隨機變量與其分布

1、隨機變量與其分布 在在 1100 這這 100 個數(shù)中任取一個個數(shù)中任取一個, 用用X表示取得的數(shù)值表示取得的數(shù)值, 則則 X 是一隨機變量是一隨機變量, 試用試用X 表示下列事件表示下列事件 ：（1）取得的數(shù)為偶數(shù)）取得的數(shù)為偶數(shù) （ ）（2）取得的數(shù)為奇數(shù)）取得的數(shù)為奇數(shù) （ ）（3）取得的數(shù)為兩位數(shù)）取得的數(shù)為兩位數(shù) （ ）解答返回 已知隨機變量已知隨機變量X的所有可能取值的所有可能取值是是0, 1, 2, 3, 取這些值的概率依次為取這些值的概率依次為0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 試寫出試寫出X的分布函數(shù)的分布函數(shù). 2.3 含含10個次品的某批產(chǎn)品共個次品的某批產(chǎn)品共100

2、個個, 求任意取出的求任意取出的5個產(chǎn)品中次品數(shù)的概率分個產(chǎn)品中次品數(shù)的概率分布布.解答返回解答設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為0 ,0s in,01()0 .9 ,121 ,2xxxFxxx 解答返回 1 ,1 ,2 ,11 .P XP XPXPX 求求 在下列函數(shù)中在下列函數(shù)中, 哪些函數(shù)是隨機變哪些函數(shù)是隨機變量的分布函數(shù)量的分布函數(shù)(在括號內(nèi)填上在括號內(nèi)填上“是是”或或“否否”, 并簡要說明理由并簡要說明理由) ?e,0(1)( )()0,011(2)( )arctan()21sgn( )(3)( )()2xxF xxF xxxF x 解答返回 一匹零件中有一匹零件中有9

3、個正品和個正品和3個次品個次品. 安裝機器時從這批零件中任取安裝機器時從這批零件中任取1個使用個使用. 如如果取出的次品不再放回去果取出的次品不再放回去 , 求在取出正品求在取出正品前已取出的次品數(shù)前已取出的次品數(shù)X的分布律的分布律. 對某一目標進行射擊對某一目標進行射擊, 直至擊中時為止直至擊中時為止. 如果每次射擊的命中率為如果每次射擊的命中率為 p, 求射擊次數(shù)求射擊次數(shù)的概率分布的概率分布. 解答返回解答 進行進行8次獨立射擊次獨立射擊, 設(shè)每次擊中目標設(shè)每次擊中目標的概率為的概率為 0.3, 問擊中幾次的可能性最大問擊中幾次的可能性最大? 并并求相應(yīng)的概率求相應(yīng)的概率.解答返回解答

4、已知一本書中一頁的印刷錯誤的個數(shù)已知一本書中一頁的印刷錯誤的個數(shù)X服從泊松分布服從泊松分布 P(0.2) , 試計算試計算X的概率分布的概率分布(近似到小數(shù)點后近似到小數(shù)點后4位位) , 并求一頁上印刷錯誤并求一頁上印刷錯誤不多于不多于1個的概率個的概率. 站為站為300個用戶服務(wù)個用戶服務(wù). 設(shè)在設(shè)在1小時小時內(nèi)每一用戶使用內(nèi)每一用戶使用 的概率為的概率為 0.01 , 求在求在1小時小時內(nèi)有內(nèi)有4個用戶使用個用戶使用 的概率的概率 ( 先用二項分布計先用二項分布計算算, 再用泊松分布近似計算再用泊松分布近似計算, 并求兩次計算的并求兩次計算的相對誤差相對誤差) .解答返回解答 設(shè)公共汽車站

5、每隔設(shè)公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通分鐘有一輛汽車通過過, 乘客在任一時刻到達汽車站都是等可能的乘客在任一時刻到達汽車站都是等可能的. 求乘客的候車時間不超過求乘客的候車時間不超過 3 分鐘的概率分鐘的概率. ( (柯西分布柯西分布) )設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分的分布函數(shù)為布函數(shù)為 F(x)=A+Barctanx , - - x +求求: (1) 系數(shù)系數(shù) A, B ; (2) X 落在區(qū)間落在區(qū)間(-(-1 , 1) )內(nèi)的概率內(nèi)的概率; (3) X 的分布密度的分布密度 f (x) .解答返回 2.14 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布 , 證證明明:

6、 對任意非負實數(shù)對任意非負實數(shù) s及及t , 有有 ( (拉普拉斯分布拉普拉斯分布) )設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布密度為的分布密度為 f (x)=Ae x , - - x +求求: (1) 系數(shù)系數(shù) A ; (2) X 的分布函數(shù)的分布函數(shù) F (x) .( )e 解答返回解答 P Xst XsP Xt 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(1,4), 試利用正態(tài)分布函數(shù)的關(guān)系計算下列事件的概試利用正態(tài)分布函數(shù)的關(guān)系計算下列事件的概率率: (1)2.2 ; (2)11 ; (3)4.56P XP XP X 2.16 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為,

7、 的正態(tài)的正態(tài)分布分布N(, 2), 求求 X 落在區(qū)間落在區(qū)間( -k, +k )內(nèi)的內(nèi)的概率概率( k=1, 2, 3,) .解答返回解答（1）取得的數(shù)為偶數(shù)）取得的數(shù)為偶數(shù) （ ）（2）取得的數(shù)為奇數(shù)）取得的數(shù)為奇數(shù) （ ）（3）取得的數(shù)為兩位數(shù)）取得的數(shù)為兩位數(shù) （ ） 在在1100這這100個數(shù)中任取一個個數(shù)中任取一個, 用用 X表示取得的數(shù)值表示取得的數(shù)值, 則則 X 是一隨機變量是一隨機變量, 試用試用X 表示下列事件表示下列事件 ： 211, 2, 50Xkk 21, 2, 50Xk k 10,11, 99Xk k 已知隨機變量已知隨機變量X的所有可能取值的所有可能取值是是0,

8、 1, 2, 3, 取這些值的概率依次為取這些值的概率依次為0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 試寫出試寫出X的分布函數(shù)的分布函數(shù).解解 由分布函數(shù)的定義可得由分布函數(shù)的定義可得 ()0 ,00.1 ,010.3 ,120.6 ,231 ,3kxF xPXxPXkxxxxx 設(shè)取出的設(shè)取出的5個產(chǎn)品中次品數(shù)為個產(chǎn)品中次品數(shù)為X, 則則X服從超幾何分布服從超幾何分布, 它的所有可能取值是它的所有可能取值是 0, 1, 2, 3, 4, 5. 所求分布律為所求分布律為 含含10個次品的某批產(chǎn)品共個次品的某批產(chǎn)品共100個個, 求求任意取出的任意取出的5個產(chǎn)品中次品數(shù)的概率分布個產(chǎn)品中次品數(shù)的概

9、率分布.5-10905100C C,0,1,2,3,4,5CiiP Xii 解解即即0123450.5838 0.3394 0.0702 0.0064 0.0002 0.0000X 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為0 ,0sin,01()0 .9 ,121 ,2xxxFxxx 1 ,1 ,2 ,11 .P XP XP XP X 求求解解 1(1)0.91(1)(10)0.9sin1P XFP XFF 222(2 0)( 2)0.9 00.911012(0) 1(2 0)0 1 0.90.1P XP XP XFFP XP XP XFF e,0(1)( )()0,011(2)( )a

10、rctan()21sgn( )(3)( )()2xxF xxF xxxF x 在下列函數(shù)中在下列函數(shù)中, 哪些函數(shù)是隨機變哪些函數(shù)是隨機變量的分布函數(shù)量的分布函數(shù)(在括號內(nèi)填上在括號內(nèi)填上“是是”或或“否否”, 并簡要說明理由并簡要說明理由) ?;0( )xF x 否否時時遞遞減減;( )F xx 否否在在0 0點點非非右右連連續(xù)續(xù);( )F x是滿足3個性質(zhì)是滿足3個性質(zhì) 因取出的次品不再放回因取出的次品不再放回, 所以所以X的所有可能的所有可能取值是取值是0, 1, 2, 3. 設(shè)設(shè) Ai 為為 “第第i次取出的是合格次取出的是合格品品”, i=1, 2, 3, 4, 則則 一匹零件中有一

11、匹零件中有9個正品和個正品和3個次品個次品. 安裝安裝機器時從這批零件中任取機器時從這批零件中任取1個使用個使用. 如果取出的次如果取出的次品不再放回去品不再放回去 , 求在取出正品前已取出的次品數(shù)求在取出正品前已取出的次品數(shù)X的分布律的分布律.解解 1930()124P XP A 1212312343991()12114432992()121110220321913()1211109220P XP A AP XP A A AP XP A A A A 于是于是01233991444220220X 用用 Ai 表示表示 “第第i次擊中次擊中” , 則則 P(Ai) = p , i= 1, 2,

12、, 且因各次射擊擊中與否是相互且因各次射擊擊中與否是相互獨立的獨立的, 所以所以 A1 , A2 , 相互獨立相互獨立. 對某一目標進行射擊對某一目標進行射擊, 直至擊中時為直至擊中時為止止. 如果每次射擊的命中率為如果每次射擊的命中率為 p, 求射擊次數(shù)的求射擊次數(shù)的概率分布概率分布. 解解 設(shè)設(shè) X 為射擊次數(shù)為射擊次數(shù), 則其可能的取值則其可能的取值 1, 2, 且事件且事件 X=k 表示表示 “前前 k-1 次未擊中次未擊中, 第第k次次擊中擊中”.所以所以11111()()() ()(1),1,2,kkkkkP XkP AAAP AP AP Appk 即即X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p的幾

13、何分布的幾何分布.11kkXkAAA 即即 設(shè)擊中目標的次數(shù)為設(shè)擊中目標的次數(shù)為X, 則則X 服從二項分服從二項分布布B(8, 0.3), 其分布律為其分布律為 進行進行8次獨立射擊次獨立射擊, 設(shè)每次擊中目標的概設(shè)每次擊中目標的概率為率為 0.3, 問擊中幾次的可能性最大問擊中幾次的可能性最大? 并求相應(yīng)的并求相應(yīng)的概率概率. 88C 0.3 0.7,0,1, 2, 8kkkP Xkk 解解 8811818C 0.3 0.72.711C0.3 0.70.72 ,1;2 ,111kkkkkkP XkkP XkkP XkP XkkkP XkP Xk 因因所所以以當當時時當當時時故故 k=2時時P

14、X=k取得最大值取得最大值, 相應(yīng)的概率相應(yīng)的概率為為228C 0.3 0.76 (0.2965) 已知一本書中一頁的印刷錯誤的個數(shù)已知一本書中一頁的印刷錯誤的個數(shù)X服從泊松分布服從泊松分布 P(0.2) , 試計算試計算X的概率分布的概率分布 (近近似到小數(shù)點后似到小數(shù)點后4位位) , 并求一頁上印刷錯誤不多于并求一頁上印刷錯誤不多于1個的概率個的概率. 0.20.2e,0,1, 2,kP Xkkk ！解解 因參數(shù)為因參數(shù)為0.2, 所以分布律為所以分布律為0123440.8187 0.1638 0.0164 0.0011 0.00010kX 即即故故 一頁上印刷錯誤不多于一頁上印刷錯誤不多

15、于1個的概率為個的概率為101 0.9825P XP XP X 設(shè)設(shè)X為為1小時內(nèi)使用小時內(nèi)使用 的戶數(shù)的戶數(shù). 因各用戶因各用戶使用使用 與否相互獨立與否相互獨立, 所以所以XB(300, 0.01) 站為站為300個用戶服務(wù)個用戶服務(wù). 設(shè)在設(shè)在1小時小時內(nèi)每一用戶使用內(nèi)每一用戶使用 的概率為的概率為 0.01 , 求在求在1小時小時內(nèi)有內(nèi)有4個用戶使用個用戶使用 的概率的概率 ( 先用二項分布計先用二項分布計算算, 再用泊松分布近似計算再用泊松分布近似計算, 并求兩次計算的并求兩次計算的相對誤差相對誤差) .442963004C0.01 0.990.1689P X 從從而而4334e0.

16、1680(3)4P X 泊泊松松分分布布近近似似！解解 0.1689 0.16800.530.1689兩兩次次計計算算的的相相對對誤誤差差為為： 由題意知乘客的候車時間由題意知乘客的候車時間X在區(qū)間在區(qū)間0,5上服從均勻分布上服從均勻分布, 設(shè)公共汽車站每隔設(shè)公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車分鐘有一輛汽車通過通過, 乘客在任一時刻到達汽車站都是等可能乘客在任一時刻到達汽車站都是等可能的的. 求乘客的候車時間不超過求乘客的候車時間不超過 3 分鐘的概率分鐘的概率. 0.2,0,5( )0,xf x 其其他他解解 于是于是, 乘客的候車時間不超過乘客的候車時間不超過 3 分鐘的概率分鐘的概率30

17、030.2d0.6PXx 故其分布密度為故其分布密度為 ( (柯西分布柯西分布) )設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布的分布函數(shù)為函數(shù)為 F(x)=A+Barctanx , - - x +求求: (1) 系數(shù)系數(shù) A, B ; (2) X 落在區(qū)間落在區(qū)間(-(-1 , 1) )內(nèi)的概率內(nèi)的概率; (3) X 的分布密度的分布密度 f (x) .11(1)()0,()1,2FFAB 由由可可得得解解 11( )arctan2F xx從而從而1(2) 11(1)( 1)2PXFF 21(3)( )( )(1)Xf xF xx 的的分分布布密密度度 ( (拉普拉斯分布拉普拉斯分布) )設(shè)連續(xù)

18、型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布密度為的分布密度為: f (x)=Ae x , - - x +求求: (1) 系數(shù)系數(shù) A ; (2) X 的分布函數(shù)的分布函數(shù) F (x) .0(1)1( )d2e d2xf xxAxA 由由11,( )e22xAf x 得從而得從而001e d ,012( )ed21e de d,021e ,0211e ,02xxxxxxxxxxxF xxxxxxx 解解 (2) X的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為 因為因為X 服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布 , 所以其分布所以其分布函數(shù)為函數(shù)為 ( )e 1e,0( )0,0 xxF xx ,1( )exx P XxF x 故故對對任任意意非非負負實實數(shù)數(shù) 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布 , 證明證明: 對任意非負實數(shù)對任意非負實數(shù) s及及t , 有有 ( )e P Xst XsP Xt證證 于是于是()eee s ttsP Xs tP XsP Xs t XsP XsP Xs tP XtP Xs 設(shè)設(shè) X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x), 標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布N(0,1) 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 , 則則 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N(1,4) , 試利用正態(tài)分布函數(shù)的