高等數(shù)學(xué)：11-5 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用

1、1函數(shù)值的近似計(jì)算函數(shù)值的近似計(jì)算積分的近似計(jì)算積分的近似計(jì)算歐拉歐拉(Euler)公式公式小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)求極限求極限第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用的應(yīng)用 第十一章第十一章 無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)2一、求極限一、求極限 有些未定式的極限有些未定式的極限可以將極限過程中的主要、可以將極限過程中的主要、例例 求求30sinlimxxxx 00解解353030! 51! 31limsinlimxxxxxxxxxx , 0 x將將sinx展開為展開為x = 0的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù).這種方法的優(yōu)點(diǎn)是這種方法的優(yōu)點(diǎn)是:次要成份表示得非常清楚次要成份表示得非常清楚.可以用冪

2、級(jí)數(shù)方法求出可以用冪級(jí)數(shù)方法求出.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用 20! 51! 31limxx61! 31 3 由此例可看出由此例可看出: 這里這里, sinx與其等價(jià)無窮小與其等價(jià)無窮小x相差高階無窮小相差高階無窮小.! 51! 3153 xx這個(gè)高階無窮小不能與分子這個(gè)高階無窮小不能與分子 的的第一項(xiàng)第一項(xiàng)x 抵消抵消,它在極限中是起作用的它在極限中是起作用的.但如果將但如果將sinx用用x代換代換,則相當(dāng)于將這個(gè)起作用的高階無窮則相當(dāng)于將這個(gè)起作用的高階無窮小也略去了小也略去了, 這顯然是錯(cuò)誤的這顯然是錯(cuò)誤的.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用在求極限時(shí)

3、在求極限時(shí),為什么加、減項(xiàng)為什么加、減項(xiàng)的無窮小不能用其等價(jià)無窮小代換的無窮小不能用其等價(jià)無窮小代換.4函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用二、函數(shù)值的近似計(jì)算二、函數(shù)值的近似計(jì)算用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式,常用方法常用方法1.若余項(xiàng)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)若余項(xiàng)是交錯(cuò)級(jí)數(shù),則可用余和的首項(xiàng)來解決則可用余和的首項(xiàng)來解決;2.若不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)若不是交錯(cuò)級(jí)數(shù),則放大余和中的各項(xiàng)則放大余和中的各項(xiàng),使之成使之成為等比級(jí)數(shù)或其它易求和的級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)或其它易求和的級(jí)數(shù),從而求出其和從而求出其和.可以在展開式有效可以在展開式有效的區(qū)間內(nèi)計(jì)算函數(shù)的近似值的區(qū)間內(nèi)計(jì)算函數(shù)的近似值, 而且可達(dá)到預(yù)先

4、指而且可達(dá)到預(yù)先指定的精度要求定的精度要求.5例例.10,5 使使其其誤誤差差不不超超過過的的近近似似值值計(jì)計(jì)算算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用余和余和: :)2)(3(1211()!1(1 nnnn)!1(1 n!1nn 510! nn1111)!1(1 nn )!3(1)!2(1)!1(1nnnrn 1( 11n 2)1(1n510 )6322560!88 而而 e71828. 2 510 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用! 81! 31! 2111 用級(jí)數(shù)作近似計(jì)算時(shí)用級(jí)數(shù)

5、作近似計(jì)算時(shí),這樣估計(jì)誤差這樣估計(jì)誤差,常將其余和放大常將其余和放大為幾何級(jí)數(shù)為幾何級(jí)數(shù).因此計(jì)算量要小一些因此計(jì)算量要小一些.在一般情況下在一般情況下,泰勒公式比用拉格朗日估計(jì)誤差的精度更好泰勒公式比用拉格朗日估計(jì)誤差的精度更好,7例例.,9sin! 3sin03并估計(jì)誤差并估計(jì)誤差的近似值的近似值計(jì)算計(jì)算利用利用xxx 解解20sin9sin0 3)20(6120 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 510 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其誤差不超過其誤差不超過 510 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用8函數(shù)

6、的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用三、積分的近似計(jì)算三、積分的近似計(jì)算有些初等函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)有些初等函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)故其定積分就不能用牛頓故其定積分就不能用牛頓-萊布尼茨萊布尼茨但如果這些函數(shù)在積分區(qū)間上能但如果這些函數(shù)在積分區(qū)間上能表示表示,公式計(jì)算公式計(jì)算.能展開成冪級(jí)數(shù)能展開成冪級(jí)數(shù), 性質(zhì)來計(jì)算這些定積分性質(zhì)來計(jì)算這些定積分. 則可利用冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分則可利用冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分9例例.10,dsin410 精確到精確到的近似值的近似值計(jì)算計(jì)算xxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的

7、交錯(cuò)級(jí)數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用被積函數(shù)被積函數(shù)xxsin的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示.由于由于x = 0是是xxsin的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn),故定義故定義 0sinxxx這樣這樣被積函數(shù)在被積函數(shù)在0, 1上上連續(xù)連續(xù). 展開展開,sinxx得得 10 xd 10 xd, 1sinlim0 xxx10第四項(xiàng)第四項(xiàng)30001!771 ,104 取前三項(xiàng)作為積分的近似值取前三項(xiàng)作為積分的近似值,得得! 551! 3311dsin10 xxx9461. 0 例例.10,dsin410 精確到精確到的近似值的近似值計(jì)算計(jì)算xxx函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)

8、用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用 ! 771! 551! 3311dsin10 xxx11復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))1()()()(2211 nnivuivuivu), 3 , 2 , 1(, nvunn其中其中函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用四、歐拉四、歐拉(Euler)公式公式為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù)為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù).若若,1 nnuu,1 nnvv則稱級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù))(1nnnivu 收斂收斂,且其和為且其和為.ivu 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的概念復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的概念若若 2222222121nnvuvuvu收斂收斂,則則,1 nnu 1nnv絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂, 稱復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1

9、)絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂.Euler(1707 1783)是瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家是瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家12 ! 212nxxxenx )!12()1(! 5! 3sin12153nxxxxxnn )!2()1(! 4! 21cos242nxxxxnn函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用 nixixnixixe)(!1)(! 2112xixsincos xcosxsin三個(gè)基本展開三個(gè)基本展開式式)!2()1(! 211(22 nxxnn)!12()1(! 31(123 nxxxinn13xixeixsincos ieexeexixixixix2sin2cosxixeixsincos 又又

10、 揭示了三角函數(shù)和復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的揭示了三角函數(shù)和復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的一種關(guān)系一種關(guān)系.)sin(cosyiyeexiyx 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用歐拉歐拉(Euler)公式公式14歐拉公式的證明歐拉公式的證明求極限求極限 (求未定式的極限求未定式的極限)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用五、小結(jié)五、小結(jié)積分的近似計(jì)算積分的近似計(jì)算函數(shù)值的近似計(jì)算函數(shù)值的近似計(jì)算15函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用思考題思考題計(jì)算計(jì)算.)1(sincos1lim34222260 xxxxxx 解解因?yàn)橐驗(yàn)?xx22sincosnnnxn20)4()!2()1(8181 )!2()1(! 4! 21cos242nxxxxnnnnnxn211)4()!2(8)1( ! 684! 48466442xxx 642453234xxx又又 3422)1(xx所以所以,92341422