高等數(shù)學：10-5 對坐標的曲面積分

1、1小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)預備知識預備知識概念的引入概念的引入概念與性質(zhì)概念與性質(zhì)對坐標的曲面積分的計算法對坐標的曲面積分的計算法兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系surface integral第五節(jié)第五節(jié) 對坐標的對坐標的曲面積分曲面積分第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分2觀察以下曲面的側觀察以下曲面的側曲面分曲面分上上側和側和下下側側曲面分曲面分內(nèi)內(nèi)側和側和外外側側1.有向曲面有向曲面 通常光滑曲面都有兩側通常光滑曲面都有兩側. 如流體從曲面的這一側如流體從曲面的這一側流向另一側的流量問題等流向另一側的流量問題等.(假設曲面是光滑的假設曲面是光滑的)對坐

2、標的曲面積分對坐標的曲面積分一、預備知識一、預備知識3n有兩側的曲面有兩側的曲面.規(guī)定規(guī)定(1)雙側曲面雙側曲面2. 曲面的分類曲面的分類法向量法向量的方向來區(qū)分曲面的兩的方向來區(qū)分曲面的兩側側.對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分通過取定正通過取定正負來對應側負來對應側222,cos ,cos,cosxyzxyzF F FFFF :, ,0F x y z4(2) 單側曲面單側曲面莫比烏斯莫比烏斯(Mobius)帶帶.B、C 粘在一起形成的環(huán)粘在一起形成的環(huán)不通過邊界可以不通過邊界可以這在這在雙側曲面雙側曲面上是不能實現(xiàn)的上是不能實現(xiàn)的. .決定了側的曲面稱為決定了側的曲面稱為它是由一張長方形紙條

3、它是由一張長方形紙條ABCD,扭轉一下扭轉一下,將將A、D粘在一起，粘在一起，行帶行帶.小毛蟲在小毛蟲在莫比烏斯帶上莫比烏斯帶上,爬到任何一點去爬到任何一點去.有向曲面有向曲面. .對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分Mobius(1790-1868) 19世紀德國數(shù)學家世紀德國數(shù)學家53. 有向有向曲面在坐標面上的投影曲面在坐標面上的投影.)(表示投影區(qū)域的面積表示投影區(qū)域的面積其中其中xy 設設是是有向曲面有向曲面.,S 曲曲面面為為面上的投影面上的投影在在xySxOyS)( xyS)(時時當當0cos xy)( 時時當當0cos xy)( 時時當當0cos 0 恰好等于恰好等于 與坐標面與坐

4、標面xOy的二面角的二面角.S 假定假定 cosS 的余弦的余弦上各點處的法向量與上各點處的法向量與 z軸的夾角軸的夾角有相同的符號有相同的符號. 在有向曲面在有向曲面取一小塊取一小塊上上 對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分有向曲面與有向平面之間的二面角有向曲面與有向平面之間的二面角06 類似地類似地,可定義可定義 在在yOz面及面及zOx面的投影面的投影:S ,)(yzS , 希自己寫出希自己寫出,)(xyS S 在在xOy面上的面上的投影投影在在xOy面上的投影區(qū)域的面積附以一定的面上的投影區(qū)域的面積附以一定的S 實際上就是實際上就是正負號正負號.zxS)( 、與與坐坐標標面面恰恰好好等等于

5、于yOzS zOx的二面角的二面角.對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分 ()sgn cosyzyzS ()sgn coszxzxS ()sgn cosxyxyS7流向曲面一側的流向曲面一側的流量流量.v cos|vA 流量流量實例實例( 為平面為平面A的的單位單位法向量法向量)n(斜柱體體積斜柱體體積)nvA (1)流速場為流速場為常向量常向量,v有向有向平面平面區(qū)域區(qū)域 A,求單位時間流過求單位時間流過A的流體的質(zhì)量的流體的質(zhì)量 (假定密度為假定密度為1).對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分二、概念的引入二、概念的引入A An 8(2) 設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體kzyxR

6、jzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 給出給出,函數(shù)函數(shù)),(),(),(zyxRzyxQzyxP上上連連續(xù)續(xù)，都都在在 流體的密度與速度流體的密度與速度均不隨時間而變化均不隨時間而變化(假定密度為假定密度為1)的速度場由的速度場由v當當 不是常量不是常量,有向有向 曲面曲面求在單位求在單位時間內(nèi)流向時間內(nèi)流向 指定側的指定側的流體的質(zhì)量流體的質(zhì)量. 是速度場中的一片是速度場中的一片有向曲面有向曲面,對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分9 xyzoiS ivin 分割分割則該點流速為則該點流速為 ，iv法向量為法向量為 .in),(iii iSn 小塊小塊分成分成把曲面把曲面同時也

7、代表同時也代表iS (),小小塊塊曲曲面面的的面面積積第第i上任取一點上任取一點在在iS ),(iii ),(iiiivv kRjQiPiiiiiiiii),(),(),( 對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分10常向量常向量,有向平面有向平面|cos( ,)iiiivv n 求和求和 niiiiSnv1取近似取近似該點處曲面該點處曲面的的單位單位法向量法向量似值為似值為流向指定側的流量的近流向指定側的流量的近通過通過iS iiiSnv )., 2 , 1(ni 高高底底iS cos|vA nvA 對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分通過通過流向指定側的流量流向指定側的流量coscoscosiiiin

8、ijk11iiiiiiiiiniiiiiSRQP cos),(cos),(cos),(1 )(,()(,()(,(1xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP 取極限取極限0 .的的精精確確值值取取極極限限得得到到流流量量 yziiiSS)(cos zxiiiSS)(cos xyiiiSS)(cos 對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分d dcoscoscosx ydydzdzdxdS的來源的來源12,為光滑的有向曲面為光滑的有向曲面設設 ,上上有有界界函函數(shù)數(shù)在在 塊小塊小同時又表示第同時又表示第塊小曲面塊小曲面分成分成把把iSSnii (),曲曲面面的的面面積積,)(xyiiSxOy

9、S 面面上上的的投投影影為為在在,),(上任意取定的一點上任意取定的一點是是iiiiS 如如果果各各小小塊塊時時，曲曲面面的的直直徑徑的的最最大大值值0 1. 定義定義三、概念與性質(zhì)三、概念與性質(zhì)定義定義對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分13 nixyiiiiSR10)(,(lim 上上在在有有向向曲曲面面函函數(shù)數(shù) ),(zyxR的的曲曲面面對對坐坐標標yx,積分積分或稱或稱 yxzyxRdd),(被積函數(shù)被積函數(shù)積分曲面積分曲面存在存在,則稱此極限為則稱此極限為第二類曲面積分第二類曲面積分. nixyiiiiSR10)(,(lim 記作記作,dd),( yxzyxR即即如曲面為如曲面為封閉曲面

10、封閉曲面: yxzyxRdd),(對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分14類似可定義類似可定義 zyzyxPdd),( xzzyxQdd),( niyziiiiSP10)(,(lim nizxiiiiSQ10)(,(lim 2. 存在條件存在條件對坐標的曲面積分存在對坐標的曲面積分存在.),(),(),(zyxRzyxQzyxP當當在有向光滑在有向光滑上上曲面曲面 連續(xù)連續(xù), ,對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分153. .組合形式組合形式y(tǒng)xzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),( 4. .物理意義物理意義yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),( 如

11、如:上述流向上述流向指定側的流量指定側的流量為為: 也可寫成也可寫成Sd v),(RQPv 有向曲面元有向曲面元向量的形式向量的形式對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分dS(d d ,d d ,d d )y zz xx y165. .性質(zhì)性質(zhì) 21dd yxR 1dd yxR 2dd yxRyxRkRkdd)(2211 yxRyxRdddd21),(21為為常常數(shù)數(shù)kk yxzyxRdd),( yxzyxRdd),(1)(2)(3)1k2k 對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分 當曲面當曲面 yxRdd(4)母線平行于母線平行于z軸的柱面時軸的柱面時, ,0表示表示相反的一側相反的一側,yz zx性質(zhì)

12、對坐標的曲面積分.也有類似的結果17 Oyxz對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分),(yxzz 所所給給出出方方程程),(yxzz ,xyD上上在在xyDyxzz),( 上側上側, ,四、四、對坐標的曲面積分的計算法對坐標的曲面積分的計算法設積分曲面設積分曲面是由是由的曲面的曲面在在xOy面面上的投影區(qū)域為上的投影區(qū)域為函數(shù)函數(shù)具有一階連續(xù)偏導數(shù)具有一階連續(xù)偏導數(shù),被積函數(shù)被積函數(shù)R(x, y, z)在在上連續(xù)上連續(xù).xyDxys)( sdn18 yxzyxRdd),(,取取上上側側 nixyiiiiSR10)(,(lim yxzyxRdd),( 取取上上側側 nixyiiiiSR10)(,(l

13、im cos0,()()ixyxyS ),(iiiz 又又 nixyiiiiizR10)(,(,(lim yxyxRdd,即即xyD),(yxz 對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分19,取取下下側側若若 yxzyxRdd),(則有則有給出給出由由如果如果,),(zyxx zyzyxPdd),(則有則有給出給出由由如果如果,),(xzyy xzzyxQdd),(對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分, ,必須注意曲面所取的必須注意曲面所取的, 0cos xyxyis)()( xyDyxyxzyxRdd),(, yzDzyzyzyxPdd,),( zxDxzzxzyxQdd),(,注注 側側. .對坐標的

14、曲面積分對坐標的曲面積分20 計算計算對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分時時: :(1) 認定對哪兩個坐標的積分認定對哪兩個坐標的積分,將曲面將曲面表為表為這兩個變量的函數(shù)這兩個變量的函數(shù),并確定并確定的投影域的投影域.(2) 將將 的方程代入被積函數(shù)的方程代入被積函數(shù),化為投影域上化為投影域上的二重積分的二重積分.(3) 根據(jù)根據(jù)的側的側(法向量的方向法向量的方向)確定二重積分確定二重積分前的正負號前的正負號.對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分21xyzO解解兩部分兩部分和和分成分成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz 2 1 投影域投影域)0, 0( 1:22 yxyxDxy對

15、坐標的曲面積分對坐標的曲面積分 例例 計算計算 yxxyzdd其中其中是球面是球面1222 zyx外側外側在在0, 0 yx的部分的部分. 2dddd yxxyzyxxyz 1dd yxxyz xyDyxyxxydd122 xyDyxyxxydd)1(22 22 xyDyxyxxydd1222 xyD dd1cossin222極坐標極坐標 d1sincosd2210320 .152 )0, 0( 1:22 yxyxDxy對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分 xyDyxyxxydd122 xyDyxyxxydd)1(22 1222200cossind111d 123xyzO)0 , 0 ,(a)0

16、, 0(a), 0 , 0(aO 例例,dddddd222yxzxzyzyx 計算計算其中其中是是所圍成的正方體的表面的所圍成的正方體的表面的24563 先計算先計算zyxdd2 由于平面由于平面都是都是母線平行于母線平行于x軸的柱面軸的柱面,則在其上對坐標則在其上對坐標y,z的積分為的積分為0.解解ayyazz , 0, 0)0(, aazayax三個坐標面與平面三個坐標面與平面外側外側. .對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分124x=a面在面在yOz面上的投影為面上的投影為正正,而而x=0面在面在yOz面上的投影為面上的投影為負負.投影域均為投影域均為:0ya, 0za, 故故zyxdd2

17、zyyzDdd02 4a yzDzyadd2由由 x,y,z 的對等性的對等性知知,所求曲面積分為所求曲面積分為 3a4. yzDzyadd2 后兩個積分值也等于后兩個積分值也等于a4.對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分xyzO)0 , 0 ,(a)0 , 0(a), 0 , 0(aO24563125),(yxzz ,xyD上上在在xyDyxzz),( 設有向曲面設有向曲面是由方程是由方程函數(shù)函數(shù)具有一階連續(xù)偏導數(shù)具有一階連續(xù)偏導數(shù),給出給出,五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分在在xOy是由方程面上投影區(qū)域為是由方程面上投影區(qū)域為yxzyxRdd

18、),( xyDyxyxzyxRdd),(, 對坐標的曲面積分為對坐標的曲面積分為被積函數(shù)被積函數(shù) R(x, y, z) 在在上連續(xù)上連續(xù). Oyxz),(yxzz xyD26,1cos22yxxzzz ,1cos22yxyzzz 2211cosyxzz 曲面曲面的法向量的法向量的方向余弦為的方向余弦為, ,依側取上（下）面符號依側取上（下）面符號對面積的曲面積分為對面積的曲面積分為SzyxRdcos),( xyDyxyxzyxRdd),(,SzyxRyxzyxRdcos),(dd),( 所以所以( (注意取曲面的兩側均成立注意取曲面的兩側均成立) )對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分yxzyxR

19、dd),( xyDyxyxzyxRdd),(, 22d1d dcosxydxdySzzx y27yxRxzQzyPdddddd 兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系類似可得類似可得 SzyxPzyzyxPdcos),(dd),( SzyxQxzzyxQdcos),(dd),(不論哪一側都成立不論哪一側都成立.SRQPd)coscoscos( 對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分其中其中 coscoscos、是有向曲面是有向曲面在點在點),(zyx處的法向量的方向余弦處的法向量的方向余弦.d dcoscoscosx ydydzdzdxdS28向量形式向量形式 SnASAdd SASAndd或

20、或),(RQPA 其其中中,),(處處的的單單位位法法向向量量上上點點有有向向曲曲面面zyx )dd,dd,dd(ddyxxzzySnS 有向曲面元有向曲面元.上上的的投投影影在在向向量量為為向向量量nAAn對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分為為)cos,cos,(cos nd dcoscoscosx ydydzdzdxdS29解解 zyxzdd)(2有有上上在曲面在曲面, ,1cos22yxx Sxzdcos)(2 cos)(2xz ,dddd)(2yxzzyxz計算計算介于平面介于平面是旋轉拋物面是旋轉拋物面其中其中)(2122yxz 例例之間的部分的之間的部分的及及20 zz下側下側. .

21、2211cosyx 對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分 yxxxzdd)(2nSzydcosdd d dcoscoscosx ydydzdzdxdS cosyxddxyzO 230 yxzzyxzdddd)(2 xyDyxyxxdd)(21222 2022220d)21cos(d xyDyxyxxxyxdd)(21)()(4122222 yxzxxzdd)(2 8 )(2122yxz 對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分 zyxzdd)(2 yxxxzdd)(2yxyxxxyDdd)(41222 由對稱性由對稱性0 nxyzO 231 例例,dd)(ddddyxzxxzyzyx 計算計算其中其中解解

22、 法一法一 直接用直接用對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分計算法計算法.且其投影區(qū)域分別為且其投影區(qū)域分別為由于由于取上側取上側,yzyDyz220, 10: xzxDzx220, 10: xyxDxy 10, 10:222 zyx是平面是平面在第一卦限部分的在第一卦限部分的上側上側. .面的投影面的投影xOyzOxyOz,在在所以所以 都是都是正的正的, ,對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分xyzO32yzyDyz220, 10: xzxDzx220, 10: xyxDxy 10, 10:zzyyyd)21(d10220 zzxxxd)21(d10220 11007d(222)d.6xxxyxy

23、:222xyz 取上側取上側對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分yxzxxzyzyxdd)(dddd xyzO33)cos,cos,(cos0 nSzxyxdcos)(coscos 法二法二 利用利用兩類曲面積分的聯(lián)系兩類曲面積分的聯(lián)系計算計算.取取上側上側,yxz222 31,32,32)1 ,(yxzzn )1 , 2 , 2( Szxyxd31)(3232 銳角銳角. .則法向量則法向量n與與z軸正向的夾角為軸正向的夾角為對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分yxzxxzyzyxdd)(dddd xyzO34)23(31 xyDyx xyxx1010d)2(dyxz222 yxdd3 .67 yx

24、222 yxdd3Szxyxd31)(3232 對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分22d1d dxySzzx y35若分片光滑的閉曲面若分片光滑的閉曲面 zyzyxPdd),(0 1dd),(2 zyzyxP其中其中注注補充補充x的偶函數(shù)的偶函數(shù)x的奇函數(shù)的奇函數(shù)曲面曲面不封閉也可以不封閉也可以. 0),(:1 zyxx 取取外側外側(內(nèi)側仍成立內(nèi)側仍成立), 那末那末關于關于yOz平面對稱平面對稱, ,是是若若),(zyxP是是若若),(zyxP對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分36 例例,dddddd22yxyxexzzzyz 計算計算其中其中:的的)21(22 zyxz解解關于關于yOz面對

25、稱面對稱,被積函數(shù)被積函數(shù) zydd關于關于x為偶函數(shù)為偶函數(shù).下側下側. . 又又1),( zyxP0關于關于zOx面對稱面對稱,被積函數(shù)被積函數(shù) xzzdd 0關于關于y為偶函數(shù)為偶函數(shù).zzyxQ ),(對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分xyzOn37 原式原式=yxyxezdd22 yxyxexyDyxdd2222 2021dde).1(2ee 22221: yxDxy取取下下側側 )21(22 zyxz對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分xyzOn38與兩平面與兩平面是由曲面是由曲面設設222ryxS .dddd2222 Szyxyxzzyx解解,S將 的上底 下底及圓柱面分別記做,:1r

26、zS ,:2rzS 2223:ryxS S 2S 3S 1994年研究生考題年研究生考題,計算計算,6分分 1S對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分,(0),zr zr r 圍成立體表面的外側求求 1222ddSzyxzyx而而 2222ddSzyxzyx 32222ddSzyxyxz00039 12222ddSzyxyxz 22222ddSzyxyxz 3222ddSzyxzyx xyDryxyxr2222dd xyDryxyxr2222)(dd)( 對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分與兩平面與兩平面是由曲面是由曲面設設222ryxS .dddd2222 Szyxyxzzyx,rzrz 求求 Szyxyxzzyx2222dddd,:1rzS ,:2rzS 2223:ryxS (0),r 圍成立體表面的外側 3222ddSzyxzyx0