高等數(shù)學：11-6 傅里葉-Fourier級數(shù)

1、1三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)( (傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)Fourier series)問題的提出問題的提出第六節(jié)第六節(jié) 傅里葉傅里葉( (Fourier) )級數(shù)級數(shù)正弦級數(shù)或余弦級數(shù)正弦級數(shù)或余弦級數(shù) 第十一章第十一章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)2 上一節(jié)詳細研究了一種重要的函數(shù)項級數(shù)上一節(jié)詳細研究了一種重要的函數(shù)項級數(shù): :冪級數(shù)冪級數(shù). . 下面研究另一種重要的函數(shù)項級數(shù)下面研究另一種重要的函數(shù)項級數(shù): :這種級數(shù)是由于這種級數(shù)是由于研究周期現(xiàn)象的需要而研究周期現(xiàn)象的需要而產(chǎn)生產(chǎn)生的的.它在電工、力學和許多學科中都有很它在

2、電工、力學和許多學科中都有很重要的應用重要的應用. 傅里葉傅里葉(Fourier,1768-1830) 法國數(shù)學家和法國數(shù)學家和物理學家物理學家. 法國科學院院士法國科學院院士,英國皇家學會會員英國皇家學會會員.傅里葉傅里葉級數(shù)級數(shù). .傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)3傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 1757年年, ,法國數(shù)學家克萊羅在研究太陽引法國數(shù)學家克萊羅在研究太陽引起的攝動時起的攝動時, , 10cos2)(nnnxAAxf 1759年年, ,拉格朗日在對聲學的研究中也使用拉格朗日在對聲學的研究中也使用了了三角級數(shù)三角級數(shù). . 用三角函數(shù)的正交性得到了將函數(shù)表示成三角

3、用三角函數(shù)的正交性得到了將函數(shù)表示成三角1777年年, ,歐拉在研究天文學的時候歐拉在研究天文學的時候, ,級數(shù)時的系數(shù)級數(shù)時的系數(shù), , 也就是現(xiàn)今教科書中傅里葉級數(shù)也就是現(xiàn)今教科書中傅里葉級數(shù)的系數(shù)的系數(shù). .大膽地采用了大膽地采用了歷史朔源歷史朔源三角級數(shù)三角級數(shù)表示函數(shù)表示函數(shù): : 20cos)(21nxdxxfAn其中其中4微分方程是分不開的微分方程是分不開的. .析學的發(fā)展析學的發(fā)展. .形所采用的三角級數(shù)方法進行加工處理形所采用的三角級數(shù)方法進行加工處理, ,1753年年, ,的解表示為三角級數(shù)的形式的解表示為三角級數(shù)的形式, ,這為函數(shù)的傅里葉這為函數(shù)的傅里葉展開這個純數(shù)學問

4、題奠定了物理基礎(chǔ)展開這個純數(shù)學問題奠定了物理基礎(chǔ), ,促進了分促進了分在歷史上在歷史上, ,丹丹 貝努利首先提出將弦振動方程貝努利首先提出將弦振動方程1822年年, ,傅里葉在傅里葉在熱的解析理論熱的解析理論一書中一書中對于歐拉和貝努利等人就一些孤立的，對于歐拉和貝努利等人就一些孤立的，特殊的情特殊的情發(fā)展成發(fā)展成一般理論一般理論. .三角級數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展三角級數(shù)的出現(xiàn)和發(fā)展與求解與求解傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)5一、問題的提出一、問題的提出在自然界和人類的生產(chǎn)實踐中在自然界和人類的生產(chǎn)實踐中, 周而復始周而復始的現(xiàn)象的現(xiàn)象, 周期運動是常見的周期運動是常見的.如行星的飛轉(zhuǎn)如行星的

5、飛轉(zhuǎn),飛輪的旋轉(zhuǎn)飛輪的旋轉(zhuǎn),蒸氣機活塞的蒸氣機活塞的往復運動往復運動,物體的振動物體的振動,聲、光、電的波動等聲、光、電的波動等.數(shù)學上數(shù)學上,用周期函數(shù)來描述它們用周期函數(shù)來描述它們.最簡單最基本最簡單最基本的周期函數(shù)是的周期函數(shù)是)sin( tA諧函數(shù)諧函數(shù)周期周期 2振幅振幅時間時間角頻率角頻率初相初相 簡諧波簡諧波 簡諧振動簡諧振動正弦型函數(shù)正弦型函數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)6如矩形波如矩形波 tttu0, 10, 1)(當當當當不同頻率正弦波不同頻率正弦波,sin4t ,3sin314t ,5sin514t ,7sin714t 除了正弦函數(shù)外除了正弦函數(shù)外,常遇到的是常

6、遇到的是非正弦周期函數(shù)非正弦周期函數(shù),較復雜的較復雜的周期現(xiàn)象周期現(xiàn)象逐個疊加逐個疊加分解分解,9sin914t 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)Otu11 7tusin4 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)11 Otu 2 22 2 23 23 8)3sin31(sin4ttu 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)Otu11 2 22 2 23 23 9)5sin513sin31(sin4tttu 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)Otu11 2 22 2 23 23 10)7sin715sin513sin31(sin4ttttu 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)Otu

7、11 2 22 2 23 23 11)9sin917sin715sin513sin31(sin4)( ttttttu )0,( tt )9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)Otu11 2 22 2 23 23 12設(shè)想設(shè)想一個較復雜的周期運動一個較復雜的周期運動(如矩形波如矩形波)分解分解為簡諧振動的迭加為簡諧振動的迭加.會給分析問題帶來方便會給分析問題帶來方便. 是把一個復雜的是把一個復雜的周期函數(shù)周期函數(shù) f(t)sin(nntnA 反映在數(shù)學上反映在數(shù)學上,的迭加的迭加,表示為各類表示為各類正弦函數(shù)正弦函數(shù) 10)

8、sin(nnntnAA 諧波分析諧波分析或再利用三角恒等式或再利用三角恒等式, 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 變形為變形為即即傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)13,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb . xt 三角級數(shù)三角級數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 0AnnA sinnnA cost 函數(shù)函數(shù) f (t) 滿足什么條件滿足什么條件,系數(shù)系數(shù)nnbaa,0才能展為才能展為如何確定如何確定? 為簡便計為簡便計,先來討論以先來討論以 為周期的函數(shù)為周期的函數(shù) f(x)

9、, 2解決上述問題起著關(guān)鍵作用的是解決上述問題起著關(guān)鍵作用的是:三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性(orthogonality). 10)sincos(2nnnnxbnxaa1 三角級數(shù)三角級數(shù)?傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)14, 1三角函數(shù)系三角函數(shù)系二、三角函數(shù)系的二、三角函數(shù)系的正交性正交性的的正交性正交性是指是指:其中任何兩個其中任何兩個不同的函數(shù)的乘積不同的函數(shù)的乘積上上的的積積分分為為零零，, 在一個周期長的區(qū)間在一個周期長的區(qū)間 而任而任一個函數(shù)的自乘一個函數(shù)的自乘(平方平方)在在 ,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cosnx,sinnx或或上上的

10、的積積分分為為 , .2 為為 1nxcosxd 1nxsinxd0 即有即有xd12 2 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)orthogonality15 xnxmxdsinsin xnxmxdcossin), 2 , 1,( nm其中其中xnxdcos2 xnxdsin2 nm , 0nm , 0 xnxmxdcoscosnm , 0nm , 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 161.1.傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) (Fourier coefficient) 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有若有.)1(0a求求 220 a xxfad)(10 xad20利用三角函

11、數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性兩邊積分兩邊積分 1dsindcoskkkxkxbxkxa 0 0 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf xd xd xd傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)三、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)17.)2(na求求 xnxxfdcos)(dcossindcoscos1 xnxkxbxnxkxakkk 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf xnxandcos2 na xnxxfandcos)(1), 3 , 2 , 1( n,cosnx兩邊同乘兩邊同乘逐逐項項積積分分到到再再從從 xnxadcos20利用三角函數(shù)系的正交

12、性利用三角函數(shù)系的正交性nk 0 0 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)18.)3(nb求求 xnxxfbndsin)(1), 3 , 2 , 1( n xnxxfdsin)(dsinsindsincos1 xnxkxbxnxkxakkk nb 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf,sinnx兩邊同乘兩邊同乘逐逐項項積積分分到到再再從從 xnxadsin20利用三角函數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性0 nk 0 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)19,2)(為周期的函數(shù)為周期的函數(shù)是以是以設(shè)設(shè) xf或或且在且在, 2 , 0 則則 xnxxfandcos)(1 xnxx

13、fbndsin)(1), 2 , 1 , 0( n), 2 , 1( n xnxxfdcos)(1 xnxxfdsin)(1 0 20 2,上可積上可積希自己證明希自己證明傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)201993,研究生考題研究生考題,填空填空,3分分的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù)設(shè)設(shè))( ,)(2 xxxxf則則展開式為展開式為)sincos(210nxbnxaannn ).(3 b系數(shù)系數(shù) 32 xnxxfbndsin)(1解解由由傅里葉系數(shù)公式傅里葉系數(shù)公式, 3 n xxxxbd3sin)(123 xxxxxxd3sind3sin12dxxx 3sin 32 偶偶奇奇 02傅里葉傅

14、里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)0 21 ), 2 , 1(,dsin)(1), 2 , 1 , 0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann 2020), 2 , 1(,dsin)(1), 2 , 1 , 0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa由由這些這些系數(shù)系數(shù)作成的三角級數(shù)作成的三角級數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)22稱為函數(shù)稱為函數(shù) f(x)(誘導出誘導出)的的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù),f(x) 10)sincos(2nnnnxbnxaa注注f(x)的傅里葉級數(shù)不見得收斂；的傅里葉級數(shù)不見得收斂；

15、 即使收斂，即使收斂，級數(shù)的和也不一定是級數(shù)的和也不一定是 f(x).不能無條件的不能無條件的下面的下面的傅里葉級數(shù)收斂定理傅里葉級數(shù)收斂定理回答了我們回答了我們.所以所以,把符號把符號“ ”它的傅里葉級數(shù)收斂，它的傅里葉級數(shù)收斂，記為記為當當 f(x)滿足什么條件時，滿足什么條件時，并收斂于并收斂于f(x)本身本身.換為換為“=”.傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)232. 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)充分條件充分條件狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859它它在在的的周周期期函函數(shù)數(shù)是是周周期期為為設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),2)( xf:,上上滿滿足足條條件件區(qū)區(qū)間間 ;,)1(處處處

16、處連連續(xù)續(xù)外外除除有有限限個個第第一一類類間間斷斷點點.)2(只只有有有有限限個個極極值值點點(收斂定理收斂定理)傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)01(cossin)( )2nnnaanxbnxS x( ),f xx則由產(chǎn)生的傅里葉級數(shù)在任 一點 都收斂, 且在上它的和函數(shù)為24傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 當當x是是f (x)的連續(xù)點時的連續(xù)點時,2)0()0( xfxf當當x是是f (x)的間斷點時的間斷點時當當 時時 x)(xS傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)f(x)的關(guān)系的關(guān)系),(xf由定理可知由定理可知:在在 f(x)的連續(xù)點處的連續(xù)點處, 都收斂到都收

17、斂到 f(x)自身自身即使有間斷點即使有間斷點,函數(shù)也有傅氏級數(shù)函數(shù)也有傅氏級數(shù),間斷點上級數(shù)不收斂到函數(shù)值間斷點上級數(shù)不收斂到函數(shù)值,只不過在只不過在而是收斂到而是收斂到間斷點處左右極限的算術(shù)平均值間斷點處左右極限的算術(shù)平均值收收斂斂到到左左端端點點的的右右極極限限處處在在端端點點, x術(shù)術(shù)平平均均值值和和右右端端點點的的左左極極限限的的算算01(cossin)( )2nnnaanxbnxS x,2)()(ff 0 0 25(1)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成(2) 周期函數(shù)的三角級數(shù)展開是唯一的周期函數(shù)的三角級數(shù)展開是唯一的,就是就是常說把常說把 f

18、(x)在在 上展開成傅氏級數(shù)上展開成傅氏級數(shù)., (3) 要注明要注明傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)f (x)相等相等注注冪級數(shù)的條件低冪級數(shù)的條件低得得多多;其其傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù),20a它它的的常常數(shù)數(shù)項項 xxfad)(10傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)的區(qū)域的區(qū)域.就是函數(shù)就是函數(shù)在一個周期內(nèi)的平均值在一個周期內(nèi)的平均值;26 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)以以 為周期為周期, 且且 2 .0,1,0, 1)(2時時當當時時當當 xxxxf其傅氏級數(shù)在其傅氏級數(shù)在 處收斂于處收斂于( ). x1992,研究生考題研究生考題,填空填空,3分分22 傅里葉傅里葉(Four

19、ier)級數(shù)級數(shù)27解解上上滿滿足足狄狄利利克克雷雷條條件件，在在區(qū)區(qū)間間由由于于,)( xf可以將可以將f (x)展開為傅氏級數(shù)展開為傅氏級數(shù).因為因為)0( f)0( f所以所以,收收斂斂于于的的傅傅氏氏級級數(shù)數(shù)在在點點 xxf)(2)0()0( ff,1)1(lim22 xx, 1)1(lim x22 .0,1,0, 1)(2時時當當時時當當 xxxxf其傅氏級數(shù)在其傅氏級數(shù)在 處收斂于處收斂于( ). x 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)以以 為周期為周期,且且 2傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)28周期函數(shù)的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)解題程序傅里葉級數(shù)解題程序: :并驗證是否滿足狄氏條件并驗證是

20、否滿足狄氏條件(畫圖目的畫圖目的: 驗證狄氏條件驗證狄氏條件;由圖形寫出收斂域由圖形寫出收斂域;易看出奇偶性可減少求系數(shù)的工作量易看出奇偶性可減少求系數(shù)的工作量);(2) 求出傅氏系數(shù)求出傅氏系數(shù);(3) 寫出傅氏級數(shù)寫出傅氏級數(shù), 并注明它在何處收斂于并注明它在何處收斂于f (x).傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)(1) 畫出畫出 f (x)的圖形的圖形,29解解u(t)的圖象的圖象 計算傅里葉系數(shù)計算傅里葉系數(shù) tnttuandcos)(1), 2 , 1( n ttuad)(10奇奇0 奇奇0 將其展開為傅氏級數(shù)，將其展開為傅氏級數(shù)，并按狄利克雷定理寫出此級數(shù)的和并按狄利克雷定理寫

21、出此級數(shù)的和.例例 xxfad)(10傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)OtumEmE 2以以 為周期的矩形脈沖的波形為周期的矩形脈沖的波形 0,0,)(tEtEtumm 1( )cosdnaf xnx x30 tnttubndsin)(1)cos1(2 nnEm )1(12nmnE 偶偶 tntEmdsin 0cos2ntnEm ,4 nEm, 0, 5 , 3 , 1 n, 6 , 4 , 2 n02 tnnEtunm)12sin(1214)(1 )5sin513sin31(sin4 tttEm f(x) 10)sincos(2nnnnxbnxaa傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)

22、故故u(t)的傅里葉級數(shù)為的傅里葉級數(shù)為31時時當當 kt 由于由于u(t)滿足狄利克雷充分條件滿足狄利克雷充分條件,), 2, 1, 0(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點 kkt 2mmEE 收斂于收斂于2)(mmEE 0 所以所以,得得tnnEnm)12sin(12141 ),(tu時時當當 kt , 0tnnEtunm)12sin(1214)(1 ),2, 0;( tt傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)u(t)的圖象的圖象OtumEmE 和函數(shù)圖象和函數(shù)圖象OtumEmE 32且且為為周周期期以以函函數(shù)數(shù),2)( xf,0,( )0,0,xxf xx解解 計算傅里葉系數(shù)計算傅里葉系數(shù) xxf

23、ad)(10 0d1 xx2 例例傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 2 3 2 3Oxy將將 f (x) 展開為傅里葉級數(shù)展開為傅里葉級數(shù). f (x) 的圖象的圖象33 xnxxfandcos)(1 0dcos1 xnxx)cos1(12 nn 02cossin1 nnxnnxx ,22 n, 0, 5 , 3 , 1 n;, 6 , 4 , 2 n)1(1 12nn xnxxfbndsin)(1 0dsin1 xnxx02sincos1 nnxnnxxnn cos .)1(1nn 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)34 112sin)1(cos)1(1 14nnnnxnnxn x

24、xx5cos513cos31cos2422 .3sin312sin21sin xxx)(xf傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)故故 f (x)的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù)35由于由于f (x)滿足狄利克雷充分條件滿足狄利克雷充分條件,), 2, 1, 0()12(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點 kkx 2)0()0( ff收斂于收斂于).()12(xfkxx處處收收斂斂于于在在連連續(xù)續(xù)點點 220 由由收斂定理收斂定理得得傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 2 3 2 3Oxy的圖象的圖象)(xf和和函函數(shù)數(shù)的的圖圖象象2 2 3 2 3Oxy 36)(xf xx3sin313cos322 x2

25、sin21 x4sin41 xx5sin515cos522 ).,3,;( xx xxsincos24 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)37上有定義上有定義;, (3) F(x)可展為傅氏級數(shù)可展為傅氏級數(shù);注注, )(2,)2(xF的的函函數(shù)數(shù)外外補補充充定定義義成成為為在在 );()(,),()4(xfxF 內(nèi)內(nèi) ,)5( x作作 法法傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)對于非周期函數(shù)對于非周期函數(shù),如果如果 f (x)只在區(qū)間只在區(qū)間上有定義上有定義, 并且滿足狄氏充要條件并且滿足狄氏充要條件,也可展開成也可展開成傅氏級數(shù)傅氏級數(shù).(1) f (x) 在在 (周期延拓周期延拓);

26、).0()0(21 ff級數(shù)收斂于級數(shù)收斂于38解解, 例例 將函數(shù)將函數(shù) xxxxxf0,0,)(展開為傅氏級數(shù)展開為傅氏級數(shù).拓廣的周期函數(shù)拓廣的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式在的傅氏級數(shù)展開式在 xxfad)(10 0d2xx 計算傅里葉系數(shù)計算傅里葉系數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)Oxy 2 2 所給函數(shù)在區(qū)間所給函數(shù)在區(qū)間滿足狄氏充要條件滿足狄氏充要條件,收斂于收斂于 f (x)., 上39 xnxxfandcos)(1)1(cos22 nxn 1)1(22 nn xxxf,)( 0dcos2xnxx偶函數(shù)偶函數(shù) , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,42nnn x

27、nxxfbndsin)(10 奇函數(shù)奇函數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)40 12)12cos()12(142)(nxnnxf )( x所求函數(shù)的傅氏展開式為所求函數(shù)的傅氏展開式為 xxx5cos513cos31cos4222 利用傅氏展開式求級數(shù)的和利用傅氏展開式求級數(shù)的和, 0)0(,0 fx時時當當 222513118 xxxf,)(傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)41,4131211222 設(shè)設(shè)8513112221 ,6141212222 ,41312112223 42 ,242 21 ,62 .122 收收=和和,421 312 1 82 2 242 3 21 傅里葉傅

28、里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)42 北方交大考題北方交大考題 95級級, (6分分) 2)(|2,2|,)(以以寫出寫出設(shè)設(shè)xfxxxxxf 為周期的傅氏級數(shù)的為周期的傅氏級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù)S(x)在在 上的上的, 解解S(x) =, x 2 x,x x2, 0 ,2x傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)表達式表達式. 4398 (A) 填空題填空題 (3分分) ,61212 nn 已知級數(shù)已知級數(shù) 則級數(shù)則級數(shù) 的和的和 12121nn等于等于82 12216nn 12)12(1nn 1212141)12(1nnnn解解641)12(1212 nn 222241312111 12)2(1n

29、n8)12(1212 nn所以所以,傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)44由奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)由奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)系數(shù)的公式系數(shù)的公式,易得下面的結(jié)論易得下面的結(jié)論.和傅里葉和傅里葉 na nb此時稱傅里葉級數(shù)為此時稱傅里葉級數(shù)為nxbnnsin1 即即 xnxxfandcos)(1), 2 , 1 , 0( n0), 2 , 1( n xnxxfbndsin)(12 0 xnxxfdsin)( (sine series)正弦級數(shù)正弦級數(shù),傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)sine series and cosine series四、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)四、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)

30、它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為1.2( ),f x當周期為的奇函數(shù)展成傅里葉級數(shù)時45 nb此時稱傅里葉級數(shù)為此時稱傅里葉級數(shù)為nxaann 10cos2即即), 2 , 1( n), 2 , 1( n na 0dcos)(2xnxxf xnxxfandcos)(1 xnxxfbndsin)(10注注將函數(shù)展為傅里葉級數(shù)時將函數(shù)展為傅里葉級數(shù)時,先要考查函數(shù)先要考查函數(shù)是非常有用的是非常有用的.是否有奇偶性是否有奇偶性, 0a 0d)(2xxf(cosine series)余余弦級數(shù)弦級數(shù),傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為2.2( ),f x當周期為的偶

31、函數(shù)展成傅里葉級數(shù)時46 xxxxxf0,0,)(2 的函數(shù)的函數(shù)試將周期為試將周期為解解 函數(shù)的圖形如圖函數(shù)的圖形如圖,電學上稱為電學上稱為 偶函數(shù)偶函數(shù) 0a 0d)(2xxf 0d2xx 0dcos)(2xnxxfan)1(cos22 nxn 1)1(22 nn 0dcos2xnxx的的圖圖象象)(xf例例展為傅里葉級數(shù)展為傅里葉級數(shù).鋸齒波鋸齒波.傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)Oxy 2 2 347 , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,42nnn ,)(處處處處連連續(xù)續(xù)由由于于xf所以所以 12)12cos()12(142)(nxnnxf x xxx5cos51

32、3cos31cos4222 0 nbnxaann 10cos2余余弦級數(shù)弦級數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)Oxy 2 2 348解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.為為周周期期的的是是以以時時 2)()12(xfkx ), 2 , 1 , 0(, 0 nan奇函數(shù)奇函數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 2 2 3 3xyO設(shè)設(shè) f (x)是周期為是周期為 的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在例例 2, 上上的表達式為上的表達式為,)(xxf 將將 f (x)展開成傅氏級數(shù)展開成傅氏級數(shù). f (x)的圖形的圖形492)0()0( ff收斂于收斂于2)( ,

33、0 ),()12(xfkxx處收斂于處收斂于在連續(xù)點在連續(xù)點 0dsin)(2xnxxfbn 0dsin2xnxx 02sincos2nnxnnxx nncos2 1)1(2 nn), 2 , 1( n,), 2, 1, 0()12(處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點 kkx 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)的的圖圖形形)(xf 2 2 3 3xyO和函數(shù)圖象和函數(shù)圖象 2 2 3 3xyO50)3sin312sin21(sin2)( xxxxf 11sin)1(2nnnxn),3,;( xxnxbnnsin1 正弦級數(shù)正弦級數(shù)1)1(2 nnnb), 2 , 1( n傅里葉傅里葉(Fourier

34、)級數(shù)級數(shù)51例例 在無線電設(shè)備中在無線電設(shè)備中,常用電子管整流器將交流電常用電子管整流器將交流電轉(zhuǎn)換為直流電轉(zhuǎn)換為直流電.已知電壓已知電壓t為時間為時間試將試將E(t)展為傅氏級數(shù)展為傅氏級數(shù).|sin|)(ttE 解解為為)(tE, 0 nb), 2 , 1( n在整個數(shù)軸上連續(xù)在整個數(shù)軸上連續(xù).ttad |sin|200 04dsin2tt偶函數(shù)偶函數(shù), ,傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù) 2 21tEO所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件，所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件，52 0dcossin2tnttan 01)1cos(1)1cos(1 ntnntn)1( nn為奇數(shù)為奇數(shù)n為偶數(shù)為偶

35、數(shù) 01dcossin2ttta0 0d)1sin()1sin(1ttntn , 0.)1(42 n )( t (n=1時也對時也對)傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)24 111( cos2cos4cos6)31535ttt( )E t53上上函數(shù)定義在函數(shù)定義在, 0 上上函函數(shù)數(shù)延延拓拓到到一一個個周周期期, 數(shù)數(shù)軸軸上上函函數(shù)數(shù)按按周周期期延延拓拓到到整整個個級數(shù)級數(shù)上的函數(shù)展開成傅立葉上的函數(shù)展開成傅立葉定義在定義在, 0 傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)54上上的的使使函函數(shù)數(shù)成成為為,. 1 上上有有上上的的函函數(shù)數(shù)延延拓拓到到把把, 0 上上的的使使函函數(shù)數(shù)成成為為,. 2 奇延拓奇延拓 偶延拓偶延拓兩種兩種:正弦級數(shù)正弦級數(shù).偶函數(shù)偶函數(shù),奇函數(shù)奇函數(shù),余弦級數(shù)余弦級數(shù);傅里葉傅里葉(Fourier)級數(shù)級數(shù)因而展開成因而展開成因而展開成因而展開成55上有定義上有定義., 0 作法作法3. F(x)可展開為傅氏級數(shù)可展開為傅氏級數(shù), 這個級數(shù)必定是這個級數(shù)必定是)()(xfxF 得到得到 f (x)的的正弦級數(shù)正弦級數(shù) 的展開式的展開式.上，上，在在限制限制, 0