大學物理課件：第6章 機械振動CX-01

1、大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動第 六 章機械振動大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動本章教學要求本章教學要求第六章 機械振動已知振動方程，會確定其周期、角頻率、相位(初相位)。已知簡諧振子在四個特殊位置(最大正、負位移處、平衡位置處)，會判斷其對應的初相位，反之亦然。已知兩個同方向運動方程，會判斷其合成是否是簡諧振動。已知兩個同方向同頻率的簡諧振動方程，求其合成規(guī)律。由旋轉矢量圖，會判斷振子的初相位及振子的運動方向。大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動本章主要內容第一部分第一部分大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動一、物體作簡諧振動必須滿足

2、下面三個條件運動學特征：xa2加速度與位移成正比而方向相反運動方程：)cos(0tAx位移按余弦規(guī)律變化動力學特征：kxF胡克定律大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動簡諧振動中質點位移、速度、加速度與時間的關系：加速度位 移時 間速 度tvtatx0024加速度加速度速速 度度位位 移移)cos(0tAx)(sin0tAdtdxv)(cos0222tAdtxda討論討論大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動xcosA) ( t0相 位振 幅角頻率初 相T22頻率周期歸納歸納簡諧振動方程大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動對于簡諧振動的位移、速度和加速度，存在：

3、)cos(0tAx)2cos()sin(0m0mtvtvv)cos()cos(mm00tataa速度的相位比位移的相位超前 2加速度的相位比位移的相位超前 。三、兩個簡諧振動進行比較：同相+反相+超前+落后大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動 0000sin,cosAvAx2020)(vxA000arctgxv在 到 之間，通常 存在兩個值，可根據(jù) 進行取舍。000sinAv簡諧振動方程 中常量 A 和 的確定0)cos(0tAx根據(jù)初始條件：00 , 0vvxxt大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動AxFOAP)0txOx簡諧振動簡諧振動與與旋轉矢量旋轉矢量的對應關系

4、的對應關系矢量端點在 x 軸上投影（P點）的運動規(guī)律： )cos(0tAx三、簡諧振動的矢量圖示法（旋轉矢量的定義） 振動相位 與x 軸的夾角 逆時針方向 旋轉的方向 振動圓頻率 旋轉的角速度 振幅A 的長度AAAAA矢量 繞O點沿逆時針方向旋轉，其旋轉的角速度與為 。A大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動xOABCDxFOx 0 x 0 x 0 x 0v 0v 0v 0v 0簡諧振動的運動特征分析(旋轉矢量)：avx , ,(1) t = 0時刻 A、B、C、D四 個點的avx , ,(2) 四個象限內的 的特征avx , ,討論討論回復力的方向始終指向O點，故 始終也指向O點。

5、a 大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動兩個同方向同頻率的簡諧運動相位之差為.)()(1212tt采用旋轉矢量直觀表示為：)cos(111tAx)cos(222tAx）O211A2A）x大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動以水平彈簧振子為例討論簡諧振動系統(tǒng)的能量)cos(0tAx)sin(0tAv動能)(sin212102222tAmmvEK勢能)(cos21210222tkAkxEP系統(tǒng)總的機械能：)(cos21)(sin210220222tkAtAmEEEPK五、簡諧振動的能量mk2221kA系統(tǒng)的總能量大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動特 點：彈簧振

6、子在做簡諧振動時，動能、勢能隨時間呈周期性變化在振動過程中,動能與勢能相互轉化，總的機械能守恒簡諧振動的機械能守恒振子位于最大位置時，勢能最大，動能最小為零。振子位于平衡位置時，動能最大，勢能最小振子的機械能守恒，等于221kA大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動合位移：)cos(021tAxxx一、同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成)cos(21020212221AAAAA202101202101coscossinsintgAAAA其中：)cos(1011tAx)cos(2022tAx1.簡諧振動2.方向和頻率相同大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動用旋轉矢量法來求合振

7、動 21AAA2A201001A1x2xxOx)cos(1011tAx)cos(2022tAx)cos(0tAx)cos(21020212221AAAAA)coscos()sinsin(tg202101202101AAAA合振動的振幅和初相大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動)cos(21020212221AAAAA1）相位差), 2 1 0( ，k21AAA同相迭加，合振幅最大k210202）相位差), 2 1 0( ，k) 12(1020k21AAA反相迭加，合振幅最小當A1=A2 時，A=0。3) 一般情況下21AA 21AA A 討論討論大學物理(CX)北京信息科技大學第六

8、章 機械振動若A、B、C、D四質點的運動方程分別為：(A) xA= at + bcoswt； (B) xB= asinwt + bcoswt；(C) xC= asinwt + bcos2wt； (D) xD= asinwt coswt。 a、b、w 均為大于零的常量，作諧振動的質點是： )cos(0tAx例題例題具有諧振動的運動方程特征大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動mglmglMsin2mlJ lg2令sin, 5時角振幅 和初相 由初始條件求得m0mgltJM22dd由轉動定律：TlmOA)mg判斷：單擺的擺動是諧振動嗎( )？ 5討論討論lgt22dd222ddt)cos

9、(mt具有諧振動的運動特征大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動勁度系數(shù)為 K 的輕彈簧下端系一質量為 m 的物體，上端系在天花板上?，F(xiàn)用手托起物體，使彈簧保持原長，然后突然放手。問物體是否作簡諧振動? 討論討論0laox設原長為 ，自由懸掛物體時的平衡位置為原點（如圖），則：0lkamg 物體運動到 x 處時所受的合力為：xmgTTmgFkamg kxF具有簡諧振動的動力學特征物體運動到 x 處時彈簧伸長)(ax)(axkT由胡克定理，得：大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動)SI( )34cos(5 . 0txst 8一質點沿 x 軸作簡諧運動，其振動方程為求：在時刻

10、 時，質點的位置、速度、加速度解：（1）質點的位置)34cos(5 . 0tx)384cos(5 . 0)(43m（2）質點的速度)34cos(5 . 0tx)34sin(2tv8t)/( 1smv（3）質點的加速度)34sin(2tv)34cos(8ta8t)/(342sma 例題例題大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動)SI( )34cos(5 . 0tx一質點沿 x 軸作簡諧運動，其振動方程為求：該簡諧運動的振幅、周期、頻率、初相位以及 時的相位。st 8解：照貓畫虎找對應關系（1）振幅 A=0.5 m)cos(0tAx（2）周期 2T 4(s) 2T（3）頻率 1Tf 2f

11、（4）初相位0t30（5） 時的相位st 8 65例題例題大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動0cos0A2 00sin00Av2 0sin00取已知： 時， 。求初相位00 0 0 0v,xtxvo)cos(0tAx)sin(0tAv解：例題例題大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動一簡諧振動的旋轉矢量圖如圖所示，振幅矢量長2 cm，則該簡諧振動的初相為_。振動方程為_ )4cos(1022/tx (SI) tt4cos()xAt)xO4t)t = tt = 0例題例題大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動)SI( )312cos(1042tx一質點沿 x 軸

12、作簡諧振動，振動方程為 從t = 0時刻起，到質點位置在 x = -2 cm處，且向 x 軸正方向運動的最短時間間隔為 s81s61s41s31s21 (B) (C) (D) (E) (A) toxt = 0例題例題2014 10cos23xcm2大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動Ax2/AO(A)Ax2/Ao(C)x2/A(B)AxA21o(D)例題例題一質點做諧振動，振幅為 A，在起始時刻質點的位移為-A/2 且向 x 軸的正方向運動，代表此諧振動的旋轉矢量圖為：大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動一質點作簡諧振動，振幅為A，在起始時刻質點的位移為A/2，且向x軸

13、的正方向運動，代表此簡諧振動的旋轉矢量圖為Ax2/AO(A)Ax2/Ao(C)x2/A(B)AxA21o(D)例題例題大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動xo2.55.0-2.5一質點作簡諧振動的振動曲線如圖，寫出振動方程，指出a、b、c、d、e 各點對應狀態(tài)的相位。例題例題)cos(0tAxsTt2 . 12mA05. 0652T-2.5O2.5x (cm)1.02.2) s ( t-5.0abcde5.0oo(6(6de6(c350)3565cos(05. 0tx2c0a3b32d34eb(6a大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動一質點沿x軸作簡諧振動,振幅A=0.

14、12m,周期T=2s。當t=0時,物體的位移x=0.06m,且向x軸正向運動。解: (1)取平衡位置為坐標原點,諧振動方程寫為：)cos(0tAx其中A=0.12m, T=2s, )(s21T初始條件：t = 0, x0=0.06m,可得06. 0cos12. 0030據(jù)初始條件 得, 0sin00Av30(m)3cos(12. 0tx(1)初位相；(2) t =0.5s時物體的位置、速度和加速度；(3)物體從x =0.06m向 X 軸負方向運動，第一次回到平衡位置所需時間。例題例題大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動(2) 由(1)求得的簡諧振動表達式得:)s(m)3sin(12

15、. 0dd1ttxv)s(m)3cos(12. 0dd22ttva在t =T/4=0.5s時，從前面所列的表達式可得m104. 0m) 35 . 0cos(12. 0 x11sm18. 0sm)35 . 0sin(12. 0v222sm03. 1sm)35 . 0cos(12. 0a大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動(3) 當x = 0.06m時，該時刻設為t1，得21)3cos(1t設物體在t2時刻第一次回到平衡位置，相位是23因此從x = -0.06m處第一次回到平衡位置的時間：。s83. 012ttt另解：從t1時刻到t2時刻所對應的相差為：65322331ts11t233

16、2ts83. 12ts83. 0t3432(此時v為負,舍去)3231tx2/A2/A0t1t2t大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動試用矢量圖示法確定相應的初相的值，并寫出振動表式有一個和輕彈簧相連的小球，沿x軸作振幅為A的簡諧振動，若t0時，小球的運動狀態(tài)為：（2）過平衡位置向x軸正方向運動（4）過 向x軸正方向運動2Ax （1）Axo（3）過 向x軸負方向運動2Ax AxOAxOOAxAxO)cos(1tAx)2cos(2tAx) 3cos(3tAx)4cos(4tAx例題例題大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動第二部分實例分析和討論大學物理(CX)北京信息科技大

17、學第六章 機械振動一輕彈簧的右端連著一物體,彈簧的勁度系數(shù)k=0.72N/m，物體的質量m=20g。(2) 求物體從初始位置運動到第一次經過A/2處時的速度(1) 把物體從平衡位置向右拉到x=0.05m處停下后再釋放，求簡諧振動方程(3) 如果物體在x=0.05m處時速度不等于零，而是具有向右的初速度vo=0.3m/s，求其運動方程。解：mk(rad/s) 602. 072. 0)cos(0tAx（1）)sin(0tAv)6sin(3 . 0tvA=0.05 m00)cos(0tAx)6cos(05. 0t（2）)6cos(2tAA36t)(18 st)/(2033sm（3）)sin(0tAv

18、)cos(0tAx0cos05. 0A0sin63 . 0A) 46cos(205. 0tx例題例題大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動一物體沿x軸作簡諧振動，振幅為0.24m，周期為2s。當t = 0時，x0 = 0.12m，且向x軸正向運動。求（1）振動方程。（2）從x=0.12m且向ox 軸負方向運動這一狀態(tài)，回到平衡位置所需的最短時間。解 ：（1 1）)(21sradT)(24. 0Am)cos(tAx當t = 0時， ，且向x軸正方向運動m.x1200Ax2/AO)3 cos(24. 0txAx2/AOtt2365st833. 0/65（2）例題例題大學物理(CX)北京信息科技大學第六章 機械振動質量為0.10kg的物體，以振幅1.0cm作簡諧運動，其最大加速度為4.0m.s-2。求：(1) 振動的周期；(2) 通過平衡位置的動能； (3) 總能量； (4) 物體在何處其動能和勢能相等？解：（1）2maxAaAamax1s20s314. 02T（2）J100 . 23221maxmax,kmEv2)(21Am)sin(tAv)cos(02tAa（