讓教學(xué)設(shè)計(jì)更符合學(xué)生的認(rèn)知

1、讓教學(xué)設(shè)計(jì)更符合學(xué)生的認(rèn)知摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)之所以成為難點(diǎn)，一是由于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)難以“容納”這一知識(shí)，二是由于教師的教學(xué)設(shè)計(jì)難以找到適當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)。新知識(shí)應(yīng)該如何“修剪”得適合學(xué)生吸收，如何使學(xué)生“活動(dòng)”起來(lái)，做適合他的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的活動(dòng)。一、復(fù)雜方法簡(jiǎn)約化；二、前后呼應(yīng)流暢化；三、實(shí)際問(wèn)題逐步數(shù)學(xué)化；四、形式理解溯源化；五、借助幾何意義動(dòng)態(tài)化。關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn) 認(rèn)知 教學(xué)設(shè)計(jì)我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐、觀(guān)課活動(dòng)或與同行的交流中，常有這樣的同感：課前對(duì)一些內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)在課堂上實(shí)施時(shí)，感到不自然，無(wú)法與學(xué)生產(chǎn)生共鳴，或自圓其說(shuō)，或越俎代皰，或生拉硬扯。這些數(shù)學(xué)內(nèi)容稱(chēng)之為數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)，數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)之所以成

2、為難點(diǎn)，一是由于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)難以“容納”這一知識(shí)，二是由于教師的教學(xué)設(shè)計(jì)難以找到適當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)。按照皮亞杰的觀(guān)點(diǎn)，對(duì)客體的認(rèn)識(shí)是一個(gè)“同化”的過(guò)程，即如何把對(duì)象納入（整合）到已有的認(rèn)識(shí)框架（認(rèn)知結(jié)構(gòu)）之中；也只有借助于同化過(guò)程，客體才獲得真正的意義。與此同時(shí)，認(rèn)識(shí)框架本身也有一個(gè)不斷發(fā)展或建構(gòu)的過(guò)程，特別是，在已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)無(wú)法“容納”新的對(duì)象的情況下，主體就必須對(duì)已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)變革，以使其與客體相適應(yīng)，這就是所謂的“順應(yīng)”。教學(xué)設(shè)計(jì)就是設(shè)計(jì)教學(xué)情境，幫助學(xué)生逐步將數(shù)學(xué)難點(diǎn)與頭腦中已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)。教師的作用是為學(xué)生的參與創(chuàng)造適宜的挑戰(zhàn)環(huán)境，學(xué)生思維的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，去了解學(xué)生的

3、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，分析他的主觀(guān)感知有什么問(wèn)題，新知識(shí)應(yīng)該如何“修剪”得適合學(xué)生吸收，如何使學(xué)生“活動(dòng)”起來(lái)，做適合他的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的活動(dòng)。1、復(fù)雜方法簡(jiǎn)約化人的認(rèn)識(shí)總是不斷在反思中發(fā)展、前進(jìn)，思維不斷在清晰化明朗化簡(jiǎn)約化的過(guò)程中得到提升。教學(xué)設(shè)計(jì)也應(yīng)適時(shí)地“修剪”、重組教材（教學(xué)）中內(nèi)容、方法，以適合學(xué)生吸收。案例1、正弦定理的向量證法。CBHA教材用向量的知識(shí)證明正弦定理時(shí)，在三角形一個(gè)角的頂點(diǎn)作垂直于該角一邊的一個(gè)單位向量j。學(xué)生覺(jué)得單位向量j在三角形的外部，沒(méi)有與三角形的點(diǎn)或邊形成封閉的圖形，這與初中平面幾何的輔助線(xiàn)作法相差很大。再者，教材利用j•（+）=j•

4、，再根據(jù)分配律將各向量轉(zhuǎn)化為單位向量j上的投影。此法與學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)相去較遠(yuǎn)，理解上費(fèi)力費(fèi)時(shí)。我們不妨簡(jiǎn)化證法，利用學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，作某一邊上的高，各向量向高所在的向量投影，而不用單位向量。如：CBHA作AHBC于H，BAH=90º-B，CAH=90º-C，=|•|cos(90º-B)， =|•|cos(90º-C)，|•|cos(90º-B)=|•|cos(90º-C)，|sinB=|sinC，csinB=

5、bsinC，=這樣，幫助學(xué)生“自我調(diào)節(jié)”，把平面幾何知識(shí)與平面向量知識(shí)整合在一起，內(nèi)化為個(gè)體自身的思維模式。2、前后呼應(yīng)流暢化在引入新對(duì)象前剛學(xué)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，對(duì)下續(xù)新對(duì)象的學(xué)習(xí)起著非常強(qiáng)的“暗示”作用，如果突然中斷，而轉(zhuǎn)入另一知識(shí)，學(xué)生會(huì)顯得不知所措。教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)順勢(shì)利導(dǎo)，產(chǎn)生共鳴。案例2、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)。在等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)的教學(xué)中，大家除了介紹教材上的方法外，還介紹其他一些方法，但總覺(jué)得引入不自然。因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)了等比數(shù)列的定義后，推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，在方法上與以往的經(jīng)驗(yàn)不一樣，學(xué)生感到很突然。如果啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系等比數(shù)列的定義，就容易得到：=q ， =q ， =q ，=q

6、 。轉(zhuǎn)化為 a2=a1q，a3=a2q，a4=a3q，an=an-1q。各式左右分別相加，得 a2 + a3+ a4+ an =a1q+ a2q + a3q + an-1q，即 a2 + a3+ a4+ an =（a1+ a2 + a3 + an-1 ）q，往下容易得出：Sn-a1 =（Sn-an）q ， （1-q）Sn=a1-an q，即（1-q）Sn=a1（1- qn），當(dāng)q1時(shí)，Sn=。 當(dāng)然，也可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)式結(jié)合等比性質(zhì)或?qū)κ浇Y(jié)合Sn= a1+ a2 + a3+ a4+ an的特征等方法，讓學(xué)生在“不知不覺(jué)”中發(fā)現(xiàn)和“創(chuàng)造”出各種方法。創(chuàng)設(shè)情境，營(yíng)造交流的氛圍，幫助學(xué)生把新的問(wèn)題“同

7、化”到已有的認(rèn)識(shí)框架（認(rèn)知結(jié)構(gòu)）之中，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，這是優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)的目標(biāo)。3、實(shí)際問(wèn)題逐步數(shù)學(xué)化現(xiàn)實(shí)世界自始自終貫穿在數(shù)學(xué)化之中，我們常把由現(xiàn)實(shí)世界直接形成數(shù)學(xué)概念的過(guò)程稱(chēng)為“概念的”數(shù)學(xué)化，它往往隨著不同的認(rèn)知水平而逐漸得到提高。觀(guān)察、比較與識(shí)別現(xiàn)實(shí)世界中的具體問(wèn)題，并在類(lèi)比、歸納的實(shí)際經(jīng)歷過(guò)程中，建立數(shù)學(xué)模型，或是找出其共性與規(guī)律，形成數(shù)學(xué)的抽象與概括，也就是學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)化”。案例3、數(shù)學(xué)歸納法原理。常見(jiàn)的教學(xué)設(shè)計(jì)是以“多米諾骨牌效應(yīng)”引入，這個(gè)“效應(yīng)”對(duì)學(xué)生而言十分直觀(guān)明了，容易接受，但緊接著引出數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟，特別是第二步歸納假設(shè)用于證明的必要性學(xué)生不易

8、理解，常常出現(xiàn)沒(méi)有利用歸納假設(shè)的“偽數(shù)學(xué)歸納法”。究其原因是從多米諾骨牌效應(yīng)的“形象化”，未逐步“數(shù)學(xué)化”，而從直觀(guān)到抽象一步到位，學(xué)生無(wú)法從中提煉出數(shù)學(xué)本質(zhì)。不妨經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的“數(shù)學(xué)化”，提煉出數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行變革“順應(yīng)”新的知識(shí)。具體步驟是：第一步：形象化過(guò)程（多米諾骨牌效應(yīng)的分析）：一列多米諾骨牌同時(shí)具備二個(gè)條件：第一塊倒下；假設(shè)某一塊倒下，可保證它后面的一塊也倒下。結(jié)論是什么？第二步：簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)化過(guò)程（讓學(xué)生將“多米諾骨牌”換成“偶數(shù)列”）：一個(gè)數(shù)列an同時(shí)具備二個(gè)條件：第一個(gè)數(shù)是偶數(shù)；假設(shè)某一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，可證明它后面的一個(gè)數(shù)也是偶數(shù)。結(jié)論是：所有的數(shù)都是偶數(shù)。第三步：理解數(shù)

9、學(xué)本質(zhì)（師生交流、生生交流）：議題：將數(shù)列問(wèn)題中一個(gè)或二個(gè)條件中的“偶數(shù)”換成“奇數(shù)”，其結(jié)論有何變化？4、形式理解溯源化對(duì)形式的理解，首先是對(duì)本質(zhì)的理解。很多時(shí)候要追溯到形式、概念的定義，以及定義的必要性和合理性。案例4、反函數(shù)的表示法。教材中寫(xiě)道“在函數(shù)_=f 1（y）中，y表示自變量，_表示函數(shù)。但在習(xí)慣上，我們一般用_表示自變量，用y表示函數(shù)，為此我們常常對(duì)調(diào)函數(shù)_=f 1（y）中的字母_、y，把它改寫(xiě)成y=f 1（_）” 。為什么要把_=f 1（y）改寫(xiě)成y=f 1（_）？?jī)H僅是因?yàn)椤傲?xí)慣”的原因？學(xué)生感到困惑，教師解釋時(shí)感到理由不夠充分。我想，這要從反函數(shù)的定義以及作用來(lái)理解，_=

10、f 1（y）與y=f（_）中，_的取值是相同的，y的取值也是相同的，因此在同一坐標(biāo)系中的圖象是相同的，但表示的意義是不同的，因?yàn)樽宰兞颗c函數(shù)的地位已經(jīng)互換。為了使_=f 1（y）與y=f（_）在同一坐標(biāo)系中有相同地位的量在同一坐標(biāo)軸上，便于研究它們的相互關(guān)系，才“對(duì)調(diào)函數(shù)_=f 1（y）中的字母_、y，把它改寫(xiě)成y=f 1（_）”，這樣一來(lái)，_軸就是自變量軸，y軸就是函數(shù)軸。我們可以把這一理解，設(shè)計(jì)成提問(wèn)或問(wèn)題進(jìn)行交流，在“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的共同體”中，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)形式和數(shù)學(xué)本質(zhì)有一個(gè)“個(gè)體創(chuàng)造性的理解”的過(guò)程。通過(guò)學(xué)生自身主動(dòng)的建構(gòu)，使新的學(xué)習(xí)材料在學(xué)生頭腦中獲得特定的意義，這就是在新的數(shù)學(xué)材料與學(xué)

11、生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)之間建立實(shí)質(zhì)性的、非任意的聯(lián)系，不斷完善學(xué)生個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。五、借助幾何意義動(dòng)態(tài)化對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)是以頭腦中實(shí)際建構(gòu)出這種對(duì)象為必要前提的，這種“建構(gòu)”活動(dòng)并非簡(jiǎn)單地理解為如何在頭腦中機(jī)械地去重復(fù)有關(guān)對(duì)象的形式定義，而是必然包含有一個(gè)“具體化”（相對(duì)而言）的過(guò)程，也即如何把新的數(shù)學(xué)概念與已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)，使之成為對(duì)學(xué)習(xí)主體而言是有意義的、可以理解的、十分直觀(guān)明了的，也即建立起適當(dāng)?shù)摹靶睦肀碚鳌被颉靶睦硪饬x”。案例5：奇偶性與周期性的應(yīng)用已知函數(shù)y=f（_）是最小正周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)_（0，1）時(shí)，f（_）=-lg3|_|+2，求：當(dāng)_（1，2）時(shí)，f（_）的

12、解析式。這一類(lèi)題目的解答通常是：當(dāng)_（0，1）時(shí)，f（_）=-lg3|_|+2，當(dāng)-1_0時(shí)，0-_1，又y=f（_）是偶函數(shù)，f（_）=f（-_）=-lg3|-_|+2=-lg3|_|+2，當(dāng)1_2時(shí)，-1_-20，又y=f（_）是最小正周期為2的函數(shù)，f（_）=f（_-2）=-lg3|_-2|+2。學(xué)生初次接觸此類(lèi)題目感到很抽象，不知如何才能把兩個(gè)區(qū)間聯(lián)系起來(lái)，不清楚解答中_范圍不斷變化的目的。因此，在解答前可啟發(fā)學(xué)生做如下探索：將條件“當(dāng)_(0，1)時(shí)，f（_）=-lg3|_|+2”改為“當(dāng)_(0，1)時(shí)，f（_）=-_+2”，并作出圖象(0，1)上的線(xiàn)段AB（如圖）。第一步：利用“偶函數(shù)”這一條件，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)得到線(xiàn)段(-1，0)上的AC，第二步：利用“最小正周期為2”這一條件，向右平移2個(gè)單位得到(1，2)上的線(xiàn)段BD，（當(dāng)然也可以交換這二步的順序）。根據(jù)這一動(dòng)態(tài)順序可逐步理解兩個(gè)條件的作用以及_范圍不斷變化的目的，然后再根據(jù)偶函數(shù)與周期的定義，按動(dòng)態(tài)順序?qū)懗鼋獯疬^(guò)程。在這里，偶函數(shù)與周期的幾何意義為解題