利用矢量作圖法巧解力學(xué)中的極值問題

1、利用矢量作圖法巧解力學(xué)中的極值問題郇學(xué)莊利用矢量作圖法巧妙地求解出一些物理量的極值問題，具有直觀性，簡單明了，可簡化解題過程達(dá)到快速求解。下面就用矢量作圖法來求解物理量的極值問題做一些探討。一、判斷繩上拉力的極值例1. 三段不可伸長的細(xì)繩OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它們共同懸掛一重物，如圖1，其中OB是水平的，A端、B端固定，若逐漸增大C端所掛物體的質(zhì)量，則最先斷的細(xì)繩是（ ）A. 必定是OAB. 必定是OBC. 必定是OCD. 可能是OB，也可能是OC圖1解析：對O點(diǎn)進(jìn)行受力分析，O點(diǎn)受到三根繩的拉力分別是，如圖1-1所示，由于O點(diǎn)靜止，則三力矢量和為零，即其中任意二力的合力與第三

2、個(gè)力等值反向。作出力合成矢量圖，由直角三角形的邊角關(guān)系可知，繩OA上實(shí)際拉力最大，故當(dāng)C端所掛物體的質(zhì)量逐漸增大過程中，三段繩上拉力雖然都增大，但繩OA上實(shí)際拉力最先達(dá)最大承受力，必定先斷，其他兩根繩實(shí)際拉力均未達(dá)最大承受力則不斷，所以答案A正確。圖1-1點(diǎn)評：通過力的矢量圖中邊長的長短即可判斷出三根繩上實(shí)際拉力的大小關(guān)系，在都增大的過程中，最長邊表示的拉力先達(dá)極值。二、求解最大重量例2. 用細(xì)繩AO、BO懸掛重物，BO水平，AO與豎直線成45°，如圖2所示。AO、BO所能承受的最大拉力均為10N，OC能承受足夠大的拉力，為使細(xì)線不被拉斷，則所掛重物的最大重量是多少？圖2解析：O點(diǎn)受

3、三根細(xì)線的拉力分別為，作出矢量合成圖如圖2-1，由于O點(diǎn)靜止，與的合力R必與等值反向，即，由直角三角形邊長關(guān)系可知，故應(yīng)選滿足AO細(xì)繩上實(shí)際拉力取最大值，即，而OB細(xì)線上實(shí)際拉力則小于10N，此時(shí)所掛重物的重量達(dá)最大，則最大重量為所求。圖2-1點(diǎn)評：由力矢量圖可知，二根細(xì)線拉力不能同時(shí)達(dá)最大，只能滿足較大的拉力達(dá)極值，而另一根細(xì)線拉力則小于極值，再來求解最大重量。三、求解最小外力例3. 如圖3，在水平面上放有質(zhì)量為m，與地面動摩擦因數(shù)為的物體，現(xiàn)用力F拉物體使其沿地面勻速前進(jìn)，求F的最小值及方向。圖3解析：物體m受重力mg，地面支持力、動摩擦力及拉力F（方向未知）。設(shè)與的合力為R，并且R與豎直

4、方向夾角為，此時(shí)可視為物體m受R、F、mg三個(gè)力作用而勻速前進(jìn)，則R與F的合力必與mg等值反向，要使F為最小值則需表示F的有向線段為最短，故應(yīng)使F與R垂直，此線段最短，F(xiàn)為最小，如圖3-1，由矢量圖可知：圖3-1其中由動摩擦力 式：由幾何關(guān)系：將<2><3><4>式代入<1>式則，方向?yàn)榕c水平面成斜向右上方。此題也可用正交分解法列方程來求解，但計(jì)算較繁瑣。點(diǎn)評：本題通過分析作出力的矢量合成圖，找到表示F的最短邊長，運(yùn)用幾何關(guān)系及物理知識而求出F的極值和方向。四、求解最小彈力例4. 如圖4小球被輕繩系著，斜吊在光滑劈面上，小球質(zhì)量為m，斜面傾角為，

5、向右緩慢推動劈，在這個(gè)過程中，繩上拉力最小值是多大？圖4解析：小球受重力mg、斜面支持力，輕繩拉力三個(gè)力作用，在劈緩慢向右運(yùn)動過程中，三個(gè)力的合力為零。作出力的矢量如圖4-1，其中mg大小方向不變，方向不變只是大小變化，大小方向均變化，但是與的合力R與mg等值反向，由mg的大小和方向可作出R的大小和方向，過R的矢量末端作出與矢量的平行線，要使拉力最小則需與相垂直，表示大小的有向線段為最短，則拉力為最小，此時(shí)輕繩與斜面相平行，拉力最小值為所求。圖4-1點(diǎn)評：本題通過力矢量合成作圖，經(jīng)過不斷變化最終找出表示的最短邊長，從而確定出的極值。五、求解最小位移例5. 小船在靜水中運(yùn)動速度為，水流速度為，且，設(shè)河寬為L，求小船渡河的最小位移。解析：如圖5所示，以矢量的末端P為圓心，以矢量的大小為半徑畫圓，過矢量的始端O作該圓的切線OA，當(dāng)合速度v的方向沿OA方向時(shí)渡河位移最小，此時(shí)船頭指向（即的方向）與上游河岸的夾角為此時(shí)渡河最小位移為圖5點(diǎn)評：通過對兩個(gè)分速度矢量的合成分析而確定出最小位移的方向，再運(yùn)用幾何知識求出位移s的最小值。綜上所述，掌握矢量作圖法對