概率論中幾種具有可加性的分布及其關(guān)系

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上目 錄摘要1關(guān)鍵詞1Abstract1Key words1引言11 幾種常見的具有可加性的分布1 1.1 二項分布2 1.2 泊松分布（分布）3 1.3 正態(tài)分布···4 1.4 伽瑪分布 6 1.5 柯西分布 7 1.6 卡方分布 72 具有可加性的概率分布間的關(guān)系 8 2.1 二項分布的泊松近似 8 2.2 二項分布的正態(tài)近似 9 2.3 正態(tài)分布與泊松分布間的關(guān)系10 2.4 正態(tài)分布與柯西分布、卡方分布及卡方分布與伽瑪分布的關(guān)系113 小結(jié) 12參考文獻 12致謝 13概率論中幾種具有可加性的分布及其關(guān)系摘要 概率論與數(shù)理統(tǒng)計中概

2、率分布的可加性是一個十分重要的內(nèi)容.所謂分布的可加性指的是同一類分布的獨立隨機變量和的分布仍屬于此類分布.結(jié)合其特點，這里給出了概率論中幾種具有可加性的分布：二項分布，泊松分布，正態(tài)分布，柯西分布，卡方分布以及伽瑪分布.文章討論了各類分布的性質(zhì)及其可加性的證明，這里給出了證明分布可加性的兩種方法，即利用卷積公式和隨機變量的特征函數(shù).除此之外，文章就可加性分布之間的各種關(guān)系，如二項分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理等，進行了不同層次的討論.關(guān)鍵詞 概率分布 可加性 相互獨立 特征函數(shù)Several Kinds of Probability Dstribution and its Rel

3、ationship with AdditiveAbstract Probability and mathematical statistics in the probability distribution of additivity is a very important content.The distribution of the so-called additivity refers to the distribution of the same kind of independent random variables and distribution are still belong

4、 to this kind of distribution.Combined with its characteristics, here given several has additivity distribution in probability theory: the binomial distribution, poisson distribution and normal distribution and cauchy distribution, chi-square distribution and gamma distribution.Article discusses the

5、 nature of all kinds of distribution and its proof of additivity, additive of proof distribution are also given two methods, namely using convolution formula and characteristic function of a random variable. In addition, this paper the relationships between the additive property distribution, such a

6、s the binomial distribution of poisson approximation, Di mo - Laplace's central limit theorem, and so on, has carried on the different levels of discussion.Key Words probability distribution additivity property mutual independence characteristic function引言 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究大量隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的學科，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中，有

7、時候我們需要求一些隨機變量的和的分布，在這些情形中，有一種求和類型比較特殊，即有限個相互獨立且同分布的隨機變量的和的分布類型不變，這一求和過程稱為概率分布的“可加性”.概率分布中隨機變量的可加性是一個相當重要的概念，本文給出了概率論中常見的六種具有可加性的分布，包括二項分布，泊松分布，正態(tài)分布，伽瑪分布，柯西分布和卡方分布.文章最后討論了幾項分布之間的關(guān)系，如二項分布的泊松近似，正態(tài)近似等等.1 幾種常見的具有可加性的分布在討論概率分布的可加性之前，我們先來看一下卷積公式和隨機變量的特征函數(shù),首先來看卷積公式1： 離散場合的卷積公式 設(shè)離散型隨機變量彼此獨立，且它們的分布列分別是和則的概率分布

8、列可表示為 連續(xù)場合的卷積公式 設(shè)連續(xù)型隨機變量彼此獨立，且它們的密度函數(shù)分別是，則它們的和的密度函數(shù)如下 其證明如下： 的分布函數(shù)是 其中為的分布函數(shù)，對上式兩端進行求導，則可得到的密度函數(shù)： 即證.在概率分布可加性的證明中，除了卷積公式，我們常用的證明方法還有利用隨機變量的特征函數(shù).下面我們來討論一下這幾種具有可加性的分布及其可加性證明的過程中卷積公式和特征函數(shù)的應用.1.1 二項分布1.1.1 二項分布的概念 如果記為n次伯努利試驗中成功（記為事件A）的次數(shù)，則的可能取值為0，1，2，n.記p為事件A發(fā)生的概率，則記為即因n次伯努利試驗的基本結(jié)果可以記作 =（w1,w2，n），

9、wi或為或為,這樣的w共有2n個，這個樣本點w組成了樣本空間.下求的分布列，即求事件的概率.若某個樣本點 =（w1,w2，n），意味著w1,w2，n中有個，個，由獨立性即可得:()而事件=中這樣的w共有個，所以的分布列為=（1-p），此分布即稱為二項分布，記作.且我們易驗證其和恒為.也就是=.n=1時，二項分布稱為兩點分布，有時也稱之為分布. 二項分布的圖像具有以下特點： 二項分布的圖像形狀取決于和的大小，隨著的增加，分布圖高峰逐漸右移. 當時，圖像是對稱的.1.1.2 二項分布的可加性定理1.1.1設(shè)而且相互獨立，記則有 證明 因所以易知可以取等個值.根據(jù)卷積公式，事件的概率可以表

10、示為 又因所以 也就是說，即證！1.2 泊松分布分布與二項分布一樣，泊松分布也是一種離散分布，許多隨機現(xiàn)象，特別是社會現(xiàn)象與物理學中的一些隨機現(xiàn)象都服從于泊松分布.泊松分布可作為描述大量試驗中稀有事件出現(xiàn)次數(shù)的概率分布的數(shù)學模型.1.2.1 泊松分布的概率分布列 泊松分布的概率分布如下所示： ，其中大于，記作.對于泊松分布而言，它的參數(shù)即是期望又是它的方差： . 又因， = = =故的方差為=1.2.2泊松分布的可加性 定理1.2.1 設(shè)隨機變量，且相互獨立，則 證明 此處根據(jù)卷積公式，有 所以即證！ 同樣我們可以利用特征函數(shù)對其進行證明，此處不再贅述.1.3 正態(tài)分布 1.3.1 正態(tài)分布的

11、定義6定義1.3 對于已經(jīng)給定的兩個常數(shù)和>0，定義函數(shù) 它含有兩個參數(shù)和.顯然的，取正值.我們稱密度函數(shù)為的分布為正態(tài)分布，記作，它的分布函數(shù)記為 正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖像是一條鐘形曲線，中間高兩邊低，而且關(guān)于對稱，在此處取最大值我們稱為該正態(tài)分布的中心，在附近取值的可能性比較大，在處有拐點.若將固定，改變的取值，則越大，曲線峰頂越低，圖像較為平坦；越小，曲線封頂越高，圖像較為陡峭.因此正態(tài)密度函數(shù)的尺度由確定，故稱為尺度參數(shù).同樣的，將固定，而去改變的值，會發(fā)現(xiàn)圖像沿軸平移而并不改變形狀，也就說明該函數(shù)的位置由決定，故稱其為位置參數(shù).當時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記作.它的密度函數(shù)

12、記為，分布函數(shù)記為.則有 1.3.2 一般正態(tài)分布的標準化 對于正態(tài)分布族 標準正態(tài)分布只是其中一個成員.其實在應用中很少有隨機變量恰好服從標準正態(tài)分布，可是一般正態(tài)分布均可以利用線性變換轉(zhuǎn)變成標準正態(tài)分布.所以一切與正態(tài)變量有關(guān)的事件的概率均可通過標準正態(tài)分布分布求取. 定理1.3.1 如果隨機變量，則，其中為標準正態(tài)變量.證明 記與的分布函數(shù)分別為和，易知因為正態(tài)分布函數(shù)嚴格遞增而且處處可導，所以如果記和的密度函數(shù)分別是和，會有 由此即得， 即證.對于標準正態(tài)隨機變量的數(shù)學期望為 因被積函數(shù)為奇函數(shù)，故上述積分值為0，也就是說而對于一般正態(tài)變量，如果滿足，由數(shù)學期望的線性性質(zhì)則可得到所以我

13、們可以知道正態(tài)分布的數(shù)學期望即為其參數(shù).因為 且,由方差的性質(zhì) 也就是說，正態(tài)分布的方差即是其另一個參數(shù)1.3.3 正態(tài)分布的可加性定理1.3.2 設(shè)隨機變量而且和彼此獨立，且則有證明 知服從于正態(tài)分布，且它們的密度函數(shù)分別是 又因彼此獨立，所以 這正是數(shù)學期望為方差為的正態(tài)分布的特征函數(shù)，即證！我們同樣可以使用連續(xù)場合的卷積公式進行證明，詳見文獻5，此處不再贅述.1.4 伽瑪分布在討論伽瑪分布之前，我們先來看一下伽瑪函數(shù)：我們稱 為伽瑪函數(shù)，為其參數(shù).它的性質(zhì)如下： 取自然數(shù)的時候，有 1.4.1 伽瑪分布的定義定義1.4 如果隨機變量的密度函數(shù)為 就稱作服從伽瑪分布，記為且的值均大于0.為

14、伽瑪分布的形狀參數(shù)，為其尺度參數(shù).當時，為嚴格單調(diào)遞減的函數(shù)，在處取得奇異點； 當時，亦嚴格單調(diào)減，且時有 當時，為單峰函數(shù)，先上凸然后下凸； 當時，先下凸再上凸，最后下凸.而且隨著的增大，逐漸接近于正態(tài)分布的密度函數(shù).1.4.2 伽瑪分布的可加性定理1.4.1 設(shè)隨機變量且和彼此獨立，則證明 知 且與彼此獨立，所以 此即為的特征函數(shù)，根據(jù)惟一性定理則可知結(jié)論得證！ 如正態(tài)分布，對于伽瑪分布，我們同樣可以利用連續(xù)場合的卷積公式對其可加性進行證明，詳見文獻5; 1.5 柯西分布41.5.1 柯西分布的密度函數(shù)柯西分布是幾個常見的連續(xù)分布之一.它的密度函數(shù)為 時的柯西分布密度函數(shù)稱為標準柯西分布密

15、度函數(shù)，即 為方便起見，往后我們分別記這兩類密度函數(shù)為和對于柯西分布的數(shù)學期望和方差，因 所以不收斂，故柯西分布的數(shù)學期望與方差均不存在.1.5.2 柯西分布的可加性定理1.5.1 設(shè)隨機變量且彼此獨立，則有 證明 因均服從于柯西分布，且的特征函數(shù)分別是 又因彼此獨立，所以 這恰好就是參數(shù)為的柯西分布的特征函數(shù)，所以即證！1.6 卡方分布（分布）1.6.1卡方分布（分布）的定義及密度函數(shù)定義1.67 設(shè)獨立同分布與標準正態(tài)分布分布則稱所服從的分布為自由度為的卡方分布，記為卡方分布的密度函數(shù)為 1.6.2 卡方分布可加性 卡方分布密度函數(shù)的圖像是一個只取非負值的偏態(tài)圖像.它的圖像隨著自由度的增加

16、而逐漸趨于對稱，當自由度時，其圖像趨于正態(tài)分布的圖像.這也從另一個側(cè)面告訴我們，卡方分布是由其自由度決定的，不同的自由度對應了不同的卡方分布.由1.6.1，我們可以知道卡方分布即伽瑪分布的一個特例，所以由伽瑪分布的可加性我們易知卡方分布亦滿足可加性定理，即定理1.6.15 設(shè)且彼此獨立，則有 證明 由卡方分布的定義，設(shè) 且彼此獨立.則有， 從從卡方分布的定義，因此即證！2 具有可加性的概率分布間的關(guān)系2.1 二項分布的泊松近似4當?shù)娜≈岛艽髸r，二項分布的計算是令人頭疼的.這里介紹了泊松分布的一個十分有用的特性，我們可利用泊松分布作為二項分布的一種特殊近似，即二項分布的泊松近似.下面我們來看泊松

17、定理，當取值較大，而取值偏小的情況下使用泊松定理，可大大減小二項分布的計算量.定理2.18（定理) 在重伯努利試驗中，記事件在每次試驗中發(fā)生的概率為它與試驗發(fā)生的次數(shù)有關(guān)，若當時，有即則對任意給定的（為非負整數(shù)），有 證明 設(shè)則有所以 由已知有，則對于給定的值，有且 ； 所以有 即證！因定理的條件之一為所以在二項分布的計算中，若值很大，的值卻很小，且的大小適中時（一般認為當且時），二項分布可以使用參數(shù)為的泊松分布來做近似，即有 此即為二項分布的泊松近似，而且的值應盡可能的大，這樣計算結(jié)果才能更精確.二項分布的泊松近似經(jīng)常被用于稀有事件（即每次試驗中事件發(fā)生的概率很?。┑难芯恐校罅繉嵗砻?，一

18、般情況下概率時，泊松近似非常好用，甚至的取值不必很大.2.2 二項分布的正態(tài)近似 定理2.27（棣莫佛-拉普拉斯（ ）極限定理） 設(shè)隨機變量（），則對任意的實數(shù)，有 證明 因隨機變量服從二項分布，所以可看做是個相互獨立的且服從于同一參數(shù)的兩點分布的隨機變量的和，即而且 根據(jù)中心極限定理，有 定理得證！ 中心極限定理說明，相當大時，服從二項分布的隨機變量的概率的計算服從正態(tài)分布的隨機變量的計算.也就是說，二項分布可以用正態(tài)分布來近似計算.比如，在比較大的時候的計算量時十分大的.根據(jù) 中心極限定理，因 近似服從于標準正態(tài)分布，或者說是近似服從于分布，也就是說 對于有 我們只需查一下標準正態(tài)分布表，

19、就可以求出我們需要的相當精確的值.但是，當較大或者較小時近似效果可能差一些，利用公式時的值最好滿足另外，因二項分布是離散分布，正態(tài)分布是連續(xù)分布，所以在我們實際的應用中，為減小誤差，常常使用 來替換式.2.3 正態(tài)分布與泊松分布之間的關(guān)系9由上面的定理2.1和定理2.2我們可以知道，二項分布可以用泊松分布來做近似，同樣也可以用正態(tài)分布來近似.所以，從某個方面來說，泊松分布與正態(tài)分布也具有某種近似的關(guān)系，首先我們來看特征函數(shù)的連續(xù)性定理. 定理2.3.111 分布函數(shù)列弱收斂于分布函數(shù)的充分必要條件是它的相應的特征函數(shù)列收斂于的特征函數(shù)定理2.3.211 設(shè)隨機變量則有證明 知服從泊松分布，則的

20、特征函數(shù)為所以的特征函數(shù)是對于任何一個我們有所以有 因此對于任意的點列有又知是標準正態(tài)分布的特征函數(shù)，因此由連續(xù)性定理可以得到， 由的任意性，所以有成立. 我們來看泊松分布的正態(tài)逼近. 定理2.3.38 對于任意的有 其中其證明見文獻8. 由前可知，的正態(tài)近似與泊松近似的條件是不同的，當?shù)娜≈堤貏e小時，哪怕的值不是太大，用泊松分布來近似二項分布也是可以的.但在這種情況下，用正態(tài)近似卻是不合理的.我們可以想象，若值很小，但的值也不是太大，則的值肯定不會很大，而由定理2.3.1，我們可知，此時正態(tài)分布就不可能很好的進行泊松近似.2.4 正態(tài)分布與柯西分布、卡方分布及卡方分布與伽瑪分布之間的關(guān)系 首先來看正態(tài)分布與柯西分布的關(guān)系. 定理2.4.1 設(shè)且與獨立同分布，記,則.證明 易知的取值范圍是，所以對于，我們利用商的公式，可以得到 這正是時的柯西分布的密度函數(shù)，所以結(jié)論得證！正態(tài)分布與卡方分布的關(guān)系如下：定理2.4.2 若隨機變量則定理證明見文獻10.這說明了標準正態(tài)分布與自由度為1的卡方分布之間的關(guān)系.若且彼此獨立，記，根據(jù)卡方分布的定義，我們知服從自由度為的卡方分布.對于伽瑪分布，當其參數(shù)時即為自由度為的卡方分布，記為 3 小結(jié) 文章第一部分我們討論了六種具有可加性的