經典力學課件：第3章運動定理（2）功與能

1、第三章第三章牛頓力學的運動定理牛頓力學的運動定理（二）能量（二）能量3.2 3.2 功與能功與能一一功（功（workwork）1.1. 恒力對直線運動著的質點所作的功恒力對直線運動著的質點所作的功mmFFFnabr設質點在力設質點在力F F作用下沿直線運動，從作用下沿直線運動，從a a點到點到b b點，其位移為點，其位移為rr， F F與與rr的夾角為的夾角為 。 n說明說明F F對該質點所作的功對該質點所作的功A A為為cosAFrFr n定義：定義：功功A A是標量。是標量。若若/20A0，F(xiàn) F對質點作正功對質點作正功若若/2/2，A0A0A0，力作正功，導致動能增加，外部輸入能量給質點

2、；，力作正功，導致動能增加，外部輸入能量給質點；若若A0A0，力作負功，導致動能減少，質點輸出能量給外部。，力作負功，導致動能減少，質點輸出能量給外部。 動能定理是質點在運動過程中的功能關系，這個概念不能擴動能定理是質點在運動過程中的功能關系，這個概念不能擴大到其它含義，比如摩擦力作功與熱能的關系。大到其它含義，比如摩擦力作功與熱能的關系。1.1. 質點系的動能與動能定理質點系的動能與動能定理設質點系有設質點系有N N個質點。第個質點。第i i個質點：個質點：外力外力內力內力iFiijjiff力作功力作功0iiexiinikikAAAEE外力內力作功之和外力內力作功之和00iiexiiniii

3、ikikkkiiAAAAEEEEn 上式即為質點系的動能定理n 質點系的動能定理： 作用于質點系的所有外力所作功與所有內力所作功的總和等作用于質點系的所有外力所作功與所有內力所作功的總和等于質點系動能的增量。于質點系動能的增量。n 注意 質點系動量定理是矢量式，而質點系動能定理是標量式質點系動量定理是矢量式，而質點系動能定理是標量式。 質點系動量定理與質點系動能定理是相互獨立的。質點系動量定理與質點系動能定理是相互獨立的。 內力雖成對出現(xiàn)，但內力功的和不一定為零（因為各質點位內力雖成對出現(xiàn)，但內力功的和不一定為零（因為各質點位移不一定相同）。移不一定相同）。 內力的作用不改變體系的總動量，但一

4、般要改變體系的總動內力的作用不改變體系的總動量，但一般要改變體系的總動能。能。 2.2. 外力作功分析外力作功分析 外力作得總功是各個外力對各個質點作功之和，并非合外力外力作得總功是各個外力對各個質點作功之和，并非合外力作功；作功； 00iiiiPPexiexiexiiexPPiiiAAFdrFdr 當滿足當滿足 時的特例時的特例iexioFm a0000()iiiciiiiciiPPexiexiiexcPPiiPPiexciexPPiiAFdrFd rrFdrFdr第一項第一項000iiiiiiPPPiexciexccPPPiiFdrFdrFdr 為系統(tǒng)的合外力對質點系質心作的功000000

5、0000000iiciciciiiiciciiiiPPPiexiexiPPPiiiPPiiPPiittiiciicttiiFdrFdrm adrdram dramdtdtam v dtam v第二項第二項 當滿足Fiex= mia0時，外力對質點系所作的功等于質點都集中在質心處，合外力對質心所作的功例如例如 重力作功重力作功iexiFm gk 000000()iiiiccrrexiiiirriiiiiiiiiiiiircccrAm gkdrgkm drm rm rgkmrrM gkMMM gkrrM gkdr 3.3. 內力作功之和與參照系無關內力作功之和與參照系無關 考慮質點系中任意兩個質點

6、考慮質點系中任意兩個質點 m mi i，m mj j 相互作用力（內力）為相互作用力（內力）為 f fij ij，f fji ji 在靜止參照系在靜止參照系S S下，下，t t時刻，速度為時刻，速度為v vi i，v vj j 在運動參照系在運動參照系SS ，在，在t t時刻，速度分別為時刻，速度分別為 v vi i，v vj j 運動參照系運動參照系SS 相對相對S S的速度為的速度為 v vo o應有應有,iiojjovvvvvv在在SS系，一對內力作的元功系，一對內力作的元功()()()()()()ijijijjiijijijijojioijijijijijioijijjdAdAfvfv

7、dtfvfvdtfvfvdtfvfvdtffv dtAdAfdf n 一對內力作的功與參照系無關一對內力作的功與參照系無關()ijijijijijijijijijijdAdAfdrfdrfv dtfv dtfvfvdt在在S S系，一對內力作的元功為系，一對內力作的元功為結論一對內力作功與參照系的選擇無關。推論質點系的全部內力作功之和（總功）與參照系無關計算一對內力所作的功，最佳參照系是選擇其中一個質點為參照物，并以該質點為坐標原點。因為因為 f fijij 和和 drdrijij 與參照系無關，所以質點系內的所有內力與參照系無關，所以質點系內的所有內力作的總功與參照系無關。作的總功與參照系無

8、關。體系的所有內力之和為零，但內力作的總功一般并不為零。體系的所有內力之和為零，但內力作的總功一般并不為零。n N N個質點的質點系個質點的質點系內力作的功為內力作的功為000()iijijiijijrrriniinijiijijijijrrriijijijijijijijrrAAfdrdrd rrfdrf drrdrdrij=，）rjrijrijrirjririrjrjrijrijri rjrij rijrijmimimjmjo例如：木塊例如：木塊m m和斜面和斜面M M系統(tǒng)，所有接觸面都光滑，考慮內力作功系統(tǒng)，所有接觸面都光滑，考慮內力作功N N 不垂直于不垂直于 v v1 1，A AN

9、N 00NN不垂直于不垂直于 v v2 2，A ANN0012Nv12Ndr即 0inNNAAA3.3 3.3 質點系的機械能定理質點系的機械能定理一一保守力與非保守力保守力與非保守力n保守力的定義（文字描述）：保守力的定義（文字描述）：力對質點所作的功與路徑無關，僅與質點的始末位置有關，力對質點所作的功與路徑無關，僅與質點的始末位置有關，這種力稱為這種力稱為保守力保守力；n保守力等價定義（數(shù)學描述）：保守力等價定義（數(shù)學描述）：對質點沿任意閉合回路作功為零的力叫對質點沿任意閉合回路作功為零的力叫保守力保守力n非保守力非保守力凡所功不僅與始、末位置有關，而且與具體路徑有關，或沿凡所功不僅與始、

10、末位置有關，而且與具體路徑有關，或沿任一閉合路徑一周作功不為零的力稱為任一閉合路徑一周作功不為零的力稱為非保守力非保守力。 ，稱為稱為耗散力耗散力（如滑動摩擦力（如滑動摩擦力），將），將機械能轉化機械能轉化為為熱能熱能。 ，（如，（如爆炸力），將其他形態(tài)的爆炸力），將其他形態(tài)的能能 （如化學能、電磁能）轉化為如化學能、電磁能）轉化為機械能。機械能。0Fdr0Fdrn保守系保守系在質點系內所有內力都是保守力，這樣的質點系稱為在質點系內所有內力都是保守力，這樣的質點系稱為保守保守（體）系（體）系。 更具普遍的意義更具普遍的意義環(huán)流為零的力場是環(huán)流為零的力場是 保守場保守場。如靜電場力的環(huán)流也是零，

11、所如靜電場力的環(huán)流也是零，所以靜電場也是保守場。以靜電場也是保守場。環(huán)流不為零的矢量場環(huán)流不為零的矢量場是是 非保守場非保守場。如磁場。如磁場。保守力的另一判據(jù)保守力的另一判據(jù)0FyyzzxxFFFFFFFijkyzzxxyn保守力的數(shù)學判據(jù)：保守力場的旋度恒為零保守力的數(shù)學判據(jù)：保守力場的旋度恒為零據(jù)據(jù) stokes stokes 公式公式數(shù)學形式為數(shù)學形式為二二質點系的勢能質點系的勢能例例1 1 重力場重力場 物體物體m m與地球與地球M M合為一個質點系統(tǒng)，重力為保守力合為一個質點系統(tǒng)，重力為保守力（內力）。重力作功為（內力）。重力作功為其中其中( )PEzmgz0( )()conPPA

12、EzEz 或或0( )()conPPAEzEz例例2 2 彈簧彈力彈簧彈力 物體物體m m與地球與地球M M視為合系統(tǒng)，彈力為保守力（內視為合系統(tǒng)，彈力為保守力（內力）。彈力作功為力）。彈力作功為其中其中21()2PExkx0()()conPPAExEx0()()conPPAErEr例例3 3 萬有引力萬有引力 二質點系統(tǒng)，萬有引力是保守力（內力）。二質點系統(tǒng)，萬有引力是保守力（內力）。萬有引力作功為萬有引力作功為其中其中()PM mErGr n勢能勢能（ PotentialPotential） 定理：對于保守力場，可以定義一個標量函數(shù)定理：對于保守力場，可以定義一個標量函數(shù) E EP P(r

13、)(r)，稱為勢，稱為勢能（或勢函數(shù)、位能），使保守力作用質點運動從空間位置能（或勢函數(shù)、位能），使保守力作用質點運動從空間位置r rA A到到r rB B所作的功為（證明從略）：所作的功為（證明從略）：()()()ABrrPBPAAErEr E EP P(r)(r)是標量形式函數(shù)，它僅取決于質點系各質點的相對位置是標量形式函數(shù)，它僅取決于質點系各質點的相對位置（位形），所以是位形函數(shù)：（位形），所以是位形函數(shù)：E EP P（x x，y y，z z）勢能是相對性的。為確定質點系在任一給定位置的勢能值，勢能是相對性的。為確定質點系在任一給定位置的勢能值，必須選定某一位置為參考位置（勢能零點）。而

14、勢能零點可必須選定某一位置為參考位置（勢能零點）。而勢能零點可根據(jù)問題的需要任意選擇。根據(jù)問題的需要任意選擇。零點勢能的確定：令零點勢能的確定：令 E EP P(r(r0 0) ) 0 0，并以，并以r r0 0為系統(tǒng)的零位形點，為系統(tǒng)的零位形點，最為簡單。最為簡單。nE EP P(r)(r)的幾點說明：的幾點說明：E EP P(r)(r)描述了系統(tǒng)具有潛在的作功能力，描述了系統(tǒng)具有潛在的作功能力，E EP P(r)(r)的變化度量了的變化度量了保守力所作的功保守力所作的功保守力作正功，保守力作正功， E EP P(r)(r) E EP P(r(r0 0) 0) 0) 0，使得勢能增大，使得勢

15、能增大實質上勢能是相互作用能，屬于有保守力作用的體系（質點實質上勢能是相互作用能，屬于有保守力作用的體系（質點系，對應一對內力作功之和系，對應一對內力作功之和) )。這也是為什么從保守內力作。這也是為什么從保守內力作功的概念引入功的概念引入E EP P(r)(r)。勢能不依賴于參考系的選擇（一對內力作功之和與參照系選勢能不依賴于參考系的選擇（一對內力作功之和與參照系選擇無關），不要將勢能零點的選擇與參考系的選擇相混淆。擇無關），不要將勢能零點的選擇與參考系的選擇相混淆。nE EP P(r)(r)的幾點說明：的幾點說明：000( )( )( )( )( )rrconconPPPrrPconPco

16、nAfdrdErErErdErfdrordErfdr 即即( )conPfEr ijkxyz 為哈密頓算子為哈密頓算子,PPPconxconconzEEEfffxyz yn用勢能求保守力用勢能求保守力例：重力例：重力( )PdmgzkfEzmgkdz 2oGMmGMmfijkrxyzrr 例：引力例：引力例：彈簧彈力例：彈簧彈力212PdfExkxikxidx() 三三勢能曲線勢能曲線表示勢能表示勢能E EP P(r)(r)與質點相對位置與質點相對位置r r關系的曲線為關系的曲線為勢能曲線勢能曲線用勢能曲線求系統(tǒng)的平衡位置及判斷平衡穩(wěn)定性用勢能曲線求系統(tǒng)的平衡位置及判斷平衡穩(wěn)定性平衡位置平衡位

17、置當物體系的互作用力當物體系的互作用力f f 0 0，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，該處的位形，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，該處的位形為平衡位形為平衡位形由由 求得對應平衡位置求得對應平衡位置r r0 0()0PErr重力勢能重力勢能引力勢能引力勢能引力勢能引力勢能彈力勢能彈力勢能雙原子分子的勢能曲線雙原子分子的勢能曲線斥力斥力吸引力吸引力平衡點平衡點平衡的穩(wěn)定性平衡的穩(wěn)定性0022( )0,0PPrrErErr穩(wěn)定平衡，滿足穩(wěn)定平衡，滿足0022()0,0PPrrErErr不穩(wěn)定平衡，滿足不穩(wěn)定平衡，滿足002200PPrrErErr(),隨遇平衡，滿足隨遇平衡，滿足例：雙原子分子系統(tǒng)的勢能函數(shù)滿足例：雙原子分子

18、系統(tǒng)的勢能函數(shù)滿足Lennard-JonesLennard-Jones勢勢1260002PrrEVrr137137000000000121212( )PErrVrrf rVrrrrrrrr ( )0PEf rr 令令求得平衡位置求得平衡位置0rr0,0rrf 當當斥力斥力0,0rrf 當當引力引力00148200002220012721370PrrVrrVErrrrr 因為因為所以在所以在r rr r0 0處是穩(wěn)定平衡狀態(tài)處是穩(wěn)定平衡狀態(tài)四四功能原理與機械能守恒功能原理與機械能守恒0exinKKAAAEE由質點系的動能定理：由質點系的動能定理：其中其中connconAA、分別是保守內力和非保守

19、內力所作的功分別是保守內力和非保守內力所作的功inconnconAAA0conPPAEE而而則有則有0000()()()()exnconKKPPexnconKPKPAAEEEEAAEEEE定義：定義： 為系統(tǒng)的機械能為系統(tǒng)的機械能( )( )( )KPE tEtEtn 功能原理 （work-energy theorem），也稱機械能定理質點系統(tǒng)的外力作功和非保守內力作功之和等于系統(tǒng)機械能質點系統(tǒng)的外力作功和非保守內力作功之和等于系統(tǒng)機械能的變化量，即：的變化量，即：A Aex ex + A+ Anconncon = E(t) E(t = E(t) E(t0 0) )若若 A Aex ex +

20、A+ Anconncon 0 0，體系的機械能增加，體系的機械能增加若若 A Aex ex + A+ Anconncon 0 0 0，能量交換（如炸彈爆炸），能量交換（如炸彈爆炸）A Anconncon 0 0 0， E E增加，外界對系統(tǒng)輸入能量；增加，外界對系統(tǒng)輸入能量；A Aex ex 0M 拋擲體的質量拋擲體的質量 m m，則，則 u u 是個很小的量。是個很小的量。另一方面，也正因為輪船的質量很大，盡管速率的改變另一方面，也正因為輪船的質量很大，盡管速率的改變 u u 很小，很小，而動能的改變卻是頗為可觀的。而動能的改變卻是頗為可觀的。2220000111()222M vuMvMv

21、uMuMv un 問題分析問題分析n 問題分析問題分析相對于相對于“靜止靜止”參考系，物體動能的增長誠然是參考系，物體動能的增長誠然是 16 16 焦耳（向前焦耳（向前擲的情況）或擲的情況）或 0 0 焦耳（向后擲的情況），然而這并不等于所需作焦耳（向后擲的情況），然而這并不等于所需作的功，所需作的功應等于的功，所需作的功應等于“輪船輪船拋擲體拋擲體”系統(tǒng)的動能的增長；系統(tǒng)的動能的增長；必須計及輪船的動能的改變才可以得出正確的結果。必須計及輪船的動能的改變才可以得出正確的結果。 為了計算拋擲物體所需的功，竟需要計及輪船的運動情況的改變，這無疑是很不方便的。 因為輪船質量遠遠超過物體的質量，因為

22、輪船質量遠遠超過物體的質量，“輪船輪船拋擲體拋擲體”系統(tǒng)的質心系統(tǒng)的質心實際上也就是輪船的質心，輪船相對于它自己的質心，當然是始終實際上也就是輪船的質心，輪船相對于它自己的質心，當然是始終靜止的。靜止的。在質心坐標系中，輪船的動量始終是零，無需特別計及輪船動能；在質心坐標系中，輪船的動量始終是零，無需特別計及輪船動能；在質心系中，物體的速率也就是它相對于輪船的速率，不論向前擲在質心系中，物體的速率也就是它相對于輪船的速率，不論向前擲或向后擲，物體的速率都是從或向后擲，物體的速率都是從 0 0 變?yōu)樽優(yōu)?4 4米米/ /秒，動能的增長都是秒，動能的增長都是 8 8 焦耳。據(jù)動能定理，應對它作功焦

23、耳。據(jù)動能定理，應對它作功 8 8 焦耳，與在岸上拋擲物體的情焦耳，與在岸上拋擲物體的情況相同。況相同。 這里可以看到質心坐標系的優(yōu)越處：無需計算輪船運動的改變就能得出正確的結果。 n 選取選取“輪船輪船拋擲體拋擲體”系統(tǒng)的質心系則比較方便。系統(tǒng)的質心系則比較方便。例：計算第三宇宙速度。從地面出發(fā)的火箭如具有第三宇宙速度，例：計算第三宇宙速度。從地面出發(fā)的火箭如具有第三宇宙速度，不僅能夠脫離地球，而且可以逸出太陽系。不僅能夠脫離地球，而且可以逸出太陽系。 【解解】由于由于火箭、太陽系統(tǒng)火箭、太陽系統(tǒng)的機械能守恒，火箭要逸出太陽系，其機的機械能守恒，火箭要逸出太陽系，其機械能械能 E E 至少應

24、等于零。在地球這樣的距離上，這個判據(jù)成為：至少應等于零。在地球這樣的距離上，這個判據(jù)成為： 21102MmEmvGR這里這里 R R1 1 為地球與太陽的距離。由上式解得：為地球與太陽的距離。由上式解得： 12/42.2 /vGM R千米 秒說明，在地球這樣的距離，物體必須具有說明，在地球這樣的距離，物體必須具有42.2 42.2 千米千米/ /秒的速率才可以秒的速率才可以逸出太陽系而飛往其他恒星。但這里沒有計及地球的引力，上面的逸出太陽系而飛往其他恒星。但這里沒有計及地球的引力，上面的 42.242.2千米千米/ /秒應當是已脫離了地球引力范圍時的速率。那么火箭從地面秒應當是已脫離了地球引力

25、范圍時的速率。那么火箭從地面出發(fā)時相對于地球的速率出發(fā)時相對于地球的速率vv 應當多大呢？應當多大呢？ 先選用先選用“靜止靜止”（相對于太陽為靜止）參考系，火箭已脫離了地球（相對于太陽為靜止）參考系，火箭已脫離了地球引力范圍時的動能應為引力范圍時的動能應為 (1/2)(1/2)mvmv2 2，這時火箭，這時火箭地球勢能為地球勢能為 0 0。為了用最小的速度達到目的，應當沿地球公轉方向發(fā)射火箭，以最為了用最小的速度達到目的，應當沿地球公轉方向發(fā)射火箭，以最大限度地利用地球的公轉動能。大限度地利用地球的公轉動能?？紤]到地球公轉速率為考慮到地球公轉速率為29.829.8千米千米/ /秒秒，火箭以相對

26、速率從地面出發(fā)，火箭以相對速率從地面出發(fā)時的動能為時的動能為 (1/2)(1/2)m m( (v v+29.8)+29.8)2 2 。因為萬有引力是保守力，我們可。因為萬有引力是保守力，我們可以運用機械能守恒原理：以運用機械能守恒原理： 22211(29.8)(42.2)22RmgRm vm 其中其中 R R 為地球半徑。由此求得：為地球半徑。由此求得： 22422112298127. /v 千千米米 秒秒但這結果是完全錯誤的。 在火箭逸出地球引力范圍的過程中，地球相對于在火箭逸出地球引力范圍的過程中，地球相對于“靜止靜止”參考系的參考系的速率也隨之而變。由于地球質量很大，這個速率變化很小。速

27、率也隨之而變。由于地球質量很大，這個速率變化很小。正因為地球質量很大，盡管速率變化很小，動能的改變卻頗為可觀。正因為地球質量很大，盡管速率變化很小，動能的改變卻頗為可觀。必須考慮地球動能的改變才可以得出正確的結果。必須考慮地球動能的改變才可以得出正確的結果。為了計算火箭的速率，竟需要考慮地球運動情況的改變，這是太不為了計算火箭的速率，竟需要考慮地球運動情況的改變，這是太不方便了。方便了。 選取選取“地球地球火箭火箭”系統(tǒng)的質心坐標系系統(tǒng)的質心坐標系則比較方便，因為地球的質則比較方便，因為地球的質量遠遠超過火箭的質量，量遠遠超過火箭的質量，“地球地球火箭火箭”系統(tǒng)的質心實際上也就是系統(tǒng)的質心實際

28、上也就是地球的質心。地球相對于它自己的質心，當然是始終靜止的。在質地球的質心。地球相對于它自己的質心，當然是始終靜止的。在質心坐標系中，地球的動能始終為心坐標系中，地球的動能始終為 0 0，無需特別計及地球的動能。，無需特別計及地球的動能。 在在“地球地球- -火箭系統(tǒng)火箭系統(tǒng)”質心系中質心系中，火箭已脫離了地球引力范圍的動，火箭已脫離了地球引力范圍的動能應為能應為(1/2)m(42.2(1/2)m(42.229.8)29.8)2 2 ，其時，其時“地球地球火箭火箭”勢能為零。勢能為零。火箭以相對速率火箭以相對速率 vv從地面出發(fā)時的動能為從地面出發(fā)時的動能為 (1/2)mv(1/2)mv2

29、2 。因為萬有引力是保守力，可以運用機械能守恒原理：因為萬有引力是保守力，可以運用機械能守恒原理： 22211(42.229.8)22RmgRmvm 由此求得第三宇宙速度：由此求得第三宇宙速度： 22(42.229.8)11.216.7 /v千米 秒 這樣，無需計算地球運動情況的改變，就能求得正確的第三宇宙這樣，無需計算地球運動情況的改變，就能求得正確的第三宇宙速度。速度。 n 質點系動力學的困難：質點系動力學的困難：質點系的運動定理可以解決系統(tǒng)總的運動趨向或者某些運動特征。但質質點系的運動定理可以解決系統(tǒng)總的運動趨向或者某些運動特征。但質點間的相互作用（內力）對各質點的運動有影響，并且，這些

30、相互作用點間的相互作用（內力）對各質點的運動有影響，并且，這些相互作用會隨質點運動而變，其變動規(guī)律很復雜。例如每兩個質點間的萬有引力會隨質點運動而變，其變動規(guī)律很復雜。例如每兩個質點間的萬有引力的指向隨質點運動而變。的指向隨質點運動而變。原則上，對各質點分隔，可以寫出各質點的運動微分方程，并對方程求原則上，對各質點分隔，可以寫出各質點的運動微分方程，并對方程求解，從而獲得問題的解決。解，從而獲得問題的解決。實際上，質點系的質點越多，其微分方程組就越大。如：實際上，質點系的質點越多，其微分方程組就越大。如：1010個質點有個質點有1010個個微分方程，即微分方程，即3030個分量的二階微分方程組

31、，按消去法，將得到個分量的二階微分方程組，按消去法，將得到6060階微分方階微分方程，階數(shù)達程，階數(shù)達6060階，計算量太大，必須用大型計算機求數(shù)值解。階，計算量太大，必須用大型計算機求數(shù)值解。質點動力學問題的困難在于運動方程的解算，通常也不要求質點系動力質點動力學問題的困難在于運動方程的解算，通常也不要求質點系動力學問題的嚴格解。學問題的嚴格解。兩體問題兩體問題是指兩個質點構成的質點系，它們彼此以內力相互是指兩個質點構成的質點系，它們彼此以內力相互作用，并不受外力作用作用，并不受外力作用（或者兩質點受外力指向相同且力的（或者兩質點受外力指向相同且力的大小與各自質點質量成正比），大小與各自質點

32、質量成正比），求解各質點的運動規(guī)律問題。求解各質點的運動規(guī)律問題。如圖取一慣性系，設質量分別為如圖取一慣性系，設質量分別為 m m1 1 和和 m m2 2 的兩質點，位矢和的兩質點，位矢和速度分別為速度分別為 r r1 1、r r2 2 和和 v v1 1、v v2 2 ，質心的質量與位矢分別為質心的質量與位矢分別為 m mc c 和和 r rC C，則有：，則有： 12cmmm 1 12 2c12m rm rrmm 表明質心作勻速直線運動，于是該質心系是慣性系。表明質心作勻速直線運動，于是該質心系是慣性系。設設 m m1 1、 m m2 2 在質心系中的坐標分別為在質心系中的坐標分別為 r

33、 rc1c1、r rc2c2 ，有：，有： 1 12 22111121212ccm rm rmrrrrrrmmmm() cvm rm rmrrrrrrmmmm 1 12 21222121212()220CCd rmdt 孤立體系：孤立體系：n 兩質點體系的質心位置兩質點體系的質心位置 于是知于是知 r rC1C1 / r / rC2 C2 ，且可得如下結論：，且可得如下結論： 質心在兩質點的連線上；質心在兩質點的連線上； 質點與質心的距離反比于質點的質量。質點與質心的距離反比于質點的質量。 n 兩體問題的動力學方程兩體問題的動力學方程 若若m m1 1 m u u2 2 。 兩小球碰撞過程動量

34、守恒，兩小球碰撞過程動量守恒，有方程有方程 m um um vm v11221122 n 正碰的兩個階段正碰的兩個階段 在碰撞的短暫時間在碰撞的短暫時間t t 內，兩小球首先相互接觸，接著相互擠壓，內，兩小球首先相互接觸，接著相互擠壓，兩球分別產生形變和試圖恢復形變的力。兩球分別產生形變和試圖恢復形變的力。 在在 u u1 1 u u2 2 的情況下，的情況下，m m1 1 速度漸小，速度漸小， m m2 2 速度漸大，直至變?yōu)橥俣葷u大，直至變?yōu)橥凰俣?，達到最大壓縮狀態(tài)。這個階段稱為一速度，達到最大壓縮狀態(tài)。這個階段稱為壓縮階段壓縮階段。 隨后，由于兩小球形變逐漸恢復，隨后，由于兩小球形變

35、逐漸恢復， m m1 1 速度繼續(xù)減小，速度繼續(xù)減小， m m2 2 速度繼速度繼續(xù)增大，兩小球速度分別達到續(xù)增大，兩小球速度分別達到 v v1 1 和和 v v2 2 后開始分離。這是后開始分離。這是恢復階恢復階段段。 兩球速度不等兩球速度不等 兩球速度相等，彈性力作用，球體變形。設彈性兩球速度相等，彈性力作用，球體變形。設彈性力對力對m2 m2 的沖量為的沖量為 I I，有：，有： 消去消去 v v，得：，得： n 壓縮階段分析壓縮階段分析111222 m vm uIm vm uI 121211 ()uuImm 或：或：12 ()Iuu 其中其中 ，為，為約化質量約化質量（折合質量折合質量

36、）1212m mmm n 恢復階段分析恢復階段分析消去消去 v v，得：，得： 211211 vvJmm 兩球速度相等兩球速度相等 兩球分開，變形逐逐漸恢復。設彈性力對兩球分開，變形逐逐漸恢復。設彈性力對 m m2 2 的的沖量為沖量為 J J，有：，有： 1 11222 m vm vJm vm vJ 或：或：21 ()Jvv 該式可用實驗檢驗，并可用于測定恢復系數(shù)該式可用實驗檢驗，并可用于測定恢復系數(shù) e e對不同材料的實驗結果為：對不同材料的實驗結果為：0 e 10 e m m2 2 時，有：時，有： v v1 1 0 0 ，入射球碰后仍向前運動；入射球碰后仍向前運動；b.b. m m1

37、1 m m2 2 時，有：時，有： v v1 1 0 0 ，入射球碰后反向運動；入射球碰后反向運動；c.c. m m1 1 m m m2 2 時，有：時，有： v v1 1uu1 1， v v2 22 u2 u1 1，大球幾乎以原來的速度繼，大球幾乎以原來的速度繼續(xù)前進，小球以兩倍于大球的速度前進。續(xù)前進，小球以兩倍于大球的速度前進。 p結果討論：結果討論： 22121121122212121211)1 ()1 (ummmemummmevummmeummemmv當當 m m1 1/ m/ m2 2 = 1 = 1 時，該式取到最大值。時，該式取到最大值。這說明，在這說明，在 u u2 2 =

38、0 = 0 ， m m2 2 越接近越接近 m m1 1 時，時，m m1 1 丟失的動能越多。丟失的動能越多。此結論，提供了核反應堆中快中子減速劑選擇的原則之一。通常此結論，提供了核反應堆中快中子減速劑選擇的原則之一。通常選擇重水（含氘）和石墨作為中子減速劑。選擇重水（含氘）和石墨作為中子減速劑。 e.e. m m2 2 所得到的動能所得到的動能E Ek2k2與碰前與碰前 m m1 1 的動能的動能 E Ek1k1 之比為：之比為： 2222121222211212111442112/()(/)kkm vEm mmmEmmmmm u n 完全非彈性碰撞分析完全非彈性碰撞分析 在實驗室參考系內

39、質心的動能是不參與粒子之間反應的，真正有用在實驗室參考系內質心的動能是不參與粒子之間反應的，真正有用的能量，只是高能粒子與靶粒子之間的的能量，只是高能粒子與靶粒子之間的相對動能相對動能-即即資用能資用能p e = 0e = 0，稱為，稱為完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞，兩球碰撞后粘在一起。此時，兩球碰撞后粘在一起。此時 EEkCkC = 0 = 0 ，動能損失最多，為：，動能損失最多，為： 2121 2()kkckcEEEuu p 速度：速度： 1 12 21212cm um uvvvmm n 完全非彈性碰撞分析完全非彈性碰撞分析 p 速度：速度： 若若 m m1 1= m= m2 2 ，則有：

40、，則有：= m= m1 1/2/2，v vC C = u = u1 1/2/2， E EC C = E = EkCkC ，即，即資用能資用能只只占總能量的一半。若按高能粒子的實際情況，要據(jù)相對論力學來計占總能量的一半。若按高能粒子的實際情況，要據(jù)相對論力學來計算，資用能的比例遠較這個數(shù)目小。加速器的能量越高，能量的利算，資用能的比例遠較這個數(shù)目小。加速器的能量越高，能量的利用率越低，這是很不合算的。所以現(xiàn)代的大加速器多采用對撞機的用率越低，這是很不合算的。所以現(xiàn)代的大加速器多采用對撞機的形式，讓相同的高能粒子沿相反方向運動，進行碰撞。這樣，實驗形式，讓相同的高能粒子沿相反方向運動，進行碰撞。這

41、樣，實驗室系和質心系便統(tǒng)一起來，全部能量都是室系和質心系便統(tǒng)一起來，全部能量都是資用能資用能。 2121 2()kkCkCEEEuu 1 1221212cm um uvvvmm n 一般碰撞分析：一般碰撞分析： 22121121122212121211)1 ()1 (ummmemummmevummmeummemmvp 0 e 10 e 1，實際情況。機械能守恒不滿足，一部分能量變?yōu)槁暷軐嶋H情況。機械能守恒不滿足，一部分能量變?yōu)槁暷?，振動能及形變能。，振動能及形變能?若若 m m1 1 m m2 2，u u2 2 = 0 = 0 時，有：時，有： v v1 1 = =eueu1 1， v v2

42、 2 = 0 = 0 。即彈回的小即彈回的小球球 m m1 1 的速度為碰前速度的的速度為碰前速度的 e e 倍。倍。 據(jù)此，得到一個測定物體與地面相碰的恢復系數(shù)的簡便方法。讓物據(jù)此，得到一個測定物體與地面相碰的恢復系數(shù)的簡便方法。讓物體從高度體從高度 H H 自由落下，它落到地面的速度為自由落下，它落到地面的速度為12ugH 11|vheuH 即以此速度與地面相碰撞。碰撞后的反跳速度難以直接測量，但可即以此速度與地面相碰撞。碰撞后的反跳速度難以直接測量，但可以觀測其上升的最大高度以觀測其上升的最大高度 h h。于是恢復系數(shù)為：。于是恢復系數(shù)為： 2.2. 斜碰斜碰 n 碰撞前兩球的速度碰撞前

43、兩球的速度 u u1 1, u, u2 2 不在兩球中心連線上的碰撞叫不在兩球中心連線上的碰撞叫斜碰斜碰n 在一般情況下，斜碰為三維問題，碰撞后的速度在一般情況下，斜碰為三維問題，碰撞后的速度 v v1 1, v, v2 2 不一定在不一定在 u u1 1, u, u2 2 所組成的平面上。所組成的平面上。n 若碰撞前一個小球處在靜止狀態(tài)，即若碰撞前一個小球處在靜止狀態(tài)，即 u u2 2 = 0 = 0，則這種碰撞是二維，則這種碰撞是二維問題。我們只討論這種情況。問題。我們只討論這種情況。 2.2. 斜碰斜碰 在完全彈性碰撞中，動量和能量都守恒，有：在完全彈性碰撞中，動量和能量都守恒，有： 111 122