彈性力學(xué)作業(yè)答案-第二章

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第二章 平面問(wèn)題的基本理論2-5在下圖的微分體中，若將對(duì)形心的力矩平衡條件Mc=0，改為對(duì)角點(diǎn)的力矩平衡條件，試問(wèn)將導(dǎo)出什么形式的方程？解：將對(duì)形心的力矩平衡條件Mc=0，改為對(duì)角點(diǎn)的力矩平衡條件MD=0，列出力矩的平衡方程MD=0： xdy×1×dy2+yxdx×1×dy+y+yydydxdx2= xydydx+ydxdx2+x+xxdxdydy2 。 x2dy2+yxdxdy+y2dx2+y2ydydx2= xydxdy+y2dx2+x2dy2+x2xdxdy2 。將上式除以dxdy，合并相同的項(xiàng)，得到 yx+y2ydx=x

2、y+x2xdy 。省略去微小量不記（即y2ydx，x2xdy為0），得出 yx=xy可以看出此關(guān)系式和對(duì)形心的力矩平衡條件Mc=0解出的結(jié)果一樣。2-6在下圖的微分體中，若考慮每一面上的應(yīng)力分量不是均勻分布的，試問(wèn)將導(dǎo)出什么形式的平衡微分方程。解：每個(gè)面上的應(yīng)力分量不是均勻分布的，假設(shè)應(yīng)力分量沿線性分布，如上圖所示，為了計(jì)算方便，單元體在Z方向的長(zhǎng)度取一個(gè)單位。各點(diǎn)的正應(yīng)力為：xA=xxB=x+xydyxD=x+xxdxxC=x+xxdx+xydyyA=yyB=y+yydyyD=y+yxdxyC=y+yxdx+yydy各點(diǎn)的切應(yīng)力為：xyA=xy，xyB=xy+xyydy，xyD=xy+xyx

3、dx，xyC=xy+xyxdx+xyydy，yxA=yx，yxB=yx+yxydy，yxD=yx+yxxdx，yxC=yx+yxxdx+yxydy，由微分單元體的平衡條件Fx=0，F(xiàn)x=0得-12xA+xBdy+12xD+xCdy-12yxA+yxDdx+12yxB+yxcdx+fxdxdy=0，-12yA+yDdy+12yB+yCdy-12xyA+xyBdx+12xyD+xycdx+fydxdy=0。將各個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力分量帶入上式，化簡(jiǎn)，并約去dxdy，就得到平面問(wèn)題中的平衡微分方程xx+yxy+fx=0，yy+xyx+fy=0。2-8試列出圖2-13，圖2-14所示問(wèn)題的全部邊界條件。在其端部

4、邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件。 圖2-13 圖2-14解：對(duì)于圖2-13中，在主要邊界x=0，x=b上，應(yīng)滿足下列的邊界條件： xx=0=-gy， xyx=0=0; xx=b=-gy， xyx=b=0。在次要邊界y=0上，能滿足下列邊界條件： yy=0=-gh1， yxy=0=0。 在次要邊界y=h2上，有位移邊界條件：uy=h2=0，vy=h2=0。這兩個(gè)邊界位移條件用圣維南原理的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替，設(shè)板厚為1個(gè)單位， 0byy=h2dx=-gh1+h2b， 0byy=h2xdx=0， 0byxy=h2dx=0。 對(duì)于圖2-15中，在主要邊界y=±h/2

5、上，應(yīng)滿足下列邊界條件： yy=h/2=0， yxy=h/2=-q1; yy=-h/2=-q， yxy=-h/2=0。在次要邊界上x(chóng)=0，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件： -h/2h/2xx=0dy=- FN ， -h/2h/2xx=0ydy=- M ， -h/2h/2xyx=0dy=- FS 。 在次要邊界x=l上，有位移邊界條件：ux=l=0，vx=l=0。這兩個(gè)位移邊界條件可以改用三個(gè)積分邊界條件來(lái)代替。2-13檢驗(yàn)下列應(yīng)力分量是否是圖示問(wèn)題的解答： 圖2-16 圖2-17解：按應(yīng)力求解時(shí)，在單元體中應(yīng)力分量必須滿足：平衡微分方程、相容方程、應(yīng)力邊界條件（本題不計(jì)體力）。（a） 圖2-16，

6、x=y2b2q，y=xy=0。相容條件：將應(yīng)力分量代入相容方程得： 2x2+2y2x+y=2qb20，不滿足相容方程。平衡條件：將應(yīng)力分量代入平衡微分方程 xx+yxy+fx=0，yy+xyx+fy=0。滿足上式。應(yīng)力邊界條件：在x=±邊界上， x=y2b2q， xy=0 。 在y=±b邊界上， y=0， yx=0 。滿足邊界條件。（b）圖2-17，由材料力學(xué)公式，y=MIy，xy=FsSbI（取梁的厚度b=1），得出所示問(wèn)題的解答： x=-2qx3ylh3， xy=-3q4x2lh3h2-4y2。又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出： y=3q4xylh-2qx3ylh3-q

7、2xl 。試試推導(dǎo)上述公式，并檢驗(yàn)解答的正確性。推導(dǎo)公式：在分布力的作用下，梁發(fā)生彎曲變形，其對(duì)Z軸的慣性矩為Iz=h312，應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程分別為Mx=-q6lx3，F(xiàn)sx=-qx22l。所以截面內(nèi)任意點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為 x=MxyIz=-2qx3ylh3， xy=3Fsx2bh1-4y2h2=-3q4x2lh3h2-4y2。根據(jù)平衡微分方程得第二式y(tǒng)y+xyx+fy=0得到 y=3q4xylh-2qx3ylh3+A。根據(jù)邊界條件yy=h/2=0，得 A=-q2xl ，所以 y=3q4xylh-2qx3ylh3-q2xl 。相容條件：將應(yīng)力分量代入相容方程

8、2x2+2y2x+y=-24qxylh30，不滿足相容方程。平衡條件：將應(yīng)力分量代入平衡條件滿足。應(yīng)力邊界條件：在主要邊界y=±h/2上，應(yīng)滿足下列邊界條件： yy=-h/2=-qxl， yxy=-h/2=0; yy=h/2=0， yxy=h/2=0。顯然滿足。在次要邊界上x(chóng)=0，外力的主矢量、主矩為0，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件： -h/2h/2xx=0dy=0 ， -h/2h/2xx=0ydy=0 ， -h/2h/2xyx=0dy=0 。 在次要邊界x=l上，有位移邊界條件：ux=l=0，vx=l=0。這兩個(gè)位移邊界條件可以改用三個(gè)積分邊界條件來(lái)代替。 -h/2h/2xx=ldy

9、=-h/2h/2-2qx3ylh3dy=0 ， -h/2h/2xx=lydy=-h/2h/2-2qx3ylh3ydy=-ql26 ， -h/2h/2xyx=ldy=-h/2h/2-3q4x2lh3h2-4y2dy=-ql2 。 所以，滿足應(yīng)力邊界條件。上面兩題的應(yīng)力分量雖然滿足應(yīng)力邊界、條件平衡條件，但都不滿足相容方程，所以兩題的解答都不是問(wèn)題的解。2-18試試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢(shì)的力，即體力分量可以表示為 fx=-Vx， fy=-Vy，其中V是勢(shì)函數(shù)，則應(yīng)力分量可表示為 x=2y2+V，y=2x2+V，xy=-2xy。試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。解：（1）將fx，fy代入平衡微分方得 xx-V+yxy=0，yy-V+xyx=0。 （a）為了滿足式（a），可以取 x-V=2y2，y-V=2x2 ， xy=-2xy。即 x=2y2+V，y=2x2+V，xy=-2xy。 （2）對(duì)體力、應(yīng)力分量fx，fy，x，y求偏導(dǎo)數(shù)，得fxx=-2Vx2，fxx=-2Vy2 ，2xx2=4x2y2+2Vx2， （b）2xy2=4y4+2Vy2， 2yx2=4x4+2Vx2， 2yy2=4x2y2+2Vy2。 將式（b）代入2x2+2y2x+y=-