表達方式。 3.3定點除法 在通用DSP芯片中，一般不提供單周期的除法指令，為此必須采用除法子

20、程序來實現。二進制除法是乘法的逆運算。乘法包括一系列的移位和加法，而除法可分解為一系列的減法和移位。下面我們來說明除法的實現過程。 設累加器為8位，且除法運算為10除以3。除的過程包括與被除法有關的除數逐步移位，在每一步進行減法運算，如果能減則將位插入商中。 (1)除數的最低有效位對齊被除數的最高有效位。 0000l0l0 - 00011000 - 11110010 (2)由于減法結果為負，放棄減法結果，將被除數左移一位，再減。 00010100 - 00011000 - 11111000 (3)結果仍為負，放棄減法結果，被除數左移一位，再減。 00101000 - 00011000 - 00

21、010000 (4)結果為正，將減法結果左移一位后加1，作最后一次減。 00100001 - 00011000 - 00001001 (5)結果為正，將結果左移一位加1 得最后結果。高4位代表余數，低4位表示商。 00010011 即，商為0011= 三 余數為0001= 1。 TMS320沒有專門的除法指令，但使用條件減指令SUBC可以完成有效靈活的除法功能。使用這一指令的唯一限制是兩個操作數必須為正。程序員必須事先了解其可能的運算數的特性，如其商是否可以用小數表示及商的精度是否可被計算出來。這里每一種考慮可影響如何使用SUBC指令的問題。下面我們給出兩種不同情況下的TMS320C25除法程

22、序。 (1)分子小于分母 DIV_A： LT NUMERA MPY DENOM PAC SACH TEMSGN；取商的符號 LAC DENOM ABS SACL DENOM；使分母為正 ZALH NUMERA； 分子為正 ABS RPTK 14 SUBC DENOM；除循環(huán)15次 SACL QUOT LAC TEMSGN BGEZ A1；若符號為正，則完成 ZAC SUB QUOT SACL QUOT；若為負，則商為負 A1： RET 這個程序中，分子在NUMERA中，分母在DENOM中，商存在QUOT中，TEMSGN為暫存單元。 (2)規(guī)定商的精度 DIV_B: LT NUMERA MPY

23、DENOM PAC SACH TEMSGN；取商的符號 LAC DENOM ABS SACL DENOM; 使分母為正 LACK 15 ADD FRAC SACL FRAC；計算循環(huán)計數器 LAC NUMERA ABS ; 使分子為正 RPT FRAC SUBC DENOM; 除循環(huán)16FRAC次 SACL QUOT LAC TEMSGN BGEZ B1;若符號為正，則完成 ZAC SUB QUOT SACL QUOT；若為負，則商為負 B1： RET 與DIV_A相同，這個程序中，分子在NUMERA中，分母在DENOM中，商存在QUOT中，TEMSGN為暫存單元。FRAC中規(guī)定商的精度，如商

24、的精度為Q13，則調用程序前FRAC單元中的值應為13。 4 非線性運算的定點快速實現 在數值運算中，除基本的加減乘除運算外，還有其它許多非線性運算，如，對數運算，開方運算，指數運算，三角函數運算等，實現這些非線性運算的方法一般有：(1)調用DSP編譯系統(tǒng)的庫函數；(2)查表法；(3)混合法。下面我們分別介紹這三種方法。 1.調用DSP編譯系統(tǒng)的庫函數 TMS320C2X/C5X的C編譯器提供了比較豐富的運行支持庫函數。在這些庫函數中，包含了諸如對數、開方、三角函數、指數等常用的非線性函數。在C程序中(也可在匯編程序中)只要采用與庫函數相同的變量定義，就可以直接調用。例如，在庫函數中，定義了以

25、10為底的常用對數log10()： #includemath.h double，log10(double x)； 在C程序中按如下方式調用： float x，y; X=10.0; y=log10(x)； 從上例可以看出，庫函數中的常用對數log10()要求的輸入值為浮點數，返回值也為浮點數，運算的精度完全可以保證。直接調用庫函數非常方便，但由于運算量大，很難在實時DSP中得到應用。 2.查表法 在實時DSP應用中實現非線性運算，一般都采取適當降低運算精度來提高程序的運算速度。查表法是快速實現非線性運算最常用的方法。采用這種方法必須根據自變量的范圍和精度要求制作一張表格。顯然輸人的范圍越大，精度

26、要求越高，則所需的表格就越大，即存儲量也越大。查表法求值所需的計算就是根據輸入值確定表的地址，根據地址就可得到相應的值，因而運算量較小。查表法比較適合于非線性函數是周期函數或已知非線性函數輸入值范圍這兩種情況、例1.12和例1. 13分別說明這兩種情況。 例1.12 已知正弦函數y=cos(x)，制作一個512點表格，并說明查表方法。由于正弦函數是周期函數，函數值在-1至+1之間，用查表法比較合適。由于Q15的表示范圍為1-至32767/32768之間，原則上講-1至1的范圍必須用Q14表示。但一般從方便和總體精度考慮，類似情況仍用Q15表示，此時+1用32767來表示。 (1)產生5l2點值

27、的C語言程序如下所示。 #define N 512 #define pi 3.14l59 int sin_tab5l2； void main() int i; for(i=0；iN；i+)sin_tabi=(int)(32767*sin(2*pi*i/N)； (2)查表 查表實際上就是根據輸人值確定表的地址。設輸入x在02之間，則x對應于512點表的地址為：index=(int)(512*x/2)，則y=sin(x)=sin_tabindex如果x用Q12定點數表示，將512/2用Q8表示為20861，則計算正弦表的地址的公式為。 index=(x*20861L)20； 例1.12用查表法求以

28、2為底的對數，已知自變量值范圍為0.5-1，要求將自變量范圍均勻劃分為10等分。試制作這個表格并說明查表方法。 (1)作表： y=log2(x)，由于x在0.5到1之間，因此y在-1到0之間，x和y均可用Q15表示。由于對x均勻劃分為10段，因此，10段對應于輸入x的范圍如表3.2所示。若每一段的對數值都取第一點的對數值，則表中第一段的對數值為y0(Q15)=(int)(log(O.5)*32768)，第二段的對數值為y1(Q15)=(int)(log2(0.55)*32768)，依次類推，如表3.2所示。 (2)查表： 查表時，先根據輸人值計算表的地址，計算方法為： index=(x-163

29、84)*20)15； 式中， index就是查表用的地址。例如，已知輸人x=26869，則index=6，因此，y= -10549。 表1.2 logtab0 10點對數表 地址 輸入值 對數值(Q15) 0 0.50-0.55 -32768 1 0.55-0.60 -28262 2 0.60-0.65 -24149 3 0.65-0.70 -20365 4 0.70-0.75 -16862 5 0.75-0.80 -13600 6 0.80-0.85 -10549 7 0.85-0.90 -7683 8 0.90-0.95 -4981 9 0.95-1.00 -2425 3.混合法 (1)提

30、高查表法的精度 上述方法查表所得結果的精度隨表的大小而變化，表越大，則精度越高，但存儲量也越大。當系統(tǒng)的存儲量有限而精度要求也較高時，查表法就不太適合。那么能否在適當增加運算量的情況下提高非線性運算的精度呢？下面介紹一種查表結合少量運算來計算非線性函數的混合法，這種方法適用于在輸入變量的范圍內函數呈單調變化的情形?；旌戏ㄊ窃诓楸淼幕A上來用計算的方法以提高當輸入值處于表格兩點之間時的精度。提高精度的一個簡便方法是采用折線近似法，如圖1.1所示。 圖1.1提高精度的折線近似法” 仍以求以2為底的對數為例(例1.12)。設輸入值為x，則精確的對數值為y，在表格值的兩點之間作一直線，用y作為y的近似

31、值，則有： y=y0y 其中y0由查表求得?，F在只需在查表求得y0的基礎上增加y既可。y的計算方法如下： y=(x/x0)y=x(y0/x0) 其中y0/x0對每一段來說是一個恒定值，可作一個表格直接查得。此外計算此時需用到每段橫坐標的起始值，這個值也可作一個表格。這佯共有三個大小均為10的表格，分別為存儲每段起點對數值的表logtab0、存儲每段y0/x0值的表logtab1和存儲每段輸入起始值x0的表logtab2，表logtab1和表logtab2可用下列兩個數組表示。 int logtab110=22529，20567，18920，17517，16308， 15255，14330，13

32、511，12780，12124；/*y0/x0：Q13*/ int logtab210=16384，18022，19660，21299，22938， 24576，26214，27853，29491，31130；/*x0：Q15*/ 綜上所述，采用混合法計算對數值的方法可歸納為： (1)根據輸人值，計算查表地址：index=(x-16384)*20)15； (2)查表得y0=logtab0index； (3)計算x=x-logtab2index； (4)計算y=(x*logtab1index)13； (5)計算得結果y=y0y。 例1.13已知x=0.54，求log2(x)。 0.54的精確對數

33、值為y=log2(0.54)=-0.889。 混合法求對數值的過程為： (1)定標Q15，定標值x=0.54*32768=17694； (2)表地址index=(x-16384)*20)15=0； (3)查表得y0=logtab00=-32768； (4)計算x=x-logtab20=17694-16384=1310； (5)計算y=(xlogtab1013=(13l0*22529L)13=3602 (6)計算結果y=y0y=-327683602=-29166。 結果y為Q15定標，析算成浮點數為-29166/32768=-0.89，可見精度較高。 (2)擴大自變量范圍 如上所述，查表法比較適

34、用于周期函數或自變量的動態(tài)范圍不是太大的情形。對于像對數這樣的非線性函數，輸入值和函數值的變化范圍都很大。如果輸入值的變化范圍很大，則作表就比較困難。那么能否比較好地解決這個問題，即不便表格太大，又能得到比較高的精度呢？下面我們來討論一種切實可行的方法。 設x是一個大于0.5的數，則x可以表示為下列形式： x=m*2e 式中，0.5=m 16; （2）無符號結果： unsign m1,m2,result; result=(unsigned long)m1*(unsigned long)m2) 16; TMS320C2X/C5X的C編譯器將浮點數表示為IEEE單精度格式。單精度數和雙精度數都表示

35、位32位，兩者沒有任何區(qū)別。在TMS320C2X/C5X的浮點庫中提供了一組浮點數學庫函數，如加法、減法。乘法、除法、比較、整數和浮點數轉換、標準的錯誤處理等。這些函數也不遵循標準的C調用規(guī)則。調用這些函數時，C編譯器先將參數壓人運行堆棧，然后調用浮點庫函數。函數執(zhí)行時，首先將參數從堆棧中彈出，然后執(zhí)行函數運算，最后將運算結果壓人堆棧返回。 有些浮點庫函數需要整型或長整型參數或返回整型或長整型結果，對這些函數，用累加器的低16位傳遞或返回整型數，而用累加器的所有32位傳遞或返回長整型數。 六、TMS320C2X/C5X C語言程序開發(fā)舉例 本節(jié)我們以TMS320C2X為例，說明定點DSP芯片C程序的開發(fā)過程。軟件開發(fā)過程與浮點DSP芯片的開發(fā)過程相類似，主要分以下幾個步驟： 1. 用編輯器（如EDIT、PE2等）編輯一個或多個C程序，如example1.c，example2.c。 2. 用一步編譯程序dspcl.exe對C程序編譯匯編形成目標文件，如example1.obj，example2.obj： dspcl_v25_g_mn_o2 example1.c dspc_