大學(xué)物理課件：第6章 機(jī)械振動(dòng)CX-01

1、大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)第 六 章機(jī)械振動(dòng)大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)本章教學(xué)要求本章教學(xué)要求第六章 機(jī)械振動(dòng)已知振動(dòng)方程，會(huì)確定其周期、角頻率、相位(初相位)。已知簡(jiǎn)諧振子在四個(gè)特殊位置(最大正、負(fù)位移處、平衡位置處)，會(huì)判斷其對(duì)應(yīng)的初相位，反之亦然。已知兩個(gè)同方向運(yùn)動(dòng)方程，會(huì)判斷其合成是否是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。已知兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，求其合成規(guī)律。由旋轉(zhuǎn)矢量圖，會(huì)判斷振子的初相位及振子的運(yùn)動(dòng)方向。大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)本章主要內(nèi)容第一部分第一部分大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)一、物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)必須滿足

2、下面三個(gè)條件運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：xa2加速度與位移成正比而方向相反運(yùn)動(dòng)方程：)cos(0tAx位移按余弦規(guī)律變化動(dòng)力學(xué)特征：kxF胡克定律大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系：加速度位 移時(shí) 間速 度tvtatx0024加速度加速度速速 度度位位 移移)cos(0tAx)(sin0tAdtdxv)(cos0222tAdtxda討論討論大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)xcosA) ( t0相 位振 幅角頻率初 相T22頻率周期歸納歸納簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、速度和加速度，存在：

3、)cos(0tAx)2cos()sin(0m0mtvtvv)cos()cos(mm00tataa速度的相位比位移的相位超前 2加速度的相位比位移的相位超前 。三、兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)行比較：同相+反相+超前+落后大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng) 0000sin,cosAvAx2020)(vxA000arctgxv在 到 之間，通常 存在兩個(gè)值，可根據(jù) 進(jìn)行取舍。000sinAv簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程 中常量 A 和 的確定0)cos(0tAx根據(jù)初始條件：00 , 0vvxxt大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)AxFOAP)0txOx簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)與與旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量的對(duì)應(yīng)關(guān)系

4、的對(duì)應(yīng)關(guān)系矢量端點(diǎn)在 x 軸上投影（P點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)規(guī)律： )cos(0tAx三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法（旋轉(zhuǎn)矢量的定義） 振動(dòng)相位 與x 軸的夾角 逆時(shí)針?lè)较?旋轉(zhuǎn)的方向 振動(dòng)圓頻率 旋轉(zhuǎn)的角速度 振幅A 的長(zhǎng)度AAAAA矢量 繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)的角速度與為 。A大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)xOABCDxFOx 0 x 0 x 0 x 0v 0v 0v 0v 0簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特征分析(旋轉(zhuǎn)矢量)：avx , ,(1) t = 0時(shí)刻 A、B、C、D四 個(gè)點(diǎn)的avx , ,(2) 四個(gè)象限內(nèi)的 的特征avx , ,討論討論回復(fù)力的方向始終指向O點(diǎn)，故 始終也指向O點(diǎn)。

5、a 大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相位之差為.)()(1212tt采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為：)cos(111tAx)cos(222tAx）O211A2A）x大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)以水平彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量)cos(0tAx)sin(0tAv動(dòng)能)(sin212102222tAmmvEK勢(shì)能)(cos21210222tkAkxEP系統(tǒng)總的機(jī)械能：)(cos21)(sin210220222tkAtAmEEEPK五、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量mk2221kA系統(tǒng)的總能量大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)特 點(diǎn)：彈簧振

6、子在做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，動(dòng)能、勢(shì)能隨時(shí)間呈周期性變化在振動(dòng)過(guò)程中,動(dòng)能與勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，總的機(jī)械能守恒簡(jiǎn)諧振動(dòng)的機(jī)械能守恒振子位于最大位置時(shí)，勢(shì)能最大，動(dòng)能最小為零。振子位于平衡位置時(shí)，動(dòng)能最大，勢(shì)能最小振子的機(jī)械能守恒，等于221kA大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)合位移：)cos(021tAxxx一、同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成)cos(21020212221AAAAA202101202101coscossinsintgAAAA其中：)cos(1011tAx)cos(2022tAx1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)2.方向和頻率相同大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)用旋轉(zhuǎn)矢量法來(lái)求合振

7、動(dòng) 21AAA2A201001A1x2xxOx)cos(1011tAx)cos(2022tAx)cos(0tAx)cos(21020212221AAAAA)coscos()sinsin(tg202101202101AAAA合振動(dòng)的振幅和初相大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng))cos(21020212221AAAAA1）相位差), 2 1 0( ，k21AAA同相迭加，合振幅最大k210202）相位差), 2 1 0( ，k) 12(1020k21AAA反相迭加，合振幅最小當(dāng)A1=A2 時(shí)，A=0。3) 一般情況下21AA 21AA A 討論討論大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六

8、章 機(jī)械振動(dòng)若A、B、C、D四質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程分別為：(A) xA= at + bcoswt； (B) xB= asinwt + bcoswt；(C) xC= asinwt + bcos2wt； (D) xD= asinwt coswt。 a、b、w 均為大于零的常量，作諧振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)是： )cos(0tAx例題例題具有諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程特征大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)mglmglMsin2mlJ lg2令sin, 5時(shí)角振幅 和初相 由初始條件求得m0mgltJM22dd由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：TlmOA)mg判斷：?jiǎn)螖[的擺動(dòng)是諧振動(dòng)嗎( )？ 5討論討論lgt22dd222ddt)cos

9、(mt具有諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特征大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)勁度系數(shù)為 K 的輕彈簧下端系一質(zhì)量為 m 的物體，上端系在天花板上?，F(xiàn)用手托起物體，使彈簧保持原長(zhǎng)，然后突然放手。問(wèn)物體是否作簡(jiǎn)諧振動(dòng)? 討論討論0laox設(shè)原長(zhǎng)為 ，自由懸掛物體時(shí)的平衡位置為原點(diǎn)（如圖），則：0lkamg 物體運(yùn)動(dòng)到 x 處時(shí)所受的合力為：xmgTTmgFkamg kxF具有簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征物體運(yùn)動(dòng)到 x 處時(shí)彈簧伸長(zhǎng))(ax)(axkT由胡克定理，得：大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng))SI( )34cos(5 . 0txst 8一質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)方程為求：在時(shí)刻

10、 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度、加速度解：（1）質(zhì)點(diǎn)的位置)34cos(5 . 0tx)384cos(5 . 0)(43m（2）質(zhì)點(diǎn)的速度)34cos(5 . 0tx)34sin(2tv8t)/( 1smv（3）質(zhì)點(diǎn)的加速度)34sin(2tv)34cos(8ta8t)/(342sma 例題例題大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng))SI( )34cos(5 . 0tx一質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)方程為求：該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期、頻率、初相位以及 時(shí)的相位。st 8解：照貓畫(huà)虎找對(duì)應(yīng)關(guān)系（1）振幅 A=0.5 m)cos(0tAx（2）周期 2T 4(s) 2T（3）頻率 1Tf 2f

11、（4）初相位0t30（5） 時(shí)的相位st 8 65例題例題大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)0cos0A2 00sin00Av2 0sin00取已知： 時(shí)， 。求初相位00 0 0 0v,xtxvo)cos(0tAx)sin(0tAv解：例題例題大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖所示，振幅矢量長(zhǎng)2 cm，則該簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相為_(kāi)。振動(dòng)方程為_(kāi) )4cos(1022/tx (SI) tt4cos()xAt)xO4t)t = tt = 0例題例題大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng))SI( )312cos(1042tx一質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸

12、作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為 從t = 0時(shí)刻起，到質(zhì)點(diǎn)位置在 x = -2 cm處，且向 x 軸正方向運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間間隔為 s81s61s41s31s21 (B) (C) (D) (E) (A) toxt = 0例題例題2014 10cos23xcm2大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)Ax2/AO(A)Ax2/Ao(C)x2/A(B)AxA21o(D)例題例題一質(zhì)點(diǎn)做諧振動(dòng)，振幅為 A，在起始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移為-A/2 且向 x 軸的正方向運(yùn)動(dòng)，代表此諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為：大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為A，在起始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移為A/2，且向x軸

13、的正方向運(yùn)動(dòng)，代表此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為Ax2/AO(A)Ax2/Ao(C)x2/A(B)AxA21o(D)例題例題大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)xo2.55.0-2.5一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖，寫(xiě)出振動(dòng)方程，指出a、b、c、d、e 各點(diǎn)對(duì)應(yīng)狀態(tài)的相位。例題例題)cos(0tAxsTt2 . 12mA05. 0652T-2.5O2.5x (cm)1.02.2) s ( t-5.0abcde5.0oo(6(6de6(c350)3565cos(05. 0tx2c0a3b32d34eb(6a大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng),振幅A=0.

14、12m,周期T=2s。當(dāng)t=0時(shí),物體的位移x=0.06m,且向x軸正向運(yùn)動(dòng)。解: (1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),諧振動(dòng)方程寫(xiě)為：)cos(0tAx其中A=0.12m, T=2s, )(s21T初始條件：t = 0, x0=0.06m,可得06. 0cos12. 0030據(jù)初始條件 得, 0sin00Av30(m)3cos(12. 0tx(1)初位相；(2) t =0.5s時(shí)物體的位置、速度和加速度；(3)物體從x =0.06m向 X 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。例題例題大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)(2) 由(1)求得的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式得:)s(m)3sin(12

15、. 0dd1ttxv)s(m)3cos(12. 0dd22ttva在t =T/4=0.5s時(shí)，從前面所列的表達(dá)式可得m104. 0m) 35 . 0cos(12. 0 x11sm18. 0sm)35 . 0sin(12. 0v222sm03. 1sm)35 . 0cos(12. 0a大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)(3) 當(dāng)x = 0.06m時(shí)，該時(shí)刻設(shè)為t1，得21)3cos(1t設(shè)物體在t2時(shí)刻第一次回到平衡位置，相位是23因此從x = -0.06m處第一次回到平衡位置的時(shí)間：。s83. 012ttt另解：從t1時(shí)刻到t2時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為：65322331ts11t233

16、2ts83. 12ts83. 0t3432(此時(shí)v為負(fù),舍去)3231tx2/A2/A0t1t2t大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)試用矢量圖示法確定相應(yīng)的初相的值，并寫(xiě)出振動(dòng)表式有一個(gè)和輕彈簧相連的小球，沿x軸作振幅為A的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，若t0時(shí)，小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為：（2）過(guò)平衡位置向x軸正方向運(yùn)動(dòng)（4）過(guò) 向x軸正方向運(yùn)動(dòng)2Ax （1）Axo（3）過(guò) 向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)2Ax AxOAxOOAxAxO)cos(1tAx)2cos(2tAx) 3cos(3tAx)4cos(4tAx例題例題大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)第二部分實(shí)例分析和討論大學(xué)物理(CX)北京信息科技大

17、學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)一輕彈簧的右端連著一物體,彈簧的勁度系數(shù)k=0.72N/m，物體的質(zhì)量m=20g。(2) 求物體從初始位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過(guò)A/2處時(shí)的速度(1) 把物體從平衡位置向右拉到x=0.05m處停下后再釋放，求簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程(3) 如果物體在x=0.05m處時(shí)速度不等于零，而是具有向右的初速度vo=0.3m/s，求其運(yùn)動(dòng)方程。解：mk(rad/s) 602. 072. 0)cos(0tAx（1）)sin(0tAv)6sin(3 . 0tvA=0.05 m00)cos(0tAx)6cos(05. 0t（2）)6cos(2tAA36t)(18 st)/(2033sm（3）)sin(0tAv

18、)cos(0tAx0cos05. 0A0sin63 . 0A) 46cos(205. 0tx例題例題大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為0.24m，周期為2s。當(dāng)t = 0時(shí)，x0 = 0.12m，且向x軸正向運(yùn)動(dòng)。求（1）振動(dòng)方程。（2）從x=0.12m且向ox 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)這一狀態(tài)，回到平衡位置所需的最短時(shí)間。解 ：（1 1）)(21sradT)(24. 0Am)cos(tAx當(dāng)t = 0時(shí)， ，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)m.x1200Ax2/AO)3 cos(24. 0txAx2/AOtt2365st833. 0/65（2）例題例題大學(xué)物理(CX)北京信息科技大學(xué)第六章 機(jī)械振動(dòng)質(zhì)量為0.10kg的物體，以振幅1.0cm作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其最大加速度為4.0m.s-2。求：(1) 振動(dòng)的周期；(2) 通過(guò)平衡位置的動(dòng)能； (3) 總能量； (4) 物體在何處其動(dòng)能和勢(shì)能相等？解：（1）2maxAaAamax1s20s314. 02T（2）J100 . 23221maxmax,kmEv2)(21Am)sin(tAv)cos(02tAa（