2020屆黑龍江省大慶市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、第1 1頁(yè)共 2525 頁(yè)2020 屆黑龍江省大慶市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)(理)試題一、單選題1 1 .設(shè)集合A二lx x?豈x?,B亠x|0：x 1，則A B二()A A.0,11C C.：,11D.：,o U 0,1【答案】A A【解析】求出集合A后可求AB.【詳解】A二0,11,故AB= 0,1,故選 A.A.【點(diǎn)睛】 本題考查集合的運(yùn)算交，屬于基礎(chǔ)題2 2 .已知(1+D=1 - i( (i為虛數(shù)單位Z) )，則復(fù)數(shù)Z的共軛復(fù)數(shù)等于()C C.-1 i【答案】A A【解析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可求解,得到答案.【詳解】所以復(fù)數(shù)Z的共軛復(fù)數(shù)等于Z =

2、-1 -i，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及共軛復(fù)數(shù)的概念的應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確求解復(fù)數(shù) Z Z 是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.斗44443 3.已知a =(2,1)b=(x,2 )，且a/b，則a+b =()C C. 5B B.1 -iB B.0,1.2由題意，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足(1+ i)=1 - i，即Z=(1+ i)22i2i?(1 i)=-1+i,1- i 1- i(1- i)(1+ i)B B. 3 3D D . 、10量求解的問(wèn)題第 2 2 頁(yè)共 2525 頁(yè)【答案】C C【解析】 利用向量共線(xiàn)的坐標(biāo)形式可求X，求出a.b的坐標(biāo)后

3、可求【詳解】因?yàn)閍/b，故2 2 = -1 x，所以x = -4,故選 C.C.【點(diǎn)睛】如果a= Xi,yi,b = X2,y2，那么：(1 1 )若a/b，則x$2XiX2y1y2=0.4 4張丘建算經(jīng)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今共織九十尺，問(wèn)織幾日？”其中 日減功遲”的具體含義是每天比前一天少織同樣多的布，則每天比前一天少織布的尺數(shù)為 ( )8442A A.B B.C C.D D.29152915【答案】C C【解析】 將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問(wèn)題，通過(guò)Sn=90,an=1,印=5，構(gòu)造方程組解出公差，從而得到結(jié)果 【詳解

4、】設(shè)每天所織布的尺數(shù)為a.,則數(shù)列l(wèi)a.為等差數(shù)列設(shè)公差為d(2(2)若 a a _ _ b b，則第3 3頁(yè)共 2525 頁(yè)25 5 設(shè)拋物線(xiàn)y =2px的焦點(diǎn)在直線(xiàn)2x3y-8=：0上，則該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為（ ）A A X = -1B B.x = 2C Cx = 3D D x = -4【答案】D D【解析】由拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F在2x 3y -0上，求得p= 8，進(jìn)而得到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方 程，得到答案 【詳解】由題意，拋物線(xiàn)y2=2px的焦點(diǎn)FiP,0，又由焦點(diǎn)F在2x3y8 =0上，12丿解得p = 8，所以?huà)佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x =-衛(wèi)=-4，故選 D.D.2【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方

5、程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題 6 6若直線(xiàn) y y= =x x l l 和曲線(xiàn)y=alnx，2相切，則實(shí)數(shù)a的值為（）13A A 2B B 1 1C C 2 2D D 2【答案】B B【解析】設(shè)切點(diǎn)為x,alnx02,求出函數(shù)在x = x0處的導(dǎo)數(shù)后可得切線(xiàn)的斜率，從而可用a表示切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，最后根據(jù)切點(diǎn)在切線(xiàn)上得到關(guān)于a的方程，解該方程后可得實(shí)數(shù)a的值. .【詳解】由題意可6 =5,an=1,Sn=905 n -1 d =1則n n -1，解得:5nd =90I 2n =304294即每天比前一天少織尺的布29本題正確選項(xiàng)：C【點(diǎn)本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、

6、求和公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列基本量求解的問(wèn)題第 2 2 頁(yè)共 2525 頁(yè)aa設(shè)切點(diǎn)為x）,alnx，2，因?yàn)閥，故切線(xiàn)的斜率k1,xx所以x0二a，所以aln a 2二a 1，因?yàn)閍 0,故 a a ,故選 B.B.【點(diǎn)睛】解決曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題，核心是切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)楹瘮?shù)在橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)就是切線(xiàn)的斜率，本題為基礎(chǔ)題.7 7 某公司安排甲、乙、丙 3 3 人到A,B兩個(gè)城市出差，每人只去 1 1 個(gè)城市，且每個(gè)城市 必須有人去，則A城市恰好只有甲去的概率為（）第5 5頁(yè)共 2525 頁(yè)【答案】D Df竺）18丿.【詳解】B B.【答案】B B【解析】求出基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事

7、件中含有的基本事件的個(gè)數(shù),利用公式可求概率【詳2 2設(shè)事件C為“A城市恰好只有甲去”則基本事件的總數(shù)為CaA2= 6，事件C中含有的基本事件的總數(shù)為1 1，所以P C二 6故選 B.B.【點(diǎn)古典概型的概率的計(jì)算，關(guān)鍵是基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中基本事件的個(gè)數(shù)的計(jì)算,計(jì)算時(shí)應(yīng)利用排列組合的方法來(lái)考慮，此類(lèi)問(wèn)題為基礎(chǔ)題 . .8 8.已知函數(shù)f xi；= AsinA -Oj為偶函數(shù)，將f x圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2 2 倍（縱坐標(biāo)不變），所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g X,若g X最小正周期為2兀，且g = y2，則f -|=(14丿J 8丿A A . -2-2B B. 2 2C C. -.2

8、D D. x 2【解析】先利用偶函數(shù)的定義可求：=0，再根據(jù)圖象變換可求g X的解析式，根據(jù)g X最小正周期為2二，且g2可求代的值，得到14丿f x的解析式后可求第6 6頁(yè)共 2525 頁(yè)因?yàn)閒 x二As in x:為偶函數(shù)，故f -X二As in,所以Asi n ”x = As in -，x,故si n，x = si n -x,整理得到sin xcos亠cos xsin二sin xcos-cos xsin ,所以cos xsin：護(hù)二0對(duì)任意的X R恒成立，所以sin：護(hù)=0即叨二k二，k Z. .因?yàn)?，故浮=0. .第7 7頁(yè)共 2525 頁(yè)-4xf X=Asin x,故g x二Asi

9、n于【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像變換，考慮f x二Asin的奇偶性時(shí)，注意利用奇偶性的定義結(jié)合兩角和差的正弦來(lái)考慮，考慮圖像的周期變換時(shí)，注意周期變大了還是變小了，從而確定是除以某個(gè)數(shù)還是乘以某個(gè)數(shù)（此處為易錯(cuò)點(diǎn)）9 9.設(shè)m,n是兩條不同直線(xiàn)， a a，卩是兩個(gè)不同平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（）（）【答案】D D【解析】利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理及相關(guān)的推論考查所給的選項(xiàng)是否正確即可【詳解】逐一考查所給的選項(xiàng)：l/m，則 I I ： ，然后利用面面垂直的判定定理可得-.1-.1 ，選項(xiàng) C C 正確;所以因?yàn)?Jig x最小正周期為2二，且g214丿所以f x j =2sin 2x，所以f

10、 i 3-=2sin故選 D.D.=2二iCCJl、2二Asin -82，解得A=2A A.若m _： ,n/：,貝U m _ nC C .若m _： ,m / /：，則驀丄：B B.若n _： ,n /m,貝U m -:D D.若： _ ： ,m/，則m，：由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理推論可知:若m _：,由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理推論可知:若n，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理推論可知:若m _：,n / /二，則m _ n，選項(xiàng) A A 正確;n/m,則m_：，選項(xiàng) B B 正確;m/廠(chǎng)，則平面一：內(nèi)存在直線(xiàn)l，滿(mǎn)足第8 8頁(yè)共 2525 頁(yè)第9 9頁(yè)共 2525 頁(yè)在如圖所示的正方體ABCD -A1B1C1D1

11、中，取平面:-/分別為平面ABCDADD!, 直線(xiàn)m為棱BiCi,滿(mǎn)足二】,m/，但是不滿(mǎn)足 m m _ _二 選項(xiàng) D D 錯(cuò)誤； 故選：D.D.【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理及其推論，線(xiàn)面關(guān)系命題的判定，屬于中等題1010 .已知直三棱柱ABC -AiBiCi的所有棱長(zhǎng)都相等，M為AG的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AM與BC所成角的余弦值為（）10【答案】A A【解析】如圖，取AiBi的中點(diǎn)，連接MN,AN，可以證明.AMN是異面直線(xiàn)AM與BC所成角，利用余弦定理可求其余弦值如圖，取A1B1的中點(diǎn)N，連接MN , AN, 在叭BG中，因?yàn)镸 , N為中點(diǎn)，所以MNLB1C1,由直三棱柱ABC

12、- AG可得BC B1C1，故 MNMN LBCLBC ,所以.AMN或其補(bǔ)角是異面直線(xiàn)AM與BC所成角 因?yàn)槿庵鵄BC - AB。是直棱柱，所以AA1 1_ _平面AB。, 因?yàn)锳Q-平面A1BQ1，故AA A6，故AAM為直角三角形，同理AA1N為直角三角形設(shè)AB =2a，則AN =a,在Rt AAN中，有AN =：；a24a2=、5a，同理 AMAM = = 5a5a，又MN =a, ,B B.C.丄第1010頁(yè)共 2525 頁(yè),5a2+ a2-5a245故cos/AMN2漢、/5a x a10故選 A.A.【點(diǎn)睛】求異面直線(xiàn)所成的角，一般需要平移空間直線(xiàn)后將空間角轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)處理，

13、后者可以利用平面幾何的相關(guān)知識(shí)方法或利用解三角形的方法求平面角的大小或角的余弦值 1111設(shè)函數(shù) f(x)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，在區(qū)間-1,0)上是增函數(shù)，且f (x 2) = - f (x)，則有()13A A f(-b：f(-h：f(1)3213C C f(1)f32【答案】A Af 1 )f 1 )【解析】由題意可得ff -，f(1)=-f(-1),13丿V 3丿f3二f -1 2二-f-丄，再利用函數(shù)在區(qū)間-1,0)上是增函數(shù)可得答案2 . 2 . 2【詳解】 解 f(x)f(x)為奇函數(shù)，.f(-X)二-f(x),又f (x 2) - _f(x)f(1) f故選 A.A.

14、【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性比較函數(shù)值的大小， 考查利用知識(shí)解決問(wèn)題的能力31B B.f(1)(W)2331D D f (1)：f(；)3=T“11)，f| =f 1 1又*-1,-10，且函數(shù)在區(qū)間23-1,0)上是增函數(shù),“(一1川心0,I 2丿I 3丿，第1111頁(yè)共 2525 頁(yè)2 21212已知雙曲線(xiàn) 篤一爲(wèi)=1 a . 0,b 0的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線(xiàn)的左a b支上存在一點(diǎn)P，使得PF2與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)垂直于點(diǎn)H，且PF2= 4 F2H,則此雙曲線(xiàn)的離心率為（A A.乙634B.3【答案】D D【解析】利用PF2與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)垂直于點(diǎn)H可求出H的坐標(biāo)，再

15、利用PF2=4F2H求出P的坐標(biāo)（用a,b,c表示），將P的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)的方程后可求離心率. .則直線(xiàn)F?H : y =a acxb b，aybx由bby xL aacb得a2x= cbab y二L c，故Ha2ab因?yàn)镻F2=4 F2H，XP所以yp蟲(chóng)-3cc_ 4abca2ab故PF2=4F2H，從而(c Xp, yp )=-4 -c,，將P的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)的方程可以得到:0 0 時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在 y y 軸上截距最 大時(shí)，z z值最大，在 y y 軸截距最小時(shí)，z z 值最小；當(dāng) b bv0 0 時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在 y y 軸上 截距最大時(shí)，z z 值最小，在 y y 軸上截距最

16、小時(shí)，z z 值最大. .【答案】12【解析】先求出f 1， 再根據(jù)f(1)0、f(1)0分類(lèi)討論并求出相應(yīng)的f(f(1),根據(jù)f f 1=2可求實(shí)數(shù)m的值. .【詳解】f 1 =m 1,1若m -1，則f f1M：2m 1,令2m 1 = 2，故m = -；222若m _-1，則f f 1二m 1 1 -2m m1j亠m=1，故f f1=2無(wú)解,1綜上，m2故答案為：m= =1 1. .2【點(diǎn)睛】分段函數(shù)的處理方法有兩種：(1 1)分段處理，因?yàn)樵诓煌姆秶嫌胁煌慕馕鍪?，故可考慮在不同范圍上對(duì)應(yīng)的方程、不等式等；(2 2)數(shù)形結(jié)合，即畫(huà)出分段的函數(shù)的圖像,從而考慮與分段函數(shù)相關(guān)的不等式問(wèn)

17、題、方程的解等問(wèn)題5【答案】91414.若函數(shù)X22mx +m2, x蘭0心x + m,x0且f f 1門(mén)=2，則m的值為1515. 若、3 cos t sin 2X2-y2=1 a - b - 0的右焦點(diǎn)為F,且短軸長(zhǎng)為2 _ 3，離心率為(2(2)設(shè)點(diǎn)B為橢圓E與y軸正半軸的交點(diǎn), 是否存在直線(xiàn)I，使得I交橢圓E于M ,N(1(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;兩點(diǎn)，且F恰是.BMN的垂心？若存在，求I的方程；若不存在，說(shuō)明理由【答案】2 2C1）-1；（2 2）存在，y X43321、313【解析】(1)根據(jù)短軸長(zhǎng)和離心率可求a,b,c，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)假設(shè)存在直線(xiàn)I，則其斜率為k

18、= 3，設(shè)I的方程為y = 3x m，33M Xi,yi,N X2,y2，由F為垂心可得1-寧m(咅+x2)-4咅乂2-m2+ J3m = 0,聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，消去y后利用韋達(dá)定理可得關(guān)于m的方程，解該方程后可得所求的直線(xiàn)方程【詳解】(1(1)設(shè)橢圓2C的方程為務(wù)a2y_b2=1 a 0,b0，則由題意知2b=23，所以1，解得a222 2二4，所以橢圓C的方程為X y1. .43(2(2)由(1 1)2 2知，E的方程為壬43所以B0, . 1，0,所以直線(xiàn)BF的斜率kBF3， 假設(shè)存在直線(xiàn)I，使得F是BMN的垂心，則第2828頁(yè)共 2525 頁(yè)3第2929頁(yè)共 2525 頁(yè)設(shè)I的斜

19、率為k，則kBFLk - -1，所以k =一33設(shè)I的方程為y=_lx m, ,M冷,N X2, y2. .3,3y x m由232，得13x28 3mx 12 m 3 =0，x2y2,1.43由厶=8、3m彳-4 13 12 m2-30,得一罟:：:m：罟，_,2/3m12(m -3)x1x?, X1X2二1313因?yàn)镸F _ BN，所以MFLBN =0，因?yàn)镸F二1 -xn-yi,BN所以1 - XiX2- yiy2 3 = 0,4m (% +x2)一為乂23整理得21m2-5、3m-48 =0,解得 m m = = 3 3 或 m m = = - -16 3，21隊(duì)+m停2+m+ 43

20、X + mI3人3丿I3丿即1 - Xi.1X2-0,逅m週口-人13丿3所以1 -I 312132.m- m2-3m =0，m m 二 3 3 時(shí)，直線(xiàn)MN過(guò)點(diǎn) B B，不能構(gòu)成三角形，舍去;當(dāng)m空時(shí)，滿(mǎn)足-仝913V39:m： 一X2, y2 -3，Bx-3第3030頁(yè)共 2525 頁(yè)第3131頁(yè)共 2525 頁(yè)所以存在直線(xiàn)I，使得F是.BMN的垂心，I的方程為y=二3x_1633【點(diǎn)睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等的一元二次方程，再把題設(shè)中的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系 式，該關(guān)系中含有XiX2,Xi- X2或門(mén)2,小y，最后利用韋

21、達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程，從而可得欲求的幾何量的值2121 .已知函數(shù)fax b,g x;=ax2bx. .x 2（1 1）當(dāng)a=2,b = -3時(shí)，求函數(shù)f x在X二e處的切線(xiàn)方程;mt = In t -2, ；,t三1：0,1可證該不等式成立 【詳解】則f e = -1，切點(diǎn)為! e：21. .直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系中的幾何量的計(jì)算問(wèn)題,般可通過(guò)聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于x或y（2 2）若函數(shù)y二f x的兩個(gè)零點(diǎn)分別為 X X1,X,X2，且X1- X2，求證：gX1X2112【答案】 （1 1）【解析】 （1 1）1Xy 3=0；（2 2）證明見(jiàn)解析. .e求出函數(shù)在x=e處的

22、導(dǎo)數(shù)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)后可得切線(xiàn)的方程+X?加殂(2)利用f X!= f X2= 0可得X2-a2 X1- X2X2(% +x2)ln生此只需證明_X212 x -X2X2互+1 In*X2XLx2丄一1即可，令t二-1X2，構(gòu)建新函數(shù)(1)當(dāng)a =2,b二-3時(shí),f x匹-x 3 x 0,x1. .第3232頁(yè)共 2525 頁(yè)1故函數(shù)f X在x=e處的切線(xiàn)方程為X y 3 = 0. .e(2(2)證明：/ x xi,x,x2是f x的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)In為；ax2-bx；=0,In x2-；ax：bx2=0,22相減得：In Xi- In X2 -a 1 x；-x；- biX - x? 0(%

23、+x2ln 整理得到x2i2aX；x27b為x2= 0X；t 卩nt2(t 1 i令t-，即證0：t：1,1也就是Intx22(t1)t+i22ft -n14(t t )令m t =1 nt,t三i0,1,m t220,t+1丿t(t+1) t(t+1)在0，；上是增函數(shù)，又m 1 i；= o, tD0,1,m t：0,命題得證. .【點(diǎn)睛】X Xi： ：X2,fX；i；=fX2 =o，即In x；XiIn x2X2.X；In -X2X；-x2In -故X2-la % X240，X；X2X；-x2X；X；X2In 則x2-a2 x -X2X2X；X2In互X2gg2X；- X2X2X1 X21

24、12XiX2X22人-X2XiX2t 1 IntXiX2即g2第3333頁(yè)共 2525 頁(yè)解決曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題，核心是切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)楹瘮?shù)在橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)就是切線(xiàn)的斜率 與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的不等式的證明，可利用零點(diǎn)滿(mǎn)足的等式將要求證的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論新函數(shù)的性質(zhì)可證明新轉(zhuǎn)化的不等式是成立的. .2222在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x -、3)2* (y -1)2二r2(r 0)，以坐第3434頁(yè)共 2525 頁(yè)標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)I的極坐標(biāo)方程為Esin1，若直線(xiàn)I與曲線(xiàn)C相切。I 3丿（I）求實(shí)數(shù)r的值；（n）在圓C上取兩點(diǎn)M,N，使得/ MON，點(diǎn)M,N與直角坐標(biāo)原點(diǎn)O構(gòu)6成.OMN，求.OMN面積的最大值.【答案】（I ）2 2； （H）2.3【解析】（I）將極坐標(biāo)方程化為普通方程，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑得到答案（n）將圓方程化為極坐標(biāo)方程，Mi片戶(hù),N i“2門(mén)；I 6丿【詳解】由 5 r=1得注-3込一2，化為直角坐標(biāo)方程為y = 3x 2,又圓C是圓心為.3,1，半徑為r的圓，直線(xiàn)I與曲線(xiàn)C相切， 可得：r J-122.2（n（n）由（I）圓 C C 的極