一節(jié)定積分的概念

1、1第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念定積分的概念一、引入定積分概念的實例一、引入定積分概念的實例二、定積分二、定積分的概念的概念三三、定積分、定積分的存在定理的存在定理四、定積分的基本性質(zhì)四、定積分的基本性質(zhì)2一、引入定積分概念的實例引例1 曲邊梯形的面積曲邊梯形 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b(ab)上非負且連續(xù),由曲線y=f(x),直線x=a,x=b及x軸圍成的圖形稱為曲邊梯形,其中曲線弧y=f(x)稱為曲邊,線段ab稱為底邊.3問題 求由x=a, x=b, y=0與y=f(x) 所圍成的曲邊梯形的面積.4求曲邊梯形的面積A的具體做法：(1)分割 在(a,b)內(nèi)插入n1個分點bxxxxxann1210

2、過每個分點xi(i=1,2,n)作y軸的平行線，將曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形.記每一個小區(qū)間 的長度為)21( 1nixxxiii，,1iixx , , . , ,112110nniixxxxxxxx， 把區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間5(2)近似、求和. 在每一個小區(qū)間xi-1, xi上任取一點i,以xi為底邊,以f(i)為高作小矩形,其面積為f(i) xi.以此作相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值,即( ) (1,2,),iiiAfxinn個小矩形面積的和即為整個曲邊梯形的近似值11( ).nniiiiiAAfx6 我們同樣可以用這種“分割，近似、求和，取極限”的方法解決變力作功的問題.(3)取極限

3、記所有小區(qū)間長度的最大值為1maxii nx 01lim( ).niiiAfx當(dāng)0時和式 (n個小矩形面積之和)的極限存在,則定義極限值為曲邊梯形面積,即 1( )niiifx7引例2 變力做功 設(shè)一物體作直線運動,受到與運動方向平行的力的作用,當(dāng)力F是恒力時,物體位移為s,力F所做的功就是w=Fs. 但實際問題中,物體在運動中受力常常不是恒力,此時不能直接用上述公式計算變力所做的功.如果已知F(s)是位移s的連續(xù)函數(shù),物體位移區(qū)間為a,b(即位移s從a變到b).則所求功顯然取決于位移區(qū)間及定義在這個區(qū)間上的函數(shù)F(s).如果把位移區(qū)間分成許多小區(qū)間，總功應(yīng)等于對應(yīng)于各小區(qū)間上變力所做功之總和

4、.8計算步驟(1)分割)., 2 , 1( : :, , , :,11210112110nisssbssssssassssssssnbaiiinninnii小區(qū)間的長分別為分點為分別為個小區(qū)間分成將閉區(qū)間9. )(lim , )(0 )max( (3)101niiiniiiisFW=basFs即上，對質(zhì)點所做的功，在區(qū)間的極限值定義為變力時，和式則最大值記為把所有小區(qū)間長度中的取極限 以上兩問題雖然不同，但解決問題的方法卻相同，即歸結(jié)為求同一結(jié)構(gòu)的總和的極限.由此引入定積分的概念.10在每個小區(qū)間 任取一點 作和式二、定積分的概念011211 , ,iinnx xx xxxxx定義5.1 設(shè)函

5、數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上有界,在(a,b)內(nèi)插入n1個分點),(1iiiixx1,iixx1( )niiifx各小區(qū)間的長度為0121 nnaxxxxxb把區(qū)間a,b分為n個小區(qū)間1 (1,2, )iiixxxin11，記作上的在區(qū)間數(shù)相等，則稱此極限為函述和式的極限都存在且時，上任意取法，只要當(dāng)上點和小區(qū)間任一分法，如果對區(qū)間記 ,)( 0,.,max12baxfxxbaxxxiiini定積分(簡稱積分),)(limd)(10niiibaxfxxf其中f(x)叫做被積函數(shù)，f(x)dx叫做被積表達式，x叫做積分變量，a叫做積分下限，b叫做積分上限，a,b叫做積分區(qū)間.12 根據(jù)定積分的定義，

6、前面所討論的兩個引例就可以用定積分概念來描述： 曲線 、x軸及兩條直線x=a,x=b所圍成的曲邊梯形面積A等于函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分，即)0)()(xfxf.d )(xxfAba 物體在變力F(s)作用下作直線運動，由起始位置a移動到b，變力對物體所做之功等于函數(shù)F(s)在a,b上的定積分，即bassFWd)(13 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分存在，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積.14 關(guān)于定積分的概念，還應(yīng)注意兩點: (1)定積分 是積分和式的極限，是一個數(shù)值,定積分值只與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間a,b有關(guān),而與積分變量的記法無關(guān).即有.d)(d)(d)( bab

7、abauufttfxxfxxfbad )(2)在定積分 的定義中,總假設(shè) ,為了今后使用方便，對于 的情況作如下規(guī)定：xxfbad )(ba baba ，.d )(d )( ,0d )( xxfxxfbaxxfbabaabba時當(dāng)；時，當(dāng)15定積分的幾何意義： 如果在a,b上 ，則 在幾何上表示由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積.0)(xfbaxxfd)(16 如果在a,b上 ,此時由曲線y=f(x),直線x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方,則定積分 在幾何上表示上述曲邊梯形的面積A的相反數(shù).0)(xfbaxxfd)(17 如果在a,b上f(x)

8、既可取正值又可取負值，則定積分 在幾何上表示介于曲線y=f(x)，直線x=a，x=b及x軸之間的各部分面積的代數(shù)和.baxxfd)(18三、定積分的存在定理.,)(,)(上可積在上連續(xù)，則在區(qū)間若函數(shù)baxfbaxf定理5.1.,)(,)( 上可積在間斷點，則第一類上有界，且只有有限個在區(qū)間若函數(shù)baxfbaxf定理5.219例1 用定義計算120d .xx解 (1)分割.插入n1個分點把區(qū)間0,1分成n等分,各分點的坐標依次是012120,1,ininxxxxxnnnn每個小區(qū)間的長度均為1(1,2, ).ixinn(2)近似、求和.取每各小區(qū)間 右端點為i,即1,iixx112212,1,

9、iinnixxxxnnn作乘積2231( )( ) (1,2, ).iiiifxinnnn20233111 1( )(1)(21)6nniiiiifxn nnnn111(1)(2)6nn這里用了正整數(shù)平方和公式22221112(1)(21).6niinn nn(3)取極限.當(dāng) , 時取極限,得11max0ii nxn n 011111lim( )lim(1)(2)63niinifxnn所以所求的定積分120d .xx21iniiiniixgxf1010)(lim)(lim=性質(zhì)1 函數(shù)的和(或差)的定積分等于它們的定積分的和(或差).d)(d)(d)()(bababaxxgxxfxxgxfin

10、iiibaxgfxxgxf10)()(limd)()(證明.d)(d)(=babaxxgxxf)()(lim110iniiniiixgxf設(shè)各性質(zhì)中涉及的函數(shù)都是可積. 四、定積分的基本性質(zhì)22推論 有限個函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于各函數(shù)的定積分的代數(shù)和，即.d)(d)(d)( d)()()(2121banbababanxxfxxfxxfxxfxfxf23性質(zhì) 2 被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號前面,即).( d)(d)( 是常數(shù)kxxfkxxkfbaba.d)(=)(lim=10baniiixxfkxfkniiibaxkfxxkf10)(limd)( 證明niiixfk10)(lim24b

11、ccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(性質(zhì) 3 如果積分區(qū)間a,b被分點c分成區(qū)間a,c和c,b,則 性質(zhì)6.3表明定積分對積分區(qū)間具有可加性，這個性質(zhì)可以用于求分段函數(shù)的定積分.按定積分的補充規(guī)定有:不論a,b,c的相對位置如何(如abc,cab等),總有等式bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(25211, 0,( ) ( )d .1, 0,2xxf xf xxxx求利用定積分的幾何意義，可分別求出，21d)1 (01xx.23121d)(21xxf例2 已知，200121d)21 (d)1 (d)(xxxxxxf解，1d)21 (20 xx26，則上恒有如果在區(qū)間1)(

12、, xfba性質(zhì) 4.d1d)(abxxxfbaba，則上恒有如果在區(qū)間0)(, xfba性質(zhì) 50.d)(baxxf，則上恒有如果在區(qū)間)()(,xgxfba推論1.d)(d)( babaxxgxxf).( d)(|d)(| 2baxxfxxfbaba推論27則上的最大值及最小值，在區(qū)間分別是函數(shù)及設(shè),)( baxfmM性質(zhì) 6 (估值定理).( )(d)()(baabMxxfabmba),( )(bxaMxfm證明bababaxMxxfxm，得推論由性質(zhì)dd)(d 15()( )d().bam baf xxM ba由性質(zhì)6.2和性質(zhì)6.4,可得28 曲邊梯形的面積小于由y=M，x=a，x=

13、b及x軸所圍成的矩形面積，而大于由y=m，x=a，x=b及x軸所圍成的矩形面積.性質(zhì)6的幾何意義：29.dsin3 6 的值試估計定積分xx，6323dsin632136xx.123dsin12 36xx即例3，最小值，上，最大值，在216sin)6(233sin)3(36ff解30).( )(d)( baabfxxfba性質(zhì) 7(定積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則在積分區(qū)間a,b上至少存在一個點,使下式成立證明 因為函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理，f(x)在a,b上一定有最大值M和最小值m，由定積分的性質(zhì) 6，有 ，)(d)()( abMxxfabmba，即Mxxfabmbad)(1 31即數(shù)值 介于f(x)在a,b上的最大值M和