線代試題與答案VIP

1、天津工業(yè)大學(xué)（20112012 學(xué)年第2學(xué)期） 線性代數(shù)模擬試卷(2012.6理學(xué)院)一、 填空1、 設(shè)為3階方陣，為其伴隨矩陣，且，則 解：2、 設(shè)為3階方陣， ，則解： 3、 設(shè)矩陣則， 則 解：， 4、 設(shè)矩陣則， 則 解：， 5、 已知3維向量, 且行列式=,則行列式= ;向量組, 的秩= ;答案：6、 已知3維向量, 且行列式=,則行列式= ;向量組, 的秩= ;答案：7、 階矩陣有特征值，則的特征值為 ， .解： ，8、 階矩陣的特征值為，則的特征值為 ， 答案：，9、 若階矩陣有特征值，則的特征值為 ,矩陣的行列式 答案：，10、 設(shè)矩陣為正交矩陣，則 ， .答案：11、 當(dāng) 時

2、， 答案： 12、 設(shè)是的基礎(chǔ)解系，為的一個解向量，則 ，向量組 必線性 ；答案：，無關(guān)13、 設(shè)是的基礎(chǔ)解系，為的個列向量，若，則方程組的通解為 答案：，其中為任意常數(shù)14、設(shè)階矩陣的各行元素之和均為零，且則的通解為 答案： ， （）15、設(shè)為四階方陣, 且秩(A) = 2, 則齊次線性方程組A*x = 0(A*是A的伴隨矩陣)的基礎(chǔ)解系所包含的解向量的個數(shù)為_.解. 因?yàn)榫仃嘇的秩, 所以, A*x = 0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為40 = 4.16、設(shè)a1, a2, as是非齊次線性方程組的解, 若C1a1 + C2a2 + + Csas也是的一個解, 則C1 + C2 + + Cs

3、= _.解. 因?yàn)?C1a1 + C2a2 + + Csas), 所以, . 二、 計算行列式1、 解：2、計算解答：3、 提示：含零元素較多的兩條線行列式，可按行（列）展開.解：按第一列展開得 三、抽象矩陣求逆1、 證明：可逆，并求答案： ，2、已知矩陣滿足，證明：（1）可逆，并求（2）可逆，并求（3）可逆，并求（2）可逆，并求解答：易有，所以，所以，所以，所以，所以四、解矩陣方程1、,且，求.解： 存在 等式兩邊同時右乘，則原式變形為 即 2、且，求.解： 存在 等式兩邊同時右乘，左乘則原式變形為 即 注：不易求，但卻容易求。3、已知矩陣的伴隨矩陣，且，求.解：等式兩邊同時右乘，左乘則原式

4、變形為 即 五、求向量組，的秩及其最大無關(guān)組，將其余向量用該最大無關(guān)組線性表示.解：對以為列構(gòu)成的矩陣進(jìn)行行初等變換，得 所以，為該向量組的極大無關(guān)組，且六、求線性方程組的通解取何值時，線性方程組 無解？有唯一解？有無窮解？并寫出通解.解：當(dāng)即且時，方程組有唯一解當(dāng)時，或，方程組無解，方程組有無窮解通解為：七、設(shè)有二次型（1）寫出二次型的矩陣表達(dá)式。（2）求一個正交變換，使二次型在正交變換下化成的標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出標(biāo)準(zhǔn)形解：（1）二次型的矩陣形式為（2）所以的特征值為，可求得對應(yīng)的特征向量分別為：對應(yīng)的特征向量為，對應(yīng)的特征向量為將正交化并規(guī)范化得則正交變換陣為，化原二次型為.八、特征值與特征向量

5、1、設(shè)為三階實(shí)對稱矩陣，且滿足， 已知向量, ,是對應(yīng)特征值的特征向量，求，其中為自然數(shù)。t解： 由得，故有特征值又對應(yīng)特征值的特征向量有兩個，故特征值為 對應(yīng)，可求得特征向量，所以 2、設(shè)矩陣，求的特征值與特征向量，其中為的伴隨矩陣，為3階單位矩陣.分析 ：可先求出，進(jìn)而確定及，再按通常方法確定其特征值和特征向量；或先求出的特征值與特征向量，再相應(yīng)地確定的特征值與特征向量，最終根據(jù)與相似求出其特征值與特征向量.解法一：經(jīng)計算可得 ， 從而 ，故的特征值為當(dāng)時，解，得線性無關(guān)的特征向量為，所以屬于特征值的所有特征向量為，其中是不全為零的任意常數(shù).當(dāng)時，解，得線性無關(guān)的特征向量為，所以屬于特征值

6、的所有特征向量為，其中為任意常數(shù).方法二：設(shè)的特征值為，對應(yīng)特征向量為，即 . 由于，所以 又因 ，故有 .于是有 ，因此，為的特征值，對應(yīng)的特征向量為.由于，故的特征值為當(dāng)時，對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為， 當(dāng)時，對應(yīng)的一個特征向量為由 ，得，.因此，的三個特征值分別為9，9，3.對應(yīng)于特征值9的全部特征向量為，其中是不全為零的任意常數(shù)；對應(yīng)于特征值3的全部特征向量為，其中是不為零的任意常數(shù).注： 設(shè)，若是的特征值，對應(yīng)特征向量為，則與有相同的特征值，但對應(yīng)特征向量不同，對應(yīng)特征值的特征向量為.3、（2011研）A為3階實(shí)對稱矩陣，A的秩為2，且求（1）A的特征值與特征向量 （2） 矩陣A答

7、案：（1）A的特征值為，所對應(yīng)的特征向量為，因?yàn)锳的秩為2，所以A 的另外一個特征值為，又因?yàn)锳為3階實(shí)對稱矩陣，其特征向量兩兩正交，所以特征值為對應(yīng)的特征向量為（2）4、設(shè)三階對稱矩陣的特征向量值，是的屬于的一個特征向量，記，其中為3階單位矩陣. （I）驗(yàn)證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量；（II）求矩陣. 【分析】本題考查實(shí)對稱矩陣特征值和特征向量的概念和性質(zhì). 【詳解】（I）， 則是矩陣的屬于2的特征向量. 同理可得 ，. 所以的全部特征值為2，1，1 設(shè)的屬于1的特征向量為，顯然為對稱矩陣，所以根據(jù)不同特征值所對應(yīng)的特征向量正交，可得. 即 ，解方程組可得的屬于1的特征向量

8、 ，其中為不全為零的任意常數(shù). 由前可知的屬于2的特征向量為 ，其中不為零.（II）令，由（）可得，則 .【評注】本題主要考查求抽象矩陣的特征值和特征向量，此類問題一般用定義求解，要想方設(shè)法將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為的形式. 請記住以下結(jié)論：（1）設(shè)是方陣的特征值，則分別有特征值 可逆），且對應(yīng)的特征向量是相同的. （2）對實(shí)對稱矩陣來講，不同特征值所對應(yīng)的特征向量一定是正交的5、設(shè)矩陣，求B+2E的特征值與特征向量，其中為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣.【分析】 可先求出，進(jìn)而確定及B+2E，再按通常方法確定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值與特征向量，再相應(yīng)地確定A*的特征值與特征向量，最終根據(jù)

9、B+2E與A*+2E相似求出其特征值與特征向量.【詳解】 方法一：經(jīng)計算可得 ， ， =.從而 ，故B+2E的特征值為當(dāng)時，解，得線性無關(guān)的特征向量為 所以屬于特征值的所有特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數(shù).當(dāng)時，解，得線性無關(guān)的特征向量為 ，所以屬于特征值的所有特征向量為，其中為任意常數(shù).方法二：設(shè)A的特征值為，對應(yīng)特征向量為，即 . 由于，所以 又因 ，故有 于是有 ， 因此，為B+2E的特征值，對應(yīng)的特征向量為由于 ，故A的特征值為當(dāng)時，對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為， 當(dāng)時，對應(yīng)的一個特征向量為 由 ，得，.因此，B+2E的三個特征值分別為9，9，3.對應(yīng)于特征值9的全部特征向量為 ，其中是不全為零的任意常數(shù)；對應(yīng)于特征值3的全部特征向量為 ，其中是不為零的任意常數(shù).【評注】 設(shè)，若是A的特征值，對應(yīng)特征向量為，則B與A有相同的特征值，但對應(yīng)特征向量不同，B對應(yīng)特征值的特征向量為九、設(shè)是非齊次線性方程組的一個解,是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，證明： 線性無關(guān) 線性無關(guān).證明： 方法一：用線性無關(guān)的定義證明 設(shè)有，使得 將此式左乘得： 即： 由于： 可知： 帶入式得： 由于是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，故有 所以可知：線性無關(guān)