構(gòu)造對偶式的八種途徑

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上構(gòu)造對偶式的八種途徑在數(shù)學解題過程中,合理地構(gòu)造形式相似，具有某種對稱關系的一對對偶關系式，并通過對這對對偶關系式進行適當?shù)暮?差,積等運算，往往能使問題得到巧妙的解決，收到事半功倍的效果。一 和差對偶對于表達式，我們可構(gòu)造表達式作為它的對偶關系式。例若，且，求的值。解析：構(gòu)造對偶式：則得再由，得：。點評：這種構(gòu)造對偶式的方法靈巧，富有創(chuàng)意，有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力。例已知：，且，求證：。解：則有：又，故，即原不等式成立。例解方程：解：構(gòu)造對偶式：，再由原方程聯(lián)立可解得：那么得：得：，即，代入（）中得：，整理得：，解得：。二 互倒對偶互倒對偶是指針對式子的結(jié)

2、構(gòu)，通過對式中的某些元素取倒數(shù)來構(gòu)造對偶式的方法。例若，求證：。解：設,構(gòu)造對偶式：，則而，故，即。例設為互不相等的正整數(shù)，求證：。解：設，構(gòu)造對偶式：則又為互不相等的正整數(shù)，所以，因此。點評：解題時巧妙構(gòu)思，對其構(gòu)造了“意料之中”的對偶式，化新為舊，等價轉(zhuǎn)化，完成對難點的突破，以達化解問題這目的。例已知對任意總有，求函數(shù)的解析式。解析：因用替代上式中的，構(gòu)造對偶式：由得：故。三 共軛對偶共軛對偶是反映利用共軛根式或共軛復數(shù)來構(gòu)造對偶式的方法。例已知，解方程：。解析：由構(gòu)造對偶式：由得，代入得，故或。例若，已知且，證明：為純虛數(shù)。解：設，則，構(gòu)造對偶式：則（因為）又（因為）為純虛數(shù)。例已知：，

3、且，求證：。證明：設，構(gòu)造對偶式：，即原不等式成立。四 倒序?qū)ε嫉剐驅(qū)ε际侵羔槍κ阶拥慕Y(jié)構(gòu)，通過和式或積式進行倒序構(gòu)造對偶式的方法。例求和：解析：觀察和式聯(lián)想到，故首先在和式右邊添上一項，則構(gòu)造對偶式：即亦為：由得：點評：利用現(xiàn)成的對偶式，使問題本身變得簡單，便易，如此處理，可謂“勝似閑庭信步”，豈不妙哉！例正項等比數(shù)列中，試用，表示。解析：傳統(tǒng)解法都用表示，及，然后通過和找到，的等量關系，這種解法雖思路正確，但運算繁瑣，加之在用等比數(shù)列求和公式時還要討論和兩種情形，如此解題會陷入漫漫無期的運算之中，很少有人能夠到達終點。其實，觀察和式子與積式特征不妨采取“本末倒置”構(gòu)造倒序?qū)ε夹蚴揭辉?。由題

4、意知：構(gòu)造倒序?qū)ε际剑河傻茫?，即再來看：?gòu)造倒序?qū)ε际剑杭吹茫海?。由等比?shù)列性質(zhì)可知，右邊的分母均為，故即，又。五 定值對偶定值對偶是指能利用和，差，積，商等運算產(chǎn)生定值，并借此構(gòu)造出對偶式的方法。例已知函數(shù)。，則。解析：發(fā)現(xiàn)定值：。那么構(gòu)造對偶式：由得：，即。六 奇偶數(shù)對偶奇偶數(shù)對偶指利用整數(shù)的分類中奇數(shù)與偶數(shù)的對稱性構(gòu)造對偶式的方法。例求證：。解：設，構(gòu)造對偶式：。由于因此，從而故。例求證：證明：待證不等式的左邊為：。令：構(gòu)造兩個對偶式：故原不等式成立。七 輪換對偶輪換對偶是指針對式子的結(jié)構(gòu)，通過輪換字母而構(gòu)造對偶式的方法。例求證：對任意實數(shù)，都有不等式成立。證明：設構(gòu)造對偶式，則，即而，即。當且僅當時等號成立。例設，求證：。證明：設，構(gòu)造對偶式：，。又，即，。八 互余對偶三角中的正弦與余弦是兩個對稱元素，利用互余函數(shù)構(gòu)造對偶式，借用配對思想可以輕松完成有關三角題的解答。例已知，解方程：解析：若令，構(gòu)造對偶式：則：由得：，又或或。例求的值。解析：令，構(gòu)造對偶式：，則點評：這是一道比較典型的三角求值題。通過對題目結(jié)構(gòu)特征的觀察，由目標導向，構(gòu)造對偶式，從而獨辟蹊徑，出奇制勝。在數(shù)學解題過程中，如果我們恰當?shù)貥?gòu)造對偶關系式，不僅能提高解題速度，而且能收到以簡馭