信號與系統(tǒng) 西安郵電 習題答案

1、第一次1.1 畫出下列各個信號的波形式中為斜升函數(shù)知識要點：本題主要考查階躍函數(shù)和單位階躍序列的性質，包括和的波形特性以及它們與普通函數(shù)結合時的波形變化特性。解題方法：首先考慮各信號中普通函數(shù)的波形特點，再考慮與或結合時的變化情況；若只是普通信號與階躍信號相乘，則可利用或的性質直接畫出或部分的普通函數(shù)的波形；若是普通函數(shù)與階躍信號組合成的復合信號，則需要考慮普通函數(shù)值域及其對應的區(qū)間。(1) 解：正弦信號周期(2) 解：， 正弦信號周期(3) 解：， 正弦信號周期(4) (5)1.2 畫出下列各信號的波形式中為斜升函數(shù)知識要點：本題主要考查階躍函數(shù)和單位階躍序列的性質，包括和的波形特性以及它們

2、與普通函數(shù)結合時的波形變化特性。解題方法：首先考慮各信號中普通函數(shù)的波形特點，再考慮與或結合時的變化情況；若只是普通信號與階躍信號相乘，則可利用或的性質直接畫出或部分的普通函數(shù)的波形；若是普通函數(shù)與階躍信號組合成的復合信號，則需要考慮普通函數(shù)值域及其對應的區(qū)間。(1) (2)(3)解：(4) (5) 1.3 寫出下圖所示各波形的表達式(1) 解：(2) 解：1.4 寫出下圖所示各序列的閉合形式的表示式(a) 解：(b) 解：(課堂已講)1.5 判別下列各序列是否為周期性的，如果是，確定其周期(1) 解： 周期序列(2) 解：，m取3，； ，；故(3) 解：，故非周期； ，；故非周期1.6 已知

3、信號的波形如下圖所示，畫出下列各函數(shù)的波形(1) (2) (3) 1.7 已知序列的圖形如圖所示，畫出下列各序列的圖形(1) (2) 1.8 信號的波形圖如下所示，試畫出和的波形解：由圖可知：，則當時，；當時，當時，(課堂已講)1.9 已知信號的波形如圖所示，分別畫出和的波形解：第二次1.10 計算下列各題，(1) 解：(2) 解：(3) 解：(4) 解：(5) 解：(6) 解：(7) 解：(8) 解：(課堂已講)1.11 設系統(tǒng)的初始狀態(tài)為，激勵為，各系統(tǒng)的全響應與激勵和初始狀態(tài)的關系如下，試分析各系統(tǒng)是否是線性的。根據(jù)線性系統(tǒng)的定義，依次判斷系統(tǒng)是否具有分解特性、零輸入線性、零狀態(tài)線性。(

4、1) 解： 滿足可分解性 線性線性(2) 解： 滿足可分解性線性非線性系統(tǒng)非線性(課堂已講)1.12 下列微分或差分方程所描述的系統(tǒng)，是線性的還是非線性的？是時變的還是不變的？(1) 解：常系數(shù)、線性、微分方程故為，線性時不變系統(tǒng)(2) 解：變系數(shù)、線性、差分方程故為，線性時變系統(tǒng)1.13 設激勵為，下列等式是各系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，判斷各系統(tǒng)是否是線性的、時不變的、因果的、穩(wěn)定的？(1) 解：，非線性，時不變當，有，則，非因果若，則，穩(wěn)定(2) 解：，線性若延遲輸入為，則系統(tǒng)輸出為，時變若，有若，則，非因果若，則，穩(wěn)定。(3) 解：非線性，時不變若，有，因果若，則，穩(wěn)定。(4) 解：，非線性，時

5、變若，有，則，且，非因果若，則，穩(wěn)定1.14 已知某LTI系統(tǒng)在相同初始條件下，當激勵為時，系統(tǒng)的完全響應為，當激勵為時，該系統(tǒng)的完全響應為。試用時域分析法求初始條件變?yōu)樵瓉淼膬杀抖顬闀r該系統(tǒng)的完全響應。知識要點：本題主要考查LTI連續(xù)系統(tǒng)的齊次性和可加性以及可分解特性。解題方法：利用零輸入響應的齊次性和可加性，零狀態(tài)響應的齊次性和可加性以及系統(tǒng)的可分解特性求解。解：，1.15 某一階LTI離散系統(tǒng)，其初始狀態(tài)為，已知當激勵為時，其全響應為；若初始狀態(tài)不變，當激勵為時，其全響應為；若初始狀態(tài)為，當激勵為時，求其全響應。解：第三次2.1 已知描述連續(xù)系統(tǒng)的微分方程和初始狀態(tài)為，試求其零輸入響

6、應。解：求出齊次方程的齊次解，代入初始狀態(tài)求解方程的特征方程為，特征根為，微分方程的齊次解為又激勵為0，即 ，2.2 已知描述系統(tǒng)的微分方程和初始狀態(tài)如下，試求其值和。解：利用微分方程兩端各奇異函數(shù)項的系數(shù)相平衡的方法，判斷是否發(fā)生躍變，并從積分，求得時刻的初始值(1) ，解：當時，方程右端不含有沖激項，則及其各階導數(shù)不發(fā)生躍變，則(2) 解：當時，代入方程得 令，中不含及其各階導 (2) ， ，不含及其各階導 (1) ，不含及其各階導所以，代入(1)式中，并從積分：，所以，故代入(2)式中，并從積分：所以，故注意：其中，。2.3 描述系統(tǒng)的方程為，求其沖激響應和階躍響應。知識要點：本題主要考

7、利用方程兩端奇異函數(shù)系數(shù)相平衡的方法來判斷是否發(fā)生躍變；。解題方法：選取新變量，使?jié)M足方程，設其沖激響應為；系統(tǒng)的沖激響應為，在帶入公式，求出階躍響應式。解法1：選新變量，則當時，特征方程為：，。解法2：當時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應， 設，從積分 (1) (2) ，不含及其各階導數(shù)，則，對(1)從積分,對(2)從積分,當時，,2.4 信號和的波形如下圖所示，設，求。解：(上課已講)2.5 各函數(shù)波形如圖所示，圖(a)、（b)、（c)、(d) 中均為單位沖激函數(shù)，試求下列卷積，并畫出波形圖。知識要點：本題主要考查卷積的基本性質：結合律、分配律、時移性質。解題方法：利用卷積的基本性質，代入公式求解。(1

8、) 解：(2) 解：(3) 解：2.6 求下列函數(shù)的卷積積分。知識要點：本題主要考查。解題方法：對于簡單函數(shù)積分，直接代入積分定義公式求解。(1) ，解： (2) ，解：(3) ，解：(4) ，解：(5) ，解： 第四次2.7 已知某系統(tǒng)的數(shù)學模型為，求系統(tǒng)的沖激響應；若輸入信號為，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。解：令，則若設方程右端含有利用系數(shù)平衡法可知，中含有，中含有，則在處不連續(xù)，即；在處連續(xù)，又對時，有，故沖激響應為其次解，2.8 如果LTI系統(tǒng)的輸入為，如下圖所示，求其零狀態(tài)響應。解：由圖可知：2.9 某LTI系統(tǒng)，其輸入與輸出的關系為，求該系統(tǒng)的沖激響應。解：令，則，由輸入輸出關系可得2.1

9、0 如下圖所示的系統(tǒng)，它由幾個子系統(tǒng)組合而成，各個子系統(tǒng)的沖擊響應分別為，求復合系統(tǒng)的沖激響應。知識要點：本題主要考查沖激響應等于輸入時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，；兩系統(tǒng)級聯(lián)組成的復合系統(tǒng)的沖激響應等于兩系統(tǒng)沖激響應的卷積；系統(tǒng)的齊次性和可加性。解題方法：根據(jù)系統(tǒng)的齊次性、可加性寫出加法器的輸出，進而利用系統(tǒng)級聯(lián)的性質得出系統(tǒng)復合后的沖激響應。解：設，則加法器輸出為 3.1 求下面差分方程，所描述的LTI離散系統(tǒng)的零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應。知識要點：本題主要考查系統(tǒng)的全響應為零輸入響應和零狀態(tài)響應之和，則有；零狀態(tài)響應，則有。解題方法：由差分方程得到系統(tǒng)的齊次方程，求得含有待定系數(shù)的零輸入響應，

10、由初始值求得待定系數(shù)，對于零狀態(tài)響應，由，以及激勵可確定零狀態(tài)響應的初始值，進而解差分方程求得零狀態(tài)響應，從而可得到系統(tǒng)的全響應。解：對于零輸入響應有特征方程：，代入初始值：， ，；對于零狀態(tài)響應有 (1)初始值： 特征方程：,其特解為：代入(1)式得，；全響應：3.2 求差分方程所描述的離散系統(tǒng)的單位序列響應。解：當只有作用時，系統(tǒng)的單位序列響應為特征方程為：，初始值，3.3 求下圖所示系統(tǒng)的單位序列響應和階躍響應。知識要點：本題主要考查對于一階差分方程所描述的LTI離散系統(tǒng)有，和分別為單位序列響應和階躍響應；延遲器的輸入為，則輸出為。解題方法：根據(jù)系統(tǒng)框圖列寫差分方程，求解系統(tǒng)單位序列響應

11、，再代入公式求階躍響應。解：，對于單位序列響應，令，則，且，初始值：，特征方程為：，單位序列響應為：；對于階躍響應，令，則，且，初始值：，特征方程為：，令特解為：，則，階躍響應為：，另解：其中，第五次3.4 各序列的圖形如下圖所示，求下列各式卷積和。知識要點：本題主要考查，。解題方法：由各序列的波形圖容易得出各序列的表示式，利用卷積的基本性質代入公式求解。(1) 解：(2) 解：3.5 已知系統(tǒng)的激勵和單位序列響應如下，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。(1) 解：，(2) ，解：3.6 如圖所示的復合系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)組成，它們的單位序列響應分別為：，求復合系統(tǒng)的單位序列響應。解：令，則加法器輸出為第六次4

12、.1 判斷下列信號是否為周期信號，若是，求其基波角頻率和周期知識要點：本題主要考查。解題方法：周期信號的基波角頻率為信號中各頻率成分中頻率最小的信號的頻率，且其余信號的角頻率均為此角頻率的整數(shù)倍，周期由公式求得。(1) 解：與2不是整數(shù)倍關系，為非周期信號。(2) 解：(s)，(s)，(s)。4.2 周期信號的雙邊頻譜如圖所示，求其三角函數(shù)表達式。知識要點：本題主要考查，；，其中，解題方法：根據(jù)頻譜圖列出各頻率分量，帶入三角函數(shù)表達式中即可求解。解：由圖可知，4.3 用直接計算傅里葉系數(shù)的方法，求下圖所示周期函數(shù)的傅里葉系數(shù)（三角形式或指數(shù)形式）。解：由圖可知，4.4 利用奇偶性判斷下圖所示各

13、周期信號的傅里葉級數(shù)中所含的頻率量。知識要點：本題主要考查若，則有；若，則有；若，則有，只含奇次諧波分量，不含偶次諧波分量。解題方法：根據(jù)已知信號波形找出滿足的關系，即可找出其傅里葉級數(shù)中所含有的頻率分量。解：(a) 由的波形可知,的傅里葉級數(shù)中含有的頻率分量為奇次余弦波；(b) 由的波形可知的傅里葉級數(shù)中含有奇次諧波，包括正弦波和余弦波。4.5 已知信號(1) 求該周期信號的周期T和基波角頻率，指出其諧波次數(shù)；(2) 畫出雙邊幅度譜和相位譜圖；(3) 計算信號的功率。知識要點：本題主要考查；。解題方法：利用已知條件觀察求出，并帶入公式計算求出諧波分量；根據(jù)、值，帶入公式求出，并計算信號的功率

14、。解：(1)，諧波次數(shù)為二次，三次，四次；(2) 由題可知，；可畫出雙邊頻譜圖如下：(3) 。4.6 根據(jù)傅里葉變換的對稱性求函數(shù)，的傅里葉變換。解：，取，(附注：)4.7 求下列信號的傅里葉變換知識要點：本題主要考查傅里葉變換的基本性質(包括時移性質、頻移性質等)以及特殊函數(shù)的傅里葉變換。解題方法：直接利用傅里葉變換的基本性質進行求解。(1) 解法1：，解法2：(2) 解：，(3) 解：第七次4.8 若已知，試求下列函數(shù)的頻譜。知識要點：本題主要考查傅里葉變換的基本性質，包括時移性、微分和積分特性、尺度變換特性等。解題方法：根據(jù)已知條件，直接利用傅里葉變換的基本性質求解。(1) 解法一：,

15、, , 解法二： (2) 解：時域微分特性： 頻域微分特性： (3) 解：令,則,(4) 解： 且 4.9 求下列函數(shù)的傅里葉逆變換。，(1) 解：，(2) 解法一：解法二：4.10 試用下列方法求如圖所示信號的頻譜函數(shù)。知識要點：本題主要考查傅里葉的線性特性和時移特性；時域積分定理，即若，則有；時域卷積定理，若，則有。解題方法：根據(jù)的波形特征，直接利用傅里葉變換的相關性質求解。(1) 利用延時和線性性質(門函數(shù)的頻譜可利用已知結果)。解：令，則時移特性：，(2) 將看作門函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積之和。解：，且，時移特性：，4.11 如下圖所示信號，的傅里葉變換已知，求信號的傅里葉變換。解：4.1

16、2 用傅里葉變換性質，求下圖所示函數(shù)的傅里葉逆變換。知識要點：本題主要考查傅里葉逆變換的公式；傅里葉變換的對稱性和時移特性。解題方法：由的幅頻圖和相頻圖可得其閉合表達式，再利用傅里葉變換的基本性質求解。解：由的幅頻圖和相頻圖可得，令，第八次4.13 如圖所示信號的頻譜函數(shù)為，求下列各值。知識要點：本題主要考查傅里葉變換定義；傅里葉逆變換的定義；能量等式。解題方法：，直接利用這些等式及能量等式求解。(1) 解：(2) 解：，又，(3) 解：，4.14 利用能量等式，計算解：，令，4.15 一個周期為的周期信號，已知其指數(shù)形式的傅里葉系數(shù)為，求周期信號的傅里葉系數(shù)。解：的傅里葉系數(shù)為4.16 穩(wěn)定

17、的因果LTI系統(tǒng)輸入輸出關系由下列微分方程確定(1) 求系統(tǒng)的沖擊響應；(2) 求系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)；(3) 當輸入時，計算輸出。知識要點：本題主要考查系統(tǒng)的頻率響應，式中、分別為系統(tǒng)響應與激勵的傅里葉變換。解題方法：根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程，兩邊同時進行傅里葉變換，整理求解。解：(1) (2) (3) 4.17 某LTI系統(tǒng)的頻率響應為，若系統(tǒng)輸入，求該系統(tǒng)的輸出。解：4.18 某系統(tǒng)的零狀態(tài)響應和輸入信號的關系為，(1) 求該系統(tǒng)的沖擊響應和頻率響應；(2) 證明和輸入信號的能量相等。知識要點：本題主要考查系統(tǒng)的頻率響應，式中、分別為系統(tǒng)響應與激勵的傅里葉變換；能量等式。解題方法：利用已知條

18、件，直接代入公式求解。解：(1) ,又，(2) ，4.19 一個LTI系統(tǒng)的頻率響應若輸入，求該系統(tǒng)的輸出。知識要點：本題主要考查時域卷積定理和頻域卷積定理、傅里葉變換對稱性；。解題方法：由頻域卷積定理求出的傅里葉變換，代入公式求出，再求的傅里葉逆變換即得系統(tǒng)的輸出。解：，令，又令，再第九次4.20 下圖所示系統(tǒng)中，已知激勵信號的傅里葉變換為，畫出該系統(tǒng)A點和B點的頻譜圖。知識要點：本題主要考查系統(tǒng)的頻率響應，式中、分別為系統(tǒng)響應與激勵的傅里葉變換。解題方法：利用已知條件，直接代入公式求解。解：，4.21 某線性時不變系統(tǒng)的輸入為如圖所示的周期信號，系統(tǒng)的沖擊響應為，求：(1) 系統(tǒng)的頻率響應

19、；(2) 的復傅里葉系數(shù)和系統(tǒng)的輸出；(3) 若輸入信號的單位為伏，求該輸出信號的平均功率。知識要點：本題主要考查本題主要考查系統(tǒng)的頻率響應，式中、分別為系統(tǒng)響應與激勵的傅里葉變換；一般周期函數(shù)的傅里葉變換；能量等式。解題方法：利用已知條件，直接代入公式求解。解：(1) 由，則，(2) ，則，又，(3) 4.22 如圖(a)的系統(tǒng)，帶通濾波器的頻率響應如圖(b)所示，其相頻特性，若輸入，求輸出信號。解：，令，又，故，乘法器輸出信號的傅里葉變換為4.23 對下列信號求奈奎斯特采樣速率。已知帶限信號的最高頻率為200Hz。知識要點：本題主要考查傅里葉變換的基本性質；時域取樣定理。解題方法：根據(jù)傅里

20、葉變換的基本性質可以求得各信號的傅里葉變換，從而可以確定信號的最高頻率，根據(jù)時域取樣定理可以確定最小取樣頻率。(1) 解：，(2) 解：， ，所以最高頻率應為400Hz，(3) 解：，令，則，令，則，(4) 解：，令，則，第十次5.1 求下列函數(shù)的單邊拉普拉斯變換，并注明收斂域。(1) 解：， 又，(2) 解：，又，又5.2求下圖所示信號拉普拉斯變換，并注明收斂域。解法一：令，則又，解法二：，5.3利用常用函數(shù)的象函數(shù)及拉普拉斯變換的性質，求下列函數(shù)的拉普拉斯變換。(1) 解：，(2) 解：，(3) ，若為因果信號，解：，(4) 解：，(5) 解：，(6) 解：，(7) 解：，(8) 解：，5

21、.4如已知因果函數(shù)，求下列函數(shù)的象函數(shù)。(1) 解：，(2) 解：，5.5 求象函數(shù)的原函數(shù)的初值和終值解：5.6 求下圖所示在時接入的有始周期信號的象函數(shù)。(a) 解：令第一周期內的信號以表示，則，由圖可知周期為，(b) 解：令第一周期內的信號以表示，則，5.7 求下列各象函數(shù)的拉普拉斯變換。(1) 解：，原式(2) 解：，原式(3) 解：(4) 解：原式(5) 解：(6) 解：，5.8 求下列各象函數(shù)的拉普拉斯逆變換，并粗略畫出它們的波形圖。(1) 解：，(2) 解：，(3) 解：，5.9 象函數(shù)的原函數(shù)是接入的有始周期信號，求周期并寫出其第一個周期的時間表達式。有始周期函數(shù)可寫為，為在第

22、一周期內的表示式，解：，第十一次5.10 描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為，已知，求系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應。解：5.11 求微分方程所描述的LTI系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應。，解：5.12 描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為，初始條件為，已知輸入信號，求系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應。解：5.13 已知系統(tǒng)函數(shù)，初始狀態(tài)為，求系統(tǒng)的零輸入響應。解法一：零輸入響應滿足方程：解法二：的極點即為齊次方程的特征根，即，5.14 已知某LTI系統(tǒng)的階躍響應，欲使系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，求系統(tǒng)的輸入信號。解：5.15 描述某LTI連續(xù)系統(tǒng)的框圖如圖所示，已知當輸入時，系統(tǒng)的全響應，(1) 列寫系統(tǒng)的輸入輸出方程；(2)

23、 求系統(tǒng)的零輸入響應。解：5.16 如圖所示的復合系統(tǒng)，由4個子系統(tǒng)連接組成，若各個子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)或沖激響應分別為：，求復合系統(tǒng)的沖激響應。解：5.17 如圖所示系統(tǒng)，已知當時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，求系統(tǒng)、。解：5.18 根據(jù)函數(shù)的象函數(shù)，求的傅里葉變換。解：，5.19 某因果信號的拉普拉斯變換為，求該信號的傅里葉變換。解：5.20 設某LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)一定，已知當激勵時，其全響應；當激勵時，其全響應；當時，求系統(tǒng)的全響應。解：，第十二次6.1 求序列的變換，并注明收斂域解：，6.2 根據(jù)下列象函數(shù)及所標注的收斂域，求其所對應的原序列。(1) 解：為因果序列，(2) 解：為反因果序列，

24、(3) 解：為雙邊序列，6.3 已知，試利用變換的性質求下列序列的變換并注明收斂域。(1) 解：，(2) 解：，(3) 解：(4) 解：，(5) 解：6.4 利用變換的性質求下列序列的變換。(1) 解：(2) 解：6.5 因果序列的變換為：，求。解：，6.6 若因果序列的變換，能否應用終值定理？若能，求出。解：為因果序列，則由可知，其收斂域為，在其收斂域內，故可應用終值定理。6.7 求下列函數(shù)的逆變換(1) 解：，為因果序列，(2) 解：，為因果序列6.8 求下列象函數(shù)的雙邊逆變換(1) 解：，為反因果序列(2) 解：，為因果序列(3) 解：，為雙邊序列第十三次6.9 描述LTI離散系統(tǒng)的差分方程為，已知，求該系統(tǒng)的零輸入響應，零狀態(tài)響應及全響應。解：又，可設零輸入響應為：又6.10 下圖為LTI離散系統(tǒng)框圖，求系統(tǒng)的單位序列響應和階躍響應。解：方法一：，方法二：6.11 如圖所示系統(tǒng)，(1) 求該系統(tǒng)的單位序列響應；(2) 如，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。解：6.12 設離散因果系統(tǒng)的階躍響應為，已知系統(tǒng)對輸入的零狀態(tài)響應為，求系統(tǒng)的輸入。解：6.13 如圖所示的復合系統(tǒng)有三個子系統(tǒng)組成，如已知各子系統(tǒng)的單位序列響應或系統(tǒng)函數(shù)分別為，求輸入時的零狀態(tài)響應。解：6.14 一LTI因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，收斂域，(1) 求系統(tǒng)的頻率響應函數(shù)；(2) 求輸入序列時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。解：(1)