算法分析與設(shè)計(jì)

1、第一章什么是算法算法是解決一個計(jì)算問題的一系列計(jì)算步驟有序、合理的排列。對一個具體問題（有確定的輸入數(shù)據(jù)）依次執(zhí)行一個正確的算法中的各操作步驟，最終將得到該問題的解（正確的輸出數(shù)據(jù)）。算法的三個要素 1).數(shù)據(jù): 運(yùn)算序列中作為運(yùn)算對象和結(jié)果的數(shù)據(jù). 2).運(yùn)算: 運(yùn)算序列中的各種運(yùn)算:賦值,算術(shù)和邏輯運(yùn)算 3).控制和轉(zhuǎn)移: 運(yùn)算序列中的控制和轉(zhuǎn)移.算法分類從解法上：數(shù)值型算法:算法中的基本運(yùn)算為算術(shù)運(yùn)算；非數(shù)值型算法:算法中的基本運(yùn)算為邏輯運(yùn)算.從處理方式上：串行算法:串行計(jì)算機(jī)上執(zhí)行的算法；并行算法:并行計(jì)算機(jī)上執(zhí)行的算法算法的五個重要的特性（1） 有窮性：在有窮步之后結(jié)束。（2） 確定

2、性：無二義性。（3） 可行性：可通過基本運(yùn)算有限次執(zhí)行來實(shí)現(xiàn)。（4） 有輸入 表示存在數(shù)據(jù)處理 （5） 有輸出 偽代碼程序設(shè)計(jì)語言（PDL），也稱為結(jié)構(gòu)化英語或者偽代碼，它是一種混合語言，它采用一種語言（例如英語）的詞匯同時采用類似另外一種語言（例如，結(jié)構(gòu)化程序語言）的語法。特點(diǎn)：1)使用一些固定關(guān)鍵詞的語法結(jié)構(gòu)表達(dá)了結(jié)構(gòu)化構(gòu)造、數(shù)據(jù)描述、模塊的特征；2)以自然語言的自由語法描述了處理過程；3)數(shù)據(jù)聲明應(yīng)該既包括簡單的也包括復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)；4)使用支持各種模式的接口描述的子程序定義或者調(diào)用技術(shù)。求兩個n階方陣的相加C=A+B的算法如下，分析其時間復(fù)雜度。 #define MAX 20 /定義最

3、大的方階 void matrixadd(int n,int AMAXMAX, int BMAXMAX,int CMAXMAX) int i,j; for (i=0;i<n;i+)for (j=0;j<n;j+) Cij=Aij+Bij; 該算法中的基本運(yùn)算是兩重循環(huán)中最深層的語句Cij=Aij+Bij，分析它的頻度，即： T(n)= =O(n2)分析以下算法的時間復(fù)雜度。 void func(int n) int i=0,s=0; while (s<n) i+; s=s+i; 對于while循環(huán)語句，設(shè)執(zhí)行的次數(shù)為m，i從0開始遞增1，直到m為止，有：s=0+1+2+(m-1

4、)=m(m-1)/2，并滿足s=m(m-1)/2<n，則有m 。T(n)=O()所以，該算法的時間復(fù)雜度為O()。有如下算法： void fun(int a,int n,int k) /數(shù)組a共有n個元素 int i;if (k=n-1) for (i=0;i<n;i+) /n次 printf("%dn",ai);else for (i=k;i<n;i+)/n-k次ai=ai+i*i; fun(a,n,k+1); 調(diào)用上述算法的語句為fun(a,n,0)，求其時間復(fù)雜度。設(shè)fun(a,n,0)的時間復(fù)雜度為T(n)，則fun(a,n,k)的執(zhí)行時間為T1(

5、n,k)，由fun()算法可知： T1(n,k)=n 當(dāng)k=n-1時 T1(n,k)= (n-k)+T1(n,k+1) 其他情況 則： T(n)=T1(n,0)=n+T1(n,1)=n+(n-1)+T1(n,2)=n+(n-1)+2+T1(n,n-1)=n+(n-1)+ +2+n=O(n2) 所以調(diào)用fun(a,n,0)的時間復(fù)雜度為O(n2)。估計(jì)如下二重循環(huán)算法在最壞情況下時間復(fù)雜性T(n)的階。for i:= 1 to n do for j:=1 to i do s1,s2,s3,s4 ; s1,s2,s3,s4為單一賦值語句分析:內(nèi)循環(huán)體只需O(1)時間，故內(nèi)循環(huán)共需 外循環(huán)共需漸進(jìn)分

6、析 時間復(fù)雜性漸進(jìn)階分析的規(guī)則：(最壞情況) 1). 賦值，比較，算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算，讀寫單個變量（常量）只需1單位時間 2). 執(zhí)行條件語句 if c then S1 else S2 的時間為TC +max(TS1,TS2). 3). 選擇語句 case A of a1: s1；a2: s2；.； am: sm 需要的時間為 max（TS1,TS2 ,., TSm）. 4). 訪問數(shù)組的單個分量或紀(jì)錄的單個域需要一個單位時間. 5). 執(zhí)行for循環(huán)語句的時間=執(zhí)行循環(huán)體時間*循環(huán)次數(shù). 6). while c do s (repeat s until c)語句時間=(Tc+Ts)*循環(huán)次數(shù)

7、. 7). 用goto從循環(huán)體內(nèi)跳到循環(huán)體末或循環(huán)后面的語句時,不需額外時間 8). 過程或函數(shù)調(diào)用語句：對非遞歸調(diào)用，根據(jù)調(diào)用層次由里向外用規(guī)則1-7進(jìn)行分析； 對遞歸調(diào)用，可建立關(guān)于T(n)的遞歸方程,求解該方程得到T(n). 插入排序算法的實(shí)現(xiàn)要點(diǎn)：（1）【參數(shù)和返回值】確定輸入數(shù)據(jù)個數(shù)和數(shù)據(jù)類型，輸出個數(shù)和數(shù)據(jù)類型，數(shù)據(jù)的組織形式（即邏輯結(jié)構(gòu)：線性表、樹、圖，線性表還包括棧、隊(duì)列），數(shù)據(jù)的存儲格式（數(shù)組還是鏈表），函數(shù)返回值。（2）【數(shù)據(jù)設(shè)置】變量定義與初值設(shè)定。要考慮訪問的所有數(shù)據(jù)，包括變量和常量。每個變量都要考慮它的數(shù)據(jù)類型、存儲結(jié)構(gòu)、訪問控制（局部變量、全局變量、靜態(tài)變量、公共屬

8、性、保護(hù)屬性、私有屬性等）和初始值。（3）【關(guān)鍵代碼】要考慮直接轉(zhuǎn)換還是需要建立相應(yīng)的獨(dú)立函數(shù)。對于賦值和下標(biāo)通?？梢灾苯愚D(zhuǎn)換。一些操作，比如數(shù)據(jù)輸入、創(chuàng)建、求長度、查找、排序、插入、刪除、顯示、修改等操作，通常需要通過建立專門的獨(dú)立函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，也可以通過系統(tǒng)提供的命令或函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。歸并排序算法的實(shí)現(xiàn)要點(diǎn)：（1）【參數(shù)和返回值】確定輸入數(shù)據(jù)個數(shù)和數(shù)據(jù)類型，輸出個數(shù)和數(shù)據(jù)類型，數(shù)據(jù)的組織形式（即邏輯結(jié)構(gòu)：線性表、樹、圖，線性表還包括棧、隊(duì)列），數(shù)據(jù)的存儲格式（數(shù)組還是鏈表），函數(shù)返回值。參數(shù)：序列Apr的子序列Apq和Aq+1r，可以表示為區(qū)間p,q,q,r指針（或迭代器）p，q，r：p指向第一

9、個子序列的首元素，q指向第二個子序列首元素，r指向第二個子序列末尾元素之后，單個元素?cái)?shù)據(jù)長度及比較函數(shù)指針。返回值：無（2）【數(shù)據(jù)設(shè)置】變量定義與初值設(shè)定。要考慮訪問的所有數(shù)據(jù)，包括變量和常量。每個變量都要考慮它的數(shù)據(jù)類型、存儲結(jié)構(gòu)、訪問控制（局部變量、全局變量、靜態(tài)變量、公共屬性、保護(hù)屬性、私有屬性等）和初始值。（3）【關(guān)鍵代碼】要考慮直接轉(zhuǎn)換還是需要建立相應(yīng)的獨(dú)立函數(shù)。對于賦值和下標(biāo)通?？梢灾苯愚D(zhuǎn)換。一些操作，比如數(shù)據(jù)輸入、創(chuàng)建、求長度、查找、排序、插入、刪除、顯示、修改等操作，通常需要通過建立專門的獨(dú)立函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，也可以通過系統(tǒng)提供的命令或函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。序列的劃分算法的實(shí)現(xiàn)要點(diǎn)：（1）【參

10、數(shù)和返回值】確定輸入數(shù)據(jù)個數(shù)和數(shù)據(jù)類型，輸出個數(shù)和數(shù)據(jù)類型，數(shù)據(jù)的組織形式（即邏輯結(jié)構(gòu)：線性表、樹、圖，線性表還包括棧、隊(duì)列），數(shù)據(jù)的存儲格式（數(shù)組還是鏈表），函數(shù)返回值。參數(shù)：A 是數(shù)組或序列p, r分別是整數(shù)或者迭代器返回值：分界點(diǎn)位置的整數(shù)或者迭代器（2）【數(shù)據(jù)設(shè)置】變量定義與初值設(shè)定。要考慮訪問的所有數(shù)據(jù)，包括變量和常量。每個變量都要考慮它的數(shù)據(jù)類型、存儲結(jié)構(gòu)、訪問控制（局部變量、全局變量、靜態(tài)變量、公共屬性、保護(hù)屬性、私有屬性等）和初始值。（3）【關(guān)鍵代碼】要考慮直接轉(zhuǎn)換還是需要建立相應(yīng)的獨(dú)立函數(shù)。對于賦值和下標(biāo)通?？梢灾苯愚D(zhuǎn)換。一些操作，比如數(shù)據(jù)輸入、創(chuàng)建、求長度、查找、排序、插入

11、、刪除、顯示、修改等操作，通常需要通過建立專門的獨(dú)立函數(shù)來實(shí)現(xiàn)，也可以通過系統(tǒng)提供的命令或函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。第二章直接或間接地調(diào)用自身的算法稱為遞歸算法。用函數(shù)自身給出定義的函數(shù)稱為遞歸函數(shù)。分治法的設(shè)計(jì)思想：將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規(guī)模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。分治策略在每一層遞歸包括3個步驟：分解 將問題分解成若干個子問題。治理 遞歸地解決各子問題。不過若子問題的規(guī)模足夠小，就以直接的方式（不再遞歸）解決子問題。合并 將子問題的解合并成原問題的一個解。divide-and-conquer(P) if ( | P | <= n0) adhoc(P); /解決小規(guī)模

12、的問題 divide P into smaller subinstances P1,P2,.,Pk；/分解問題 for (i=1,i<=k,i+) yi=divide-and-conquer(Pi); /遞歸的解各子問題 return merge(y1,.,yk); /將各子問題的解合并為原問題的解 分治法的復(fù)雜性分析：一個分治法將規(guī)模為n的問題分成k個規(guī)模為nm的子問題去解。設(shè)分解閥值n0=1，且adhoc解規(guī)模為1的問題耗費(fèi)1個單位時間。再設(shè)將原問題分解為k個子問題以及用merge將k個子問題的解合并為原問題的解需用f(n)個單位時間。用T(n)表示該分治法解規(guī)模為|P|=n的問題所

13、需的計(jì)算時間，則有： 通過迭代法求得方程的解：遞歸小結(jié)：優(yōu)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)清晰，可讀性強(qiáng)，而且容易用數(shù)學(xué)歸納法來證明算法的正確性，因此它為設(shè)計(jì)算法、調(diào)試程序帶來很大方便。缺點(diǎn)：遞歸算法的運(yùn)行效率較低，無論是耗費(fèi)的計(jì)算時間還是占用的存儲空間都比非遞歸算法要多。解決方法：在遞歸算法中消除遞歸調(diào)用，使其轉(zhuǎn)化為非遞歸算法。1、采用一個用戶定義的棧來模擬系統(tǒng)的遞歸調(diào)用工作棧。該方法通用性強(qiáng)，但本質(zhì)上還是遞歸，只不過人工做了本來由編譯器做的事情，優(yōu)化效果不明顯。2、用遞推來實(shí)現(xiàn)遞歸函數(shù)。3、通過變換能將一些遞歸轉(zhuǎn)化為非遞歸，從而迭代求出結(jié)果。二分搜索算法：template<class Type> in

14、t BinarySearch(Type a, const Type& x, int l, int r) while (r >= l) int m = (l+r)/2; if (x = am) return m; if (x < am) r = m-1; else l = m+1; return -1; 算法復(fù)雜度分析：每執(zhí)行一次算法的while循環(huán)， 待搜索數(shù)組的大小減少一半。因此，在最壞情況下，while循環(huán)被執(zhí)行了O(logn) 次。循環(huán)體內(nèi)運(yùn)算需要O(1) 時間，因此整個算法在最壞情況下的計(jì)算時間復(fù)雜性為O(logn) 。第三章動態(tài)規(guī)劃算法總體思想：動態(tài)規(guī)劃算法與分治

15、法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，但是經(jīng)分解得到的子問題往往不是互相獨(dú)立的。不同子問題的數(shù)目常常只有多項(xiàng)式量級。在用分治法求解時，有些子問題被重復(fù)計(jì)算了許多次。如果能夠保存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，就可以避免大量重復(fù)計(jì)算，從而得到多項(xiàng)式時間算法。分治法與動態(tài)規(guī)劃的相同點(diǎn)：分治法與動態(tài)規(guī)劃，二者要求原問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，都是將問題分而治之分解成若干個規(guī)模較小的子問題 。不同點(diǎn)：分治法是將原問題分解為多個子問題，利用遞歸對各個子問題獨(dú)立求解，最后利用各子問題的解進(jìn)行合并形成原問題的解。分治法將分解后的子問題看成是相互獨(dú)立的。動態(tài)規(guī)劃是將原問題分解為多個

16、子問題，通過計(jì)算出子問題的結(jié)果構(gòu)造一個最優(yōu)解。動態(tài)規(guī)劃通過迭代法自底向上求解，動態(tài)規(guī)劃將分解后的子問題理解為相互間有聯(lián)系，有重疊的部分。knapsack算法實(shí)現(xiàn)要點(diǎn)：（1）【參數(shù)和返回值】參數(shù)：物件個數(shù)n，重量數(shù)組W（一維整型），價值數(shù)組C（一維整型），背包容量C（整型）。 返回值：返回整型二維數(shù)組m（2）【數(shù)據(jù)設(shè)置】設(shè)置一個（n+1 ）×（c+1 ）二維數(shù)表m；循環(huán)控制變量i，j（整數(shù)）（3）【關(guān)鍵代碼】偽代碼結(jié)構(gòu)清晰，容易實(shí)現(xiàn)。Floyd算法實(shí)現(xiàn)要點(diǎn)：（1）【參數(shù)和返回值】參數(shù)：圖的頂點(diǎn)個數(shù)n；圖的鄰接矩陣：浮點(diǎn)型矩陣w；返回值：返回矩陣D和構(gòu)成的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（2）【數(shù)據(jù)設(shè)置】兩個二

17、維數(shù)表d和pi（對應(yīng)矩陣D和 ）；循環(huán)控制變量i， j，k（整數(shù)）（3）【關(guān)鍵代碼】頂點(diǎn)從0n-1編號。鄰接矩陣D中用浮點(diǎn)型最大值代替；父結(jié)點(diǎn)矩陣中空指針NIL用-1表示；要輸出路徑還需要實(shí)現(xiàn)PRINT-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS算法第四章：貪心算法：依賴于當(dāng)前已經(jīng)做出的所有選擇，采用自頂向下（每一步根據(jù)策略得到當(dāng)前一個最優(yōu)解，保證每一步都是選擇當(dāng)前最優(yōu)的）的解決方法。貪婪算法設(shè)計(jì)的3個步驟：（1）分析問題的最優(yōu)子結(jié)構(gòu)（2）分析問題的貪婪選擇性質(zhì)（3）根據(jù)最優(yōu)子結(jié)構(gòu)和貪婪性質(zhì)自頂向下計(jì)算最優(yōu)解。Huffman算法實(shí)現(xiàn)要點(diǎn)：（1）【參數(shù)和返回值】參數(shù)：字符集C及頻數(shù)數(shù)組及個

18、數(shù)；返回值：返回二叉樹（2）【數(shù)據(jù)設(shè)置】需要最小優(yōu)先隊(duì)列Q；循環(huán)控制變量i（整數(shù)）（3）【關(guān)鍵代碼】需要先實(shí)現(xiàn)二叉樹的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)單源最短路徑算法實(shí)現(xiàn)要點(diǎn)（與prim算法類似）：（1）【參數(shù)和返回值】參數(shù)：圖形矩陣W（浮點(diǎn)型）及頂點(diǎn)數(shù)n （整型）及源點(diǎn)s（整型）返回值：返回key和pi的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（2）【數(shù)據(jù)設(shè)置】需要浮點(diǎn)型數(shù)組d和整型數(shù)組pi，需要最小優(yōu)先隊(duì)列Q；需要頂點(diǎn)變量u和v（整數(shù)）（3）【關(guān)鍵代碼】需要先實(shí)現(xiàn)動態(tài)優(yōu)先隊(duì)列第六章廣度優(yōu)先搜索BFS算法實(shí)現(xiàn)要點(diǎn)：（1）【參數(shù)和返回值】數(shù)據(jù)類型：圖的鄰接表數(shù)組adj和圖的頂點(diǎn)個數(shù)n，隊(duì)列操作過程：隊(duì)列的創(chuàng)建、判空、入隊(duì)、出隊(duì)，隊(duì)列需要指向隊(duì)首和隊(duì)

19、尾的指針head和trail參數(shù)：鄰接表表示的圖g和源點(diǎn)s；返回值：返回?cái)?shù)組p和d構(gòu)成的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（2）【數(shù)據(jù)設(shè)置】為了提高可讀性，定義枚舉類型Color，包含顏色WHITE、GRAY和BLACK。聲明隊(duì)列Q，表示計(jì)算結(jié)果數(shù)組color（枚舉類型）、d（整型）和pi（整型 ）；臨時變量u和v（整型）（3）【關(guān)鍵代碼】頂點(diǎn)從0n-1編號。最短路徑距離d中用整型最大值INT_MAX代替；父結(jié)點(diǎn)數(shù)組；中空指針NIL用-1表示；要輸出路徑還需要實(shí)現(xiàn)PRINT-PATHS算法深度優(yōu)先搜索DFS算法實(shí)現(xiàn)要點(diǎn)：（1）【參數(shù)和返回值】 數(shù)據(jù)類型：圖的鄰接表數(shù)組adj和圖的頂點(diǎn)個數(shù)n，棧操作過程：棧的創(chuàng)建、判空、

20、入棧、出棧，棧需要指向棧頂和棧底的指針top和bottom參數(shù)：鄰接表表示的圖g和源點(diǎn)s；返回值：返回?cái)?shù)組，d和f構(gòu)成的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（2）【數(shù)據(jù)設(shè)置】為了提高可讀性，定義枚舉類型Color，包含顏色WHITE、GRAY和BLACK。聲明棧S，表示計(jì)算結(jié)果數(shù)組color（枚舉類型）、d（整型）、f （整型）和pi（整型 ）臨時變量u，v和s（整型）（3）【關(guān)鍵代碼】頂點(diǎn)從0n-1編號。父結(jié)點(diǎn)數(shù)組；中空指針NIL用-1表示；需要考慮如何實(shí)現(xiàn)第13行：if $vÎ Adju and colorv = WHITE第十章泛型程序設(shè)計(jì)的主要思想將算法從特定的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中抽象出來，成為通用的、可以作用于各種不同的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。概念（concept）：用來界定具備一定功能的數(shù)據(jù)類型，如“支持<運(yùn)算符”的數(shù)據(jù)類型構(gòu)成Comparable這一概念；模型（model）：符合一個概念的數(shù)據(jù)類型稱為該概念的模型，如int型是Comparable概念的模型。STL就是建立在模板函數(shù)和模板類基礎(chǔ)之上的功能強(qiáng)大的庫模板函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)一般化的常用算法（如統(tǒng)計(jì)、排序、查找等）模板類可以實(shí)現(xiàn)支持幾乎所有類型的容器，用來實(shí)現(xiàn)常用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（如鏈表、棧、隊(duì)列、平衡二叉樹等）容器（Container）容器是存放其