概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第四版)習(xí)題答案全

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上概率論與數(shù)理統(tǒng)計(第四版)習(xí)題答案全專心-專注-專業(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)（第四版）題解答第一章 隨機(jī)事件及其概率·樣本空間·事件的關(guān)系及運算一、任意拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。設(shè)事件表示“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件表示“出現(xiàn)的點數(shù)能被3整除”（1）寫出試驗的樣本點及樣本空間；（2）把事件及分別表示為樣本點的集合；（3）事件分別表示什么事件？并把它們表示為樣本點的 集合解：設(shè)表示“出現(xiàn)點”，則（1）樣本點為；樣本空間為（2）； （3），表示“出現(xiàn)奇數(shù)點”；，表示“出現(xiàn)的點數(shù)不能被3整除”；，表示“出現(xiàn)的點數(shù)能被2或3整除”；，表示“出現(xiàn)的點數(shù)能被2整除且能被

2、3整除”；，表示“出現(xiàn)的點數(shù)既不能被2整除也不能被3整除”二、寫出下列隨機(jī)試驗的樣本空間及各個事件中的樣本點： （1）同時擲三枚骰子，記錄三枚骰子的點數(shù)之和“點數(shù)之和大于10”，“點數(shù)之和小于15” （2）一盒中有5只外形相同的電子元件，分別標(biāo)有號碼1，2，3，4，5從中任取3只，“最小號碼為1”解：(1) 設(shè)表示“點數(shù)之和等于”，則； (2) 設(shè)表示“出現(xiàn)號碼為”，則三、設(shè)為三個事件，用事件之間的運算表示下列事件： (1) 發(fā)生, 與都不發(fā)生； (2) 都發(fā)生； (3) 中至少有兩個發(fā)生； (4) 中至多有兩個發(fā)生解：(1) ；(2) ；(3) 或 (4) 或或四、一個工人生產(chǎn)了n個零件，以

3、表示他生產(chǎn)的第 個零件是合格品（）用表示下列事件： （1）沒有一個零件是不合格品； （2）至少有一個零件是不合格品； （3）僅有一個零件是不合格品； （4）至少有一個零件不是不合格品解：(1) ；(2) 或；(3) (4) 或第二章 概率的古典定義·概率加法定理一、電話號碼由七個數(shù)字組成，每個數(shù)字可以是0，1，2，9中的任一個數(shù)（但第一個數(shù)字不能為0），求電話號碼是由完全不同的數(shù)字組成的概率解：基本事件總數(shù)為有利事件總數(shù)為設(shè)表示“電話號碼是由完全不同的數(shù)字組成”，則二、把十本書任意地放在書架上，求其中指定的三本書放在一起的概率解：基本事件總數(shù)為指定的三本書按某確定順序排在書架上的所有

4、可能為種；這三本書按確定的順序放在書架上的所以可能的位置共種；這三本書的排列順序數(shù)為；故有利事件總數(shù)為(亦可理解為設(shè)表示“指定的三本書放在一起”，則三、為了減少比賽場次，把二十個隊任意分成兩組（每組十隊）進(jìn)行比賽，求最強的兩個隊被分在不同組內(nèi)的概率解：20個隊任意分成兩組（每組10隊）的所以排法，構(gòu)成基本事件總數(shù)；兩個最強的隊不被分在一組的所有排法，構(gòu)成有利事件總數(shù) 設(shè)表示“最強的兩隊被分在不同組”，則四、某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有100個，其中有5個次品從這批產(chǎn)品中任取一半來檢查，求發(fā)現(xiàn)次品不多于1個的概率解：設(shè)表示“出現(xiàn)的次品為件”，表示“取出的產(chǎn)品中次品不多于 1個”，則 因為，所以而 故 五

5、、一批產(chǎn)品共有200件, 其中有6件廢品求 (1) 任取3件產(chǎn)品恰有1件是廢品的概率; (2) 任取3件產(chǎn)品沒有廢品的概率; (3) 任取3件產(chǎn)品中廢品不少于2件的概率解：設(shè)表示“取出的3件產(chǎn)品中恰有1件廢品”；表示“取出的3件產(chǎn)品中沒有廢品”；表示“取出的3件產(chǎn)品中廢品不少于2件”，則(1) (2) (3) 六、設(shè)求A, B, C至少有一事件發(fā)生的概率解：因為，所以，從而可推出設(shè)表示“A, B, C至少有一事件發(fā)生”，則，于是有 第三章 條件概率與概率乘法定理·全概率公式與貝葉斯公式一、設(shè)求解：因為，所以，即二、某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?，求他撥號不超過兩次

6、而接通所需電話的概率若已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？解：設(shè)表示“第一次撥通”，表示“第二次撥通”，表示“撥號不超過兩次而撥通”（1）（2）三、兩臺車床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率是0.03，第二臺出現(xiàn)廢品的概率是0.02加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是廢品，求它是第二臺車床加工的概率解：設(shè)表示“第臺機(jī)床加工的零件”；表示“出現(xiàn)廢品”；表示“出現(xiàn)合格品”（1） （2）四、獵人在距離100米處射擊一動物，擊中的概率為0.6；如果第一次未擊中，則進(jìn)行第二次射擊，但由于動物逃跑而

7、使距離變?yōu)?50米；如果第二次又未擊中，則進(jìn)行第三次射擊，這時距離變?yōu)?00米假定擊中的概率與距離成反比，求獵人三次之內(nèi)擊中動物的概率解：設(shè)表示“第次擊中”，則由題設(shè)，有，得，從而有， 設(shè)表示“三次之內(nèi)擊中”，則，故有 （另解）設(shè)表示“獵人三次均未擊中”，則故所求為 五、盒中放有12個乒乓球，其中有9個是新的第一次比賽時從其中任取3個來用，比賽后仍放回盒中第二次比賽時再從盒中任取3個，求第二次取出的都是新球的概率解：設(shè)表示“第一次取得個新球”，則 設(shè)表示“第二次取出的都是新球”，則 第四章 隨機(jī)事件的獨立性·獨立試驗序列一、一個工人看管三臺車床，在一小時內(nèi)車床不需要工人照管的概率：第

8、一臺等于0.9，第二臺等于0.8，第三臺等于0.7求在一小時內(nèi)三臺車床中最多有一臺需要工人照管的概率解：設(shè)表示“第臺機(jī)床不需要照管”，則 再設(shè)表示“在一小時內(nèi)三臺車床中最多有一臺需要工人照管”，則于是有 （另解）設(shè)表示“有臺機(jī)床需要照管”，表示“在一小時內(nèi)三臺車床中最多有一臺需要工人照管”，則且、互斥，另外有故二、電路由電池與兩個并聯(lián)的電池及串聯(lián)而成設(shè)電池?fù)p壞的概率分別是0.3、0.2、0.2，求電路發(fā)生間斷的概率解：設(shè)表示“損壞”；表示“損壞”；表示“損壞”；則 又設(shè)表示“電路發(fā)生間斷”，則 于是有 三、三個人獨立地去破譯一個密碼，他們能譯出的概率分別為、，求能將此密碼譯出的概率解：設(shè)表示“

9、甲能譯出”；表示“乙能譯出”；表示“丙能譯出”，則 設(shè)表示“此密碼能被譯出”，則，從而有（另解），從而有四、甲、乙、丙三人同時對飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人的命中概率分別為飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為，被兩人擊中而被擊落的概率為，若三人都擊中，則飛機(jī)必被擊落求飛機(jī)被擊落的概率解：設(shè)表示“甲命中”；表示“乙命中”；表示“丙命中”；則 設(shè)表示“人擊中飛機(jī)” ，則 設(shè)表示“飛機(jī)被擊落”，則由題設(shè)有 故有五、某機(jī)構(gòu)有一個9人組成的顧問小組，若每個顧問貢獻(xiàn)正確意見的概率都是0.7，現(xiàn)在該機(jī)構(gòu)內(nèi)就某事可行與否個別征求每個顧問的意見，并按多數(shù)人意見作出決策，求作出正確決策的概率解：設(shè)表示“第人貢獻(xiàn)正確意見”，則 又

10、設(shè)為作出正確意見的人數(shù)，表示“作出正確決策”，則 六、每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，為了使事件A在獨立試驗序列中至少發(fā)生一次的概率不小于p，問至少需要進(jìn)行多少次試驗？解：設(shè)做次試驗，則要，即要，從而有答：至少需要進(jìn)行一次試驗第五章 離散隨機(jī)變量的概率分布·超幾何分布·二項分布·泊松分布一、 一批零件中有9個合格品與3個廢品安裝機(jī)器時從這批零件中任取1個如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的概率分布解：設(shè)表示“在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)”，則的概率分布為0123即0123亦即0123二、 自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為生產(chǎn)過程中

11、出現(xiàn)廢品時立即進(jìn)行調(diào)整求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的概率分布解：設(shè)表示“在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)”，且設(shè)，則的概率分布為012三、 已知一批產(chǎn)品共20個，其中有個次品（）不放回抽樣抽取個產(chǎn)品，求樣品中次品數(shù)的概率分布；（）放回抽樣抽取個產(chǎn)品，求樣品中次品數(shù)的概率分布解：（1）設(shè)表示“取出的樣本中的次品數(shù)”，則服從超幾何分布，即的概率函數(shù)為從而的概率分布為01234即01234 （2）設(shè)表示“取出的樣本中的次品數(shù)”，則服從超幾何分布，即的概率函數(shù)為從而的概率分布為0123456即0123456四、 電話總機(jī)為300個電話用戶服務(wù)在一小時內(nèi)每一電話用戶使用電話的概率等于0.01，求在一小時內(nèi)

12、有4個用戶使用電話的概率（先用二項分布計算，再用泊松分布近似計算，并求相對誤差）解：（1）用二項分布計算 （2）用泊松分布計算 相對誤差為五、 設(shè)事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生次數(shù)不少于3次時，指示燈發(fā)出信號現(xiàn)進(jìn)行了5次獨立試驗，求指示燈發(fā)出信號的概率解：設(shè)表示“事件發(fā)生的次數(shù)”，則，于是有 （另解） 六、 設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為 ；其中>0為常數(shù)，試確定常數(shù)解：因為，即，亦即，所以第六章 隨機(jī)變量的分布函數(shù)·連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度一、 函數(shù)可否是連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)？為什么？如果的可能值充滿區(qū)間： （1）（）；（2）（）解：（1）設(shè)，則因為，所以不能是的分

13、布函數(shù)（2）設(shè)，則且，因為，所以在（）上單增綜上述，故可作為的分布函數(shù)二、函數(shù)可否是連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度？為什么？如果的可能值充滿區(qū)間： （1）； （2）； （3）解：（1）因為，所以；又因為，所以當(dāng)時，函數(shù)可作為某隨機(jī)變量的概率密度 （2）因為，所以；但，所以當(dāng)時，函數(shù)不可能是某隨機(jī)變量的概率密度 （3）因為，所以不是非負(fù)函數(shù)，從而它不可能是隨機(jī)變量的概率密度二、 一批零件中有9個合格品與3個廢品安裝機(jī)器時從這批零件中任取1個如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的分布函數(shù)，并作出分布函數(shù)的圖形解：設(shè)表示“取出的廢品數(shù)”，則的分布律為0123y 于是，的分布函數(shù)為o

14、x 其圖形見右： 四、（柯西分布）設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求：（1）系數(shù)A及B；（2）隨機(jī)變量落在區(qū)間內(nèi)的概率；(3) 的概率密度解：(1) 由，解得 即(2) (3) 的概率密度為五、（拉普拉斯分布）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求：（1）系數(shù)；（2）隨機(jī)變量落在區(qū)間內(nèi)的概率；（3）隨機(jī)變量的分布函數(shù)解：(1)由，得，解得，即有(2) (3) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)為第七章 均勻分布·指數(shù)分布·隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布一、公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過乘客到達(dá)汽車站的任一時刻是等可能的求乘客候車時間不超過3分鐘的概率解：設(shè)隨機(jī)變量表示“乘客的候車時間”，則服從上的均勻分布，其密度

15、函數(shù)為于是有二、已知某種電子元件的使用壽命(單位:h)服從指數(shù)分布，概率密度為任取個這種電子元件，求至少有個能使用1000h以上的概率解：設(shè)表示“至少有個電子元件能使用1000h以上”；分別表示“元件甲、乙、丙能使用1000h以上”則（另解）設(shè)表示“至少有個電子元件能使用1000h以上”則從而有，進(jìn)一步有三、(1) 設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布證明：對于任意非負(fù)實數(shù)及，有 這個性質(zhì)叫做指數(shù)分布的無記憶性(2) 設(shè)電視機(jī)的使用年數(shù)服從指數(shù)分布某人買了一臺舊電視機(jī)，求還能使用年以上的概率解：（）因為，所以，有，其中為的分布函數(shù)設(shè)，因為及都是非負(fù)實數(shù)，所以，從而根據(jù)條件概率公式，我們有另一方面，我們有綜上

16、所述，故有（）由題設(shè)，知的概率密度為設(shè)某人購買的這臺舊電視機(jī)已經(jīng)使用了年，則根據(jù)上述證明的（）的結(jié)論，該電視機(jī)還能使用5年以上的概率為答：該電視機(jī)還能使用5年以上的概率約為四、 設(shè)隨機(jī)變量服從二項分布，求下列隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布： （1）；（2）解：的分布律為0123 （1）的分布律為1（2）的分布律為0110即01五、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度解：因為 所以隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度為，即第八章 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與邊緣分布一、把一顆均勻的骰子隨機(jī)地擲兩次設(shè)隨機(jī)變量表示第一次出現(xiàn)的點數(shù)，隨機(jī)變量表示兩次出現(xiàn)點數(shù)的最大值，求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布及的邊緣概率分布解：二

17、維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為的邊緣概率分布為二、設(shè)二維隨機(jī)變量（，）的聯(lián)合分布函數(shù)求：（1）系數(shù)A、B及C；（2）（，）的聯(lián)合概率密度：（3）邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度解：（1）由，得 解得，（2）因為，所以（，）的聯(lián)合概率密度為（3）及的邊緣分布函數(shù)分別為 及的邊緣概率密度分別為三、設(shè)的聯(lián)合概率密度為求：（1）系數(shù)；（2）的聯(lián)合分布函數(shù)；（3）及的邊緣概率密度；（4）落在區(qū)域R：內(nèi)的概率解：（1）由，有，解得 （2）的聯(lián)合分布函數(shù)為 （3）及的邊緣概率密度分別為 （4）四、設(shè)二維隨機(jī)變量在拋物線與直線所圍成的區(qū)域上服從均勻分布求：(1) 的聯(lián)合概率密度；(2) 概率解：(1) 設(shè)的聯(lián)合概率密度

18、為則由解得故有(2) 第九章 隨機(jī)變量的獨立性·二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、 設(shè)與是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，在上服從均勻分布，的概率密度為求 (1) 的聯(lián)合概率密度; (2) 概率解: (1)的概率密度為，的聯(lián)合概率密度為（注意相互獨立） （2）二、 設(shè)隨機(jī)變量與獨立，并且都服從二項分布：證明它們的和也服從二項分布證明: 設(shè), 則 由, 有 . 于是有由此知也服從二項分布.三、設(shè)隨機(jī)變量與獨立，并且在區(qū)間0，1內(nèi)服從均勻分布，在區(qū)間0，2內(nèi)服從辛普森分布：求隨機(jī)變量的概率密度解: 的概率密度為 . 于是的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合分布函數(shù)為，其中是與的定義域的公共部分.故有 從而隨機(jī)變量的概

19、率密度為三、 電子儀器由六個相互獨立的部件（）組成，聯(lián)接方式如右圖所示設(shè)各個部件的使用壽命服從相同的指數(shù)分布，求儀器使用壽命的概率密度解: 由題設(shè)，知的分布函數(shù)為先求各個并聯(lián)組的使用壽命的分布函數(shù).因為當(dāng)并聯(lián)的兩個部件都損壞時,第個并聯(lián)組才停止工作,所以有從而有的分布函數(shù)為設(shè)"儀器使用壽命".因為當(dāng)三個并聯(lián)組中任一個損壞時,儀器停止工作.所以有.從而有的分布函數(shù)為故的概率密度為第十章 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差一、 一批零件中有9個合格品與3個廢品安裝機(jī)器時從這批零件中任取一個如果取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差解：設(shè)表示“在取得

20、合格品以前已取出的廢品數(shù)”，則的概率分布為0123即0123于是有即的分布為0149即0149 于是有即 從而有二、 對某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直至擊中為止如果每次射擊命中率為p，求射擊次數(shù)的數(shù)學(xué)期望及方差解：設(shè)表示“第次擊中”，則的分布為123于是有的分布為149于是有進(jìn)一步有三、設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為問的數(shù)學(xué)期望是否存在？若存在，請計算；若不存在，請解釋為什么解：因為不絕對收斂，所以沒有數(shù)學(xué)期望四、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求數(shù)學(xué)期望及方差解：五、（拉普拉斯分布）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求數(shù)學(xué)期望及方差解：（分部積分亦可）第十一章 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望·關(guān)于數(shù)學(xué)期望與方差的定理一、

21、設(shè)隨機(jī)變量服從二項分布，求的數(shù)學(xué)期望及方差解：的概率分布為0123的概率分布為01的分布為01于是有二、過半徑為的圓周上一點任意作這圓的弦，求所有這些弦的平均長度解：在圓周上任取一點，并通過該點作圓得直徑建立平面直角坐標(biāo)系，以為原點，且讓在軸的正半軸上通過任作圓的一條弦，使與軸的夾角為，則服從上的均勻分布，其概率密度為弦的長為，故所有弦的平均長度為三、一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X（以年計）服從指數(shù)分布，概率密度為 工廠規(guī)定，出售的設(shè)備若在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換若工廠售出一臺設(shè)備贏利100元， 調(diào)換一臺設(shè)備廠方需花費300元試求廠方出售一臺設(shè)備的平均凈贏利解：由題設(shè)，有進(jìn)而有 設(shè)表示“廠方出

22、售一臺設(shè)備獲得的凈贏利”，則的概率分布為100從而有答：廠方出售一臺設(shè)備獲得的平均凈贏利約為元四、設(shè)隨機(jī)變量相互獨立，并且服從同一分布，數(shù)學(xué)期望為，方差為求這些隨機(jī)變量的算術(shù)平均值的數(shù)學(xué)期望與方差解：因為，且隨機(jī)變量相互獨立所以有，五、一民航送客車載有位旅客自機(jī)場開出，沿途有個車站可以下車，到達(dá)一個車站時如沒有旅客下車就不停車假設(shè)每位旅客在各車站下車是等可能的，且各旅客是否下車相互獨立求該車停車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望解: 設(shè)表示"第站的停車次數(shù)" (). 則服從""分布. 其中于是的概率分布為01設(shè), 則表示沿途停車次數(shù), 故有 即停車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.第十二章

23、 二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征·切比雪夫不等式與大數(shù)定律一、 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 求：（1）系數(shù)A；（2）數(shù)學(xué)期望及，方差及，協(xié)方差解: (1) 由. 有解得, . (2) . 由對稱性, 知 . 同理, 有 . .二、 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為求(1) ；(2) 與是否獨立，是否相關(guān)，為什么？解: (1) 因為 所以有 (2) 當(dāng)時,有 ; 當(dāng)時, 有.即同理有 因為 , 所以與不是獨立的又因為, 所以與是不相關(guān)的三、 利用切比雪夫不等式估計隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的差的絕對值大于三倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率解：四、為了確定事件A的概率，進(jìn)行10000次重復(fù)獨立試驗利用切比雪夫不等式估

24、計：用事件A在10000次試驗中發(fā)生的頻率作為事件A的概率的近似值時，誤差小于0.01的概率解：設(shè)表示“在10000次試驗中事件A的次數(shù)”，則且有 于是有 五、 樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受應(yīng)該檢查多少個產(chǎn)品，可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不被接受的概率達(dá)到0.9？解：設(shè)表示“發(fā)現(xiàn)的次品件數(shù)”，則，現(xiàn)要求 要使得，即，因為，所以 （德莫威爾Laplace定理）因為，所以，從而有，故查表有，故有，解得答：應(yīng)該檢查約146個產(chǎn)品，方可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不被接受的概率達(dá)到0.9第十三章 正態(tài)分布的概率密度、分布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望與方差一、 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布

25、，求（1）；（2）解：(1) (2) 二、 已知某種機(jī)械零件的直徑（mm）服從正態(tài)分布規(guī)定直徑在（mm）之間為合格品，求這種機(jī)械零件的不合格品率解：設(shè)表示這種機(jī)械零件的不合格品率，則而 故三、測量到某一目標(biāo)的距離時發(fā)生的誤差(m)具有概率密度求在三次測量中至少有一次誤差的絕對值不超過m的概率解：三次測量中每次誤差絕對值都超過30米可表為 因為，所以由事件的相互獨立性，有 于是有四、設(shè)隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度（所得的概率分布稱為對數(shù)正態(tài)分布）解：由題設(shè)，知的概率密度為從而可得隨機(jī)變量的分布函數(shù)為當(dāng)時，有；此時亦有當(dāng)時，有此時亦有從而可得隨機(jī)變量的概率密度為五、設(shè)隨機(jī)變量與獨立，求：(1

26、) 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差，其中及為常數(shù)；(2) 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差解：由題設(shè)，有；從而有(1)；(2)；第十四章二維正態(tài)分布·正態(tài)隨機(jī)變量線性函數(shù)的分布中心極限定理一、設(shè)二維隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，已知，并且，求的聯(lián)合概率密度解：已知，從而，進(jìn)一步按公式，可得的聯(lián)合概率密度為二、設(shè)隨機(jī)變量與獨立，并且，求隨機(jī)變量的概率密度解：由題設(shè)，有，又根據(jù)關(guān)于數(shù)學(xué)期望的定理和方差的定理以及獨立正態(tài)隨機(jī)變量線性組合的分布，我們有且，故隨機(jī)變量的概率密度為三、 臺機(jī)床分別加工生產(chǎn)軸與軸襯設(shè)隨機(jī)變量(mm)表示軸的直徑，隨機(jī)變量(mm)表示軸襯的內(nèi)徑，已知，顯然與是獨立的如果軸襯的

27、內(nèi)徑與軸的直徑之差在(mm)之間，則軸與軸襯可以配套使用求任取一軸與一軸襯可以配套使用的概率解：由題設(shè)，知隨機(jī)變量與是獨立的，且，設(shè)根據(jù)獨立正態(tài)隨機(jī)變量線性組合的分布，我們有根據(jù)題目假設(shè)，我們知道當(dāng)時，軸與軸襯可以配套使用于是所求概率為四、100臺車床彼此獨立地工作著，每臺車床的實際工作時間占全部工作時間的80%，求： （1） 任一時刻有70至86臺車床在工作的概率； （2） 任一時刻有不少于80臺車床在工作的概率解：設(shè)表示“任一時刻正在工作的車床數(shù)”，則 （1） （2）五、在一家保險公司里有10000人參加保險，每人每年付12元保險費在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.006，死亡時其家屬可向保險

28、公司領(lǐng)得1000元問： （1） 保險公司虧本的可能性是多大？ （2） 保險公司一年的利潤不少于50000元的概率是多少？解：設(shè)表示“一年內(nèi)死亡的人數(shù)”，則 （1） 即保險公司不可能虧本（2） 即保險公司一年利潤不少于50000元的概率為第十萬章 總體與樣本·統(tǒng)計量·幾個常用分布一、已知樣本觀測值為 15.8 24.2 14.5 17.4 13.2 20.817.9 19.1 21.0 18.5 16.4 22.6，計算樣本均值、樣本方差與樣本二階中心矩解：樣本均值為 樣本方差為 .樣本二階中心矩 .二、設(shè)抽樣得到100個觀測值如下：觀測值123456頻數(shù)1521252012

29、7計算樣本均值、樣本方差與樣本二階中心矩解：樣本均值為 樣本方差為 樣本二階中心矩為 三、設(shè)總體的均值與方差分別為與，是來自該總體的簡單隨機(jī)樣本，與分別是樣本均值與樣本方差，求解： 四、設(shè)總體與相互獨立且均服從正態(tài)分布，和分別為來自與的樣本，則統(tǒng)計量服從什么分布？解：因為，, 所以. 于是有推得 即分布五、設(shè)隨機(jī)變量服從自由度為的分布，證明：隨機(jī)變量服從自由度為的分布；從而證明等式提示：設(shè)，其中隨機(jī)變量與獨立，且，則，由此容易證明證明：設(shè)隨機(jī)變量與獨立且構(gòu)造，則同理知因為，所以對于給定的，我們有又因為，所以與是等價的隨機(jī)事件，從而有于是有同理，因為，所以對上述給定的，我們有(2)結(jié)合(1)、(

30、2)，便有即 第十六章 正態(tài)總體統(tǒng)計量的分布一、設(shè)總體（1） 抽取容量為36的樣本，求樣本平均值在38與43之間的概率；（2） 抽取容量為64的樣本，求的概率； （3）抽取樣本容量n多大時，才能使概率達(dá)到0.95？解：（1）因為，所以，從而有 （2）由題設(shè)，從而有 （3）要使，即要經(jīng)查表，有，解得，即抽取樣本容量約為96時，可使二、從正態(tài)總體中抽取容量為10的樣本 （1）已知，求的概率； （2）未知，求的概率解：（1）因為，所以有（2）因為，所以有 三、設(shè)總體，總體，從總體中抽取容量為的樣本，從總體中抽取容量為的樣本，求下列概率：（1）；（2）解：（）因為，所以由得（）因為，所以由得四、設(shè)總體

31、服從“01”分布： 抽取樣本，求樣本均值的概率分布，數(shù)學(xué)期望E及方差D解：，于是有 其中于是有第十七章 參數(shù)的點估計一、設(shè)總體服從“01”分布：如果取得樣本觀測值，求參數(shù)p的矩估計值與最大似然估計值解：(1)似然函數(shù)為，取對數(shù)，有令，解得，從而得的極大似然估計值為 二、設(shè)總體的概率密度為其中>0如果取得樣本，求參數(shù)的矩估計量與最大似然估計量解：似然函數(shù)為，取對數(shù)，有令，求得的極大似然估計值為三、設(shè)總體X服從分布，其概率密度為 其中參數(shù)>0，>0如果樣本觀測值為, （1）求參數(shù)及的矩估計值； （2）已知=，求參數(shù)的極大似然估計值解：（1）因為所以，根據(jù)矩估計，有，即 ，亦即 ，

32、解得 （2）由（1），有，故有四、從總體X中抽取樣本，證明下列三個統(tǒng)計量 都是總體均值的無偏估計量；并確定哪個估計量更有效解：因為所以都是總體均值的無偏估計量又因為 所以，更有效五、設(shè)總體服從指數(shù)分布，其中，抽取樣本，證明：(1) 雖然樣本均值是的無偏估計量，但卻不是的無偏估計量；(2) 統(tǒng)計量是的無偏估計量解：由此可見，雖然樣本均值是的無偏估計量，但卻不是的無偏估計量第十八章 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計·兩個正態(tài)總體均值差及方差比的區(qū)間估計一、設(shè)總體，如果樣本觀測值為6.54 8.20 6.88 9.02 7.56,求總體均值的置信水平為的置信區(qū)間，假定：（1）已知=1.2；（2）未知

33、解：（1）由，解得又由題設(shè)，有，從而由，有 ，即 （2）因為，所以由，即 解得 二、設(shè)電子元件的壽命服從正態(tài)分布，抽樣檢查10個元件，得到樣本均值=1500(h)， 樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=14（h），求： （1）總體均值的置信水平為的置信區(qū)間； （2）用作為的估計值，誤差絕對值不大于10(h)的概率解：（1）由，解得又由題設(shè)，有，未知，查表得故由 ，有亦即 （2），即，亦即，查表得，即，故三、設(shè)總體，已知=，要使總體均值的置信水平為的置信區(qū)間的長度不大于l，問需要抽取多大容量的樣本？解：因為，所以有 進(jìn)一步有，即綜上述，故有四、測得16個零件的長度（mm）如下： 12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06 12.13 12.07 1