利用零點(diǎn)分段法解含多絕對(duì)值不等式

1、無(wú)利用零點(diǎn)分段法解含多絕對(duì)值不等式利用零點(diǎn)分段法解含多絕對(duì)值不等式對(duì)于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值不等式的求解問(wèn)題， 不少同學(xué)感到無(wú)從下手， 下面介紹一種通法零點(diǎn)分段討論法一、步驟一、步驟通常分三步：找到使多個(gè)絕對(duì)值等于零的點(diǎn)分區(qū)間討論， 去掉絕對(duì)值而解不等式 一般地 n 個(gè)零點(diǎn)把數(shù)軸分為 n1 段進(jìn)行討論將分段求得解集，再求它們的并集二、例題選講二、例題選講例例 1 求不等式|x2|x1|3 的解集分析分析：據(jù)絕對(duì)值為零時(shí) x 的取值把實(shí)數(shù)分成三個(gè)區(qū)間，再分別討論而去掉絕對(duì)值從而轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式解：解： |x2|2 (2)2 (2)xxxx ，|x1|1 (1)1 (1)xxxx故可把全

2、體實(shí)數(shù) x 分為三個(gè)部分：x2，2x1，x1所以原不等式等價(jià)于下面三個(gè)不等式組：()2213xxx ，或()1213xxx ，或()21213xxx 不等式組()的解集是x|x2，不等式組()的解集是，不等式組()的解集是x|x1綜上可知原不等式的解集是x|x2 或 x1例例 2 解不等式|x1|2x|3x解：解：由于實(shí)數(shù) 1，2 將數(shù)軸分成(，1，(1，2，(2，)三部分，故分三個(gè)區(qū)間來(lái)討論 當(dāng) x1 時(shí)， 原不等式可化為(x1)(x2)x3， 即 x0 故不等式的解集是x|x0 當(dāng) 1x2 時(shí)，原不等式可化為(x1)(x2)x3，即 x2故不等式的解集是無(wú) 當(dāng) x2 時(shí)，原不等式可化為(x

3、1)(x2)x3，即 x6故不等式的解集是x|x6綜上可知，原不等式的解集是x|x0 或 x6例例 3 已知關(guān)于 x 的不等式|x5|x3|a 的解集是非空集合，求 a 的取值范圍解：解： x5 時(shí)，|x5|0；x3 時(shí)，|x3|0當(dāng) x3 時(shí)，原不等式可化為x5x3a，即 a82x，由 x3，所以2x6，故 a2當(dāng) 3x5 時(shí)，原不等式可化為x5x3a，即 a2當(dāng) x5 時(shí)，原不等式可化為 x5x3a，即 a2x81082，故 a2綜上知 a2無(wú)理不等式與絕對(duì)值不等式無(wú)理不等式與絕對(duì)值不等式考試目標(biāo)考試目標(biāo)主詞填空主詞填空1.含有絕對(duì)值的不等式|f(x)|0),去掉絕對(duì)值后，保留其等價(jià)性的不

4、等式是af(x)a(a0),去掉絕對(duì)值后，保留其等價(jià)性的不等式是 f(x)a 或 f(x)|g(x)|f2(x)g2(x).2.無(wú)理不等式對(duì)于無(wú)理不等式的求解， 通常是轉(zhuǎn)化為有理不等式(或有理不等式組)求解.其基本類型有兩類:0)(0)()()(0)()()(2xfxgxgxfxgxgxf或2)()(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf.3.含有多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式，通常是“分段討論” ，去掉絕對(duì)值符號(hào).4.某些無(wú)理不等式和絕對(duì)值不等式，可用“換元法”或圖像法求解.5.三角不等式|a|b|ab|a|+|b|,此不等式可推廣如下：|a1+a2+a3+an|a1|+|a2|+|a3|+|

5、an|當(dāng)且僅當(dāng) a1,a2,a3,an符號(hào)相同時(shí)取等號(hào).題型示例題型示例點(diǎn)津歸納點(diǎn)津歸納無(wú)【例【例 1】解無(wú)理不等式.(1)1x2;(2)1x2x4;(3)1x0,故原不等式可化為不等式組:4101xx.(2)因右邊 2x 符號(hào)不定，故須分兩種情況討論,(3)與(2)類似，也須討論.【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)化原不等式為:5514101xxxxx.(2)化原不等式為:04201)42() 1(042012xxxxxx或817171218171722101717422xxxxxxxx或或.(3)化原不等式為兩個(gè)不等式組:0034211) 12(10120122xxxxxxxxx.【解后歸納【

6、解后歸納】將無(wú)理不等式轉(zhuǎn)化為有理不等式組，基本思路是分類討論，要注意解集的交、并運(yùn)算.對(duì)于那些復(fù)雜的無(wú)理不等式，一般情況下讀者不要去研究它，避免消耗太多精力.【例【例 2】解下列含有絕對(duì)值的不等式：(1)|x24|x+2;(2)|x+1|2x1|;(3)|x1|+|2x+1|2x1|2(2x1)2(x+1)20.無(wú)(2x1+x+1)(2x1x1)03x(x2)00 x2.(3)令 x1=0 得 x=1,令 2x+1=0 得 x=21.當(dāng) x21,時(shí),原不等式可化為:(x1)(2x+1)421344321xxx.當(dāng) x1 ,21時(shí),原不等式可化為:(x1)+(2x+1)4.由212121xxx1

7、.當(dāng) x(1,+)時(shí),原不等式可化為:(x1)+(2x+1)4,故由341431xxx.綜上所述知:34,3434, 11 ,2121,34為原不等式解集.【解后歸納【解后歸納】 解含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值的不等式， 一般方法是分段討論得出原不等式解集的子集，最后取并集，如何分段?分幾段?這只須算出“分點(diǎn)”即可，即“絕對(duì)值”為 0 時(shí)的變量取值，n 個(gè)不同的分點(diǎn)，將數(shù)軸分割成了(n+1)段.【例【例 3】若不等式23 axx的解集是(4,m),求 a,m 的值.【解前點(diǎn)津】【解前點(diǎn)津】在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù) y=x(x0)及 y=ax+23(x0)的圖像.若y=x的圖像位于 y=ax+23

8、圖像的上方，則與之對(duì)應(yīng)的 x 的取值范圍就是不等式的解.【規(guī)范解答【規(guī)范解答】設(shè) y1=x,它的圖像是半條拋物線;y2=ax+23(x0),它的圖像是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,23),斜率為 a 的一條射線.無(wú)不等式23 axx的解即當(dāng) y1=x的圖像在 y2=ax+23(x0)的圖像上方時(shí)相應(yīng)的 x 的取值范圍， 因?yàn)椴坏仁浇饧癁?4,m),故方程23 axx有一個(gè)解為4,將x=4代入23 axx得:812344aa.再求方程2381xx的另一個(gè)解，得:x=36,即 m=36.【解后歸納【解后歸納】用圖像法解不等式，須在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，且圖像必須在“公共定義域內(nèi)” ，要確定那一部分的圖像對(duì)

9、應(yīng)于不等式的解集.【例【例 4】解不等式|log2x|+|log2(2x)|1.【解前點(diǎn)津】【解前點(diǎn)津】從 x 的可取值范圍入手，易知 0 x0 且 2x0 故 0 x0,log2(2x)0,化簡(jiǎn)另一個(gè)不等式.3.D由 03x10 x313x0 且 4x2(x+1)2271x2.5.B分別畫出:y=22xa,與 y=2x+a 的圖像，看圖作答.6.B|xa|,|ya|xy|=|(xa)(ya)|xa|+|ya|+=2,當(dāng)|xy|2時(shí),不能推出|xa|且|ya|.7.A若 0abc,且 lgalgb|lgc|lgb|0,ac1(a+c)=ac+1ac=(c1)(a1)0,ac+10,當(dāng) log2

10、x0 時(shí),不等式成立,此時(shí) 0 x1;當(dāng) log2x0 時(shí),|2x+log2x|=2x+|log2x|.9.Bxxx|42,當(dāng) 0 x2 時(shí),不等式成立,另由0314020140222xxxxx.10.由(|x|1)(|x|3)01|x|3x(3,1)(1,3).11.由 x0 知,xx20,(x2)(x+1)00 x20 x4.12.考察 y=21x,y=x+a 的圖像,即直線 y=x+a 在半圓 x2+y2=1(y0)上方a(2,+).13.(1)化原不等式為:0303)3(303xxxxx或13x1.(2)化原不等式為:0232222121) 1(021012222xxxxxxxx22, 032,22:原不等式解集為.14.原不等式等價(jià)于:1325523132523xxxxxx或或13255xxx,解之:x7 或315,故原不等式解集為:(,7)(31,+).15.由 a(ax)0 xa.無(wú)(1)當(dāng)