數(shù)值分析第四章數(shù)值積分

1、第四章數(shù)值4.0引言我們知道,若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x),則可用Newton-Leibnitz公式bòf (x)dx = F (b) - F (a)a的值 , Newton-Leibnitz公式無(wú)論在理論上求定還是在解決實(shí)際問(wèn)題上都起了很大作用，但它并不能完全解決定實(shí)際問(wèn)題極的計(jì)算問(wèn)題，因?yàn)閷W(xué)涉及的，而且極其復(fù)雜，在實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常遇到以下三種情況：(1) 被積函數(shù)f(x)并不一定能夠找到用初等函數(shù)的有限形式表示的原函數(shù)F(x)，例如：sin xx11òò2- xdxedx和00Newton-Leibnitz公式就為力了(2) 還有被積函數(shù)

2、f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，+ 32f (但表其表太復(fù)雜，例如函數(shù)并不復(fù)雜，但后卻很復(fù)雜,后其原函數(shù)F(x)為：2 F(3) 被積函數(shù)f(x)沒(méi)有具體的關(guān)系由表格或圖形表示。對(duì)于這些情況, 要計(jì)算, 其函數(shù)表的準(zhǔn)確值都是十分的。由此可見(jiàn),通過(guò)原函數(shù)來(lái)計(jì)算有它的局限性,因而研究一種新的方法來(lái)解決Newton-Leibniz公式所不能或很難解決的問(wèn)題,這時(shí)需要用數(shù)值解法來(lái)建立的近似計(jì)算方法。將區(qū)間細(xì)分,在每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)用簡(jiǎn)單函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行，這就是數(shù)值的思想，用代數(shù)插值多項(xiàng)式去代替被積函數(shù)發(fā)f(x)進(jìn)行是本章討論數(shù)值的主要內(nèi)容。4.14.1.1數(shù)值數(shù)值概述的基本思想bò值I =

3、在幾何上可以解釋為由f (x)dxax=a,x=b,y=0以及y=f(x)這四條邊所圍成的梯形面積。如圖4-1所示，而這個(gè)面積之所以難于計(jì)算是因?yàn)樗幸粭ly=f(x)y=f(x)圖4-1數(shù)值的幾何意義ab建立數(shù)值有兩種：公式的途徑比較多,其中最常用的（1）由知，對(duì)于連續(xù)函數(shù)f(x)，在中值區(qū)間a,b內(nèi)存在一點(diǎn)，使得x Î a, bbòf (x)dx = (b - a) f (x )a梯形的面積恰好等于底為(b-a)，即所求的f (x ) 的矩形面積。但是點(diǎn)的具置一般是未知的,因而 f (x ) 的值也是未知的, 稱 f (x )為f(x) 在區(qū)間a,b上的平均高度。那么只要

4、對(duì)平均高度f(wàn) (x )相應(yīng)地就獲得一種數(shù)值求積方法提供一種算法，按照這種思想，可構(gòu)造出一些求值的近似公式。f (a) + f (b)f (x )分別取 f (x ) » f ( a + b )和例如f (x ) »22y=f(x)則分別得到中矩形公式和梯形公式。梯形公式abf (x)dx » 1(b - a) f (a) + f (b)bòy=f(x)2中矩形公式f (x)dx »(b - a) f ( a + b )2abòaab Simpson公式f (x)dx » 1(b - a)é f (a) + 4 f

5、( a + b ) + f (b)ùbòêëúû62a在這三個(gè)公式中, 梯形公式把f(a), f(b)的平均值1 f (a) + f (b)a(a+b)/2b作為平均高度2f(x)的近似值而獲得的一種數(shù)值方法。( a + b )中矩形公式把a(bǔ),b 的中點(diǎn)處函數(shù)值f2作為平均高度f(wàn)(x)的近似值而獲得的一種數(shù)值積分方法。Simpson公式是以函數(shù)f(x)在a, b, (a+b)/2這三點(diǎn)的函f ( a + b )數(shù)值f(a), f(b),的平均值作為平均高度f(wàn)(x)的近方法。21 ( f (a) + 4 f ( a + b ) +f (

6、b)62似值而獲得的一種數(shù)值（2）先用某個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù) j(x) 近似逼近f(x), 用 j(x)bb代替原被積函數(shù)f(x)，即òòj (x)dxf (x)dx »aa以此構(gòu)造數(shù)值算法。從數(shù)值計(jì)算的角度考慮,函數(shù)j(x) 應(yīng)對(duì)f(x)有充分的逼近程度,并且容易計(jì)算其由于多項(xiàng)式能很好地逼近連續(xù)函數(shù),且又容易計(jì)算積。分,因此將 j(x)選取為插值多項(xiàng)式, 這樣f(x)的就可以用其插值多項(xiàng)式的來(lái)近似代替4.1.2插值求積公式xk (k = 0,1,L, n)設(shè)已知f(x)在節(jié)點(diǎn)有函數(shù)值 f (xk ),作n次日插值多項(xiàng)式nP(x) = åk =0f (xk )lk

7、 (x)=w(x) jl(式中k- xx()j =0 j ¹kkjkw (x) = (-n )P(x)dx這里b多項(xiàng)式P(x)易于求積,所以可取b作為òaò的近似值，即f (x)dxanåbbbòòòf ( x)dx »P( x)dx =f ( xk )lk ( x)dxaaak =0nn= åk =0lk ( x)dx = åk =0bòf ( xk)f ( xk)AkabbòòAk=lk (x)dx =其中(x -aa稱為求積系數(shù)。給出如下定義。定義4.1求積公

8、式nf (x)dx » å Ak f (xk )bò(4.1)ak =0blaò其系數(shù)(x)dx 時(shí)，則稱求積公式為插值A(chǔ)=kk求積公式。設(shè)插值求積公式的R( f ) ,由插值定理得(n+1) (x ) wf f (x) -bbòòR( f ) =P(x) dx(x)dx(n + 1)!aax Îa,b其中當(dāng)f(x)是次數(shù)不高于n的多項(xiàng)式時(shí)，有(n+1) (x) = 0fR( f ) =0,求積公式(4.1)能成為準(zhǔn)確的等式。由于閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)可用多項(xiàng)式逼近，所以一個(gè)求積公式能對(duì)多大次數(shù)的多項(xiàng)式f(x)成為準(zhǔn)確等式

9、，是衡量該公式的精確程度的重要指標(biāo)，為此給出以下定義。定義 （代數(shù)精度） 設(shè)求積公式（4.1）對(duì)于一切次數(shù)小于等于m的多項(xiàng)式(f (x) = 1,mf (x) = a+ a x + a+L+ ax 2xm)或012m是準(zhǔn)確的，而對(duì)于次數(shù)為m+1的多項(xiàng)式是確的，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度（簡(jiǎn)稱代數(shù)精度）由定義可知，若求積公式（4.1）的代數(shù)精度為n，則求積系數(shù)應(yīng)滿足線性方程組：AkA0 + A1 +L+ An= b - aìïïíï- a 2b2A0 x0 + A1 x1 +L+ An xn=2LLbn+1 - an+1ïA x+

10、A xn +L+A x=nnïî0011nnn + 1這是關(guān)于 Ak的線性方程組，其系數(shù)矩陣é 1êêêê1 ùú1L矩陣,是當(dāng)úxk (k = 0,1,L, n)n2 ú互異時(shí)非奇異,故núMMMêúA有唯一解。kên úëûnnbf (x)dx » å Ak f (xk )定理4.1n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式òak =0為插值型求積公式的充要條件是公式至少具有n次代數(shù)精度。nf (x)d

11、x » å A f (x )b證:必要性設(shè)n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式òkkak =0為插值型求積公式,求積系數(shù)為bòAk=lk (x)dxa又當(dāng)f(x)為不高于n次的多項(xiàng)式時(shí),R(f)=0。因而這時(shí)求積公式至少f (x) = P(x) + R(x)f(x)=P(x),其具有n次代數(shù)精度。充分性若求積公式至少具有n次代數(shù)精度,則對(duì)n次多項(xiàng)式必要性：若求積公式至少具有n次代數(shù)精度,則對(duì)n次多項(xiàng)式 jl(k = 0,1,L, n)kx- xj =0 j ¹kkjk = jk ¹ j= ì1nblåj=0ò(x)dx

12、 =l (x ) = dA l (x )精確成立,即而íkj kjkjkjî0af (x) = lk (x)ò取時(shí)nb=lk (x)dx = å Ajlk (x j )bòf (x)dxaaj =0bòAk=所以有l(wèi)k (x)dx,即求積公式為插值型求積公式a例4.1區(qū)間a, b為0, 2，取時(shí)設(shè)f (x) = 1, x,分別用梯形和4 , ex公式時(shí),2òf (x)dx »f (0) + f (2)0f (x)dx » 1 f (0) + 4 f (1) +f (2)2ò30計(jì)算其結(jié)果并與準(zhǔn)確

13、值進(jìn)行比較解:梯形公式和較如下表所示的計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值比4從表中可以看出,當(dāng)f(x)是公式比梯形公式更精確時(shí),辛一般說(shuō)來(lái)，代數(shù)精度越高，求積公式越精確。梯形公式和中矩形公式具有1次代數(shù)精度，式有3次代數(shù)精度。下面以梯形公式為例進(jìn)行驗(yàn)證公f(x)1xx2x3x4ex準(zhǔn)確值222.6746.406.389梯形公式計(jì)算值2248168.389公式計(jì)算值222.6746.676.421f (x)dx » b - a f (a) +f (b)bò2ab - a (1 + 1) = b - a2bò=1時(shí)， 1dx = b - a,取f(x)兩端相等a取f(x)=x時(shí),b -

14、 a (a + b) = 1 (b2 - a 2 )1bòxdx =(b - a 2 ),2兩端相等222a取f(x)=x2 時(shí),(b- a3 ), b - a (a 213+ b2 ) = 1 (a 22bòx dx =+ b2 )(b - a)232a兩端不相等所以梯形公式只有1次代數(shù)精度。例4.2試確定一個(gè)至少具有2次代數(shù)精度的公式4òf (x)dx » Af (0) + Bf (1) + Cf (3)0要使公式具有2次代數(shù)精度,則對(duì)f(x)=1,x,x2 求積公式準(zhǔn)確成立，即得如下方程組。ì解:A +B + C= 4= 8ï&

15、#239;B + 3Cíïïî解之得，64B + 9C=34 ,4 ,20A =B =C939f (x)dx » 14 f (0) + 12 f (1) + 20 f (3)4ò所求公式為：90例4.3 試確定求積系數(shù)A,B,C使1òf (x)dx » Af (-1) + Bf (0) + Cf (1)-1具有最高的代數(shù)精度解:分別取f(x)=1,x,x2使求積公式準(zhǔn)確成立,即得如下方程組。ìA +B + C+ C=2ïï-= 0Aíïïî2+

16、C=A3f (x)dx » 1 f (-1) + 4 f (0) + 1 f (1)1ò所得求積公式為：333就不-1對(duì)于f(x)=1,x,x2,x3都準(zhǔn)確成立,對(duì)于f(x)=x4準(zhǔn)確了，所以此求積公式3次代數(shù)精度。由于n+1節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少有n次代數(shù)精度，所以構(gòu)造求積公式后應(yīng)該驗(yàn)算所構(gòu)造求積公式的代數(shù)精度。例如 插值求積公式f (x)dx » b - a é f (a) + 4 f ( a + b ) + f (b)ùbòêëúû62a有三個(gè)節(jié)點(diǎn)至少有2次代數(shù)精度，是否有3次代數(shù)精度呢？

17、將f(x)=x2代入公式兩端，左端和右端都等于(b4-a4)/4,公式兩端嚴(yán)格相等，再將f(x)=x4代入公式兩端，兩端不相等，所以該求積公式具有3次代數(shù)精度。例4.4求積公式f (x)dx » 1 f (-1) + 2 f (0) + f (1)1ò2-1的代數(shù)精度可以驗(yàn)證, 對(duì)于f(x)=1, x時(shí)公式兩端相等, 再將f(x)=x21323代入公式左端1ò1-1x dx =23x-11 f (-1) + 2 f (0) + f (1) = 1 1 + 1 = 1右端22兩端不相等, 所以該求積公式具有 1 次代數(shù)精度.三個(gè)節(jié)點(diǎn)不一定具有2次代數(shù)精度，因?yàn)椴皇遣?/p>

18、值型的例4.5給定求積公式如下：11 éæ 1òf ( x)dx »ê2 f ç34èë0試證此求積公式是插值型的求積公式= 3證:設(shè),則以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的2424Lagrange插值基函數(shù)為l ( x) = æ x - 1 öæç2 ÷ç0èøèl1 (è4 øè- 1 öæl ( x)4 ÷ç2øè11æ òl0

19、 (x)dx = ò8ç xè00æ - 5 ´ 1 + 3 ö=ç8 ÷42èø11òl1 (x)dx = ò (-1600- 1 +=（16211æ òl2 (x)dx = ò8ç x -è00= 8æ 1 - 3 ´ 1 + 1 ö = 8 -ç 38 ÷è42ø3插值型求積公式為1ò01 éæ 3 öù

20、;æ 1 öæ 1 öf ( x)dx »ê2 f ç÷ - f ç÷ + 2 f ç÷ú3424èøèøèøûë由插值型求積公式的定義知，所給的求積公式是插值型求積公式。例4.6 求證f (x)dx » 1 f (-1) + 2 f (0) + f (1)1ò2-1不是插值型的證明:設(shè) x0 = -1,x1 =0,x2 =1,A2=1/2A0 =1/2,A1=1,則

21、以這三點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)為-1)l0 (- x-1(-1-1)()202-1)2l (1+1)l2 (- x )(1+1)(221)dx = 1 ´ 2 - 1 ´ 0 = 11òl(x)d0222323-11(1- x2 )dx = 2 - 2 = 411òòl (x)dx =133-11)dx = 1 ´ 2 + 1 ´ 0 = 11òl(x)d2222323-11bòAk=k = 0,1, 2lk (x)dxa插值型求積系數(shù)為A= 1，A = 4 ，A= 1012333與原求積

22、公式系數(shù)不一致（原求積公式系數(shù)A = 1 ,A= 1=1,A01222若與原求積系數(shù)一致，則是插值型的）原求積公式不是插值型的。證畢。例4.7 給定求積公式2hòf (x)dx » A-1 f (-h) + A0 f (0) + A1 f (h)-2h試確定求積系數(shù)A-1, A0 ,A1, 使其有盡可能高的代數(shù)精度，并指出其代數(shù)精度解：令求積公式對(duì)f(x)=1, x, x2準(zhǔn)確成立，則有ì+A0+= 4h= 0A-1A1ïï- hA+ hAí-11ïh 2= 16 h3+ h 2 AAïî-113A= -

23、 4 h, A= A= - 8 h解之得-10133f (x)dx » 4h2 f (-h) - f (0) + 2 f (h)2hò3-2h其代數(shù)精度至少為2,將f(x)=x3代入求積公式兩端相等,而將將f(x)=x4代入求積公式兩端不相等,所以其代數(shù)精度為3次例 4.8確定求積公式bòf (x)dx » A f (a) + A f (b) + A f ¢(a)123a使其具有盡可能高的代數(shù)精度解：不妨設(shè)a=0, b=h, b-a=h, 設(shè)所求公式的代數(shù)精度為2,則當(dāng)f(x)=1,x,x2時(shí)公式變成等式,即ìïA1+=A2

24、 A3=hh 2ïí A2 h +ï21ïh 2h 3Aïî23解：不妨設(shè)a=0, b=h, b-a=h, 設(shè)所求公式的代數(shù)精度為2,則當(dāng)f(x)=1,x,x2時(shí)公式變成等式,即解之得：A2h 2h2=, A33=, A1= 3 h6f (x)dx » h4 f (a) + 2 f (b) + hf ¢(a)bò6a其中h=b-a, 令f(x)=x3代入上式, 兩端不等, 說(shuō)明求積公式只有2次代數(shù)精度。構(gòu)造插值求積公式有如下特點(diǎn)：(1) 復(fù)雜函數(shù)f(x)的轉(zhuǎn)化為計(jì)算多項(xiàng)式的(2) 求積系數(shù)Ak只與區(qū)間及節(jié)

25、點(diǎn)xk有關(guān)，而與被積函數(shù)f(x)無(wú)關(guān)，可以不管f(x)如何，預(yù)先算出Ak的值(3) n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少具有n次代數(shù)精度nå Ak(4) 求積系數(shù)之和= b - ak =0可用此檢驗(yàn)計(jì)算求積系數(shù)的正確性例 4.9求證當(dāng)節(jié)點(diǎn)為n+1個(gè)時(shí),插值求積系數(shù)之和為nå Akk =0= b - anbb(x)dx =å Ak f (xk )證：òf ( x)aak =0當(dāng)節(jié)點(diǎn)為n + 1個(gè)時(shí)，插值求積公式有n次代數(shù)精度,對(duì)于f(x)=xn , 上式嚴(yán)格相等,所以取f(x)=1時(shí)，上式也嚴(yán)格相等，因此有nbb1dx =å Akòò

26、;f ( x)dx = b - aaak =0nå Ak= b - ak =0即A0 + A1 + An= b - a構(gòu)造插值求積公式的步驟(1)(2)在區(qū)間a,b上選取節(jié)點(diǎn)xkbl求出f(x )及利用òA=(x)dxkkka或解關(guān)于Ak的線性方程組求出Ak，這樣就得到了nbf ( x)dx » å Akf ( xk )òak =0(3)利用f(x)=xn,驗(yàn)算代數(shù)精度3òf (x)dx例4.10度構(gòu)造一個(gè)至少有3次代數(shù)精對(duì)0確定求積系數(shù)Ak(k=0,1,2,3),利用求積系數(shù)公式3 (= - 16= 33(0ò0ò

27、;òA =0(0 -1)(0 - 2)(0 - 3)8(1 - 0)(1 - 2)(1 - 3)= 9 , A= 9 , A= 33A=1238880f (x)dx » 3 f (0) + 3 f (1) + 3 f (2) +f (3)3ò80因?yàn)榍蠓e公式有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，所以至少具有3次代數(shù)精度，只需將f(x)=x4代入來(lái)驗(yàn)證其代數(shù)精度。將f(x)=x4代入兩端不相等，所以只有3次代數(shù)精度4.1.5、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性一般地,求積公式nf (x)dx » å Akbòfk ,(1.3)ak =0通常稱為機(jī)械求積公式.插值型求積公式

28、它的(n+1)nb f (x) - L (òR f =- x j )dx.(1.7)(n +1)!aaj =0定義2 在求積公式(1.3)中, 若nlim å Akbòf (x ) =f (x)dx,kn®¥ k =0ah®0其中h = max(xi - xi-1),則稱求積公式(1.3)是收斂的.1£i£n設(shè)f (xk )有誤差dk ,即f (xk ) - fk = dk(k = 0,1, n),則有n| In ( f ) - In ( f ) |= å Ak f (xk ) - fk .k =0定義3

29、 若"e > 0,$d > 0,只要£ d (k = 0,f (xk ) - fk, n), 就有n| In ( f ) - In ( f ) |= å Ak f (xk ) - f (xk ) £ e ,k =0則稱求積公式(1.3)是穩(wěn)定的.定理2 若求積公式(1.3)中系數(shù)Ak是穩(wěn)定的.> （0 0,1, n), 則求積公式£ df (xk ) - fk(k = 0,這是因?yàn)? n)時(shí), 有當(dāng)nn|= å Akk =0f (xk ) - f (xk ) £ d å Ak= (b - a)d

30、.| Rnk =04.2在插值求積公式(Newton-Cotes)求積公式nbbP(x)dx =å Akòòf (x)dx »f (xk )aak =0中,當(dāng)所取節(jié)點(diǎn)是等距時(shí)稱為-公式nP(x) = ålk (x) f (xk )k =0其中插值多項(xiàng)式求積系數(shù)blòA=(x)dxkka這里(x) 是插值基函數(shù)。即有l(wèi)knbbÕi=0 i¹kòòAk=(x)dx =lkaab - a區(qū)間a,b 劃分為n等分, 步長(zhǎng) h =將n為了計(jì)= a + kh(k = 0,1,L, n)xk求積節(jié)點(diǎn)為xk -

31、 xi= (k - i)h算系數(shù)Ak, 由于, 所以) = (-1)n-k k!(x - x )L(-nk0knt Î0, n當(dāng) x Î a,b時(shí),有作變量代換 x,于是可得b= a + thknbÕòòAk=(x)dx =lkaai=0 i¹k(-1)n-knn ò=-1)L(t - k +1)(t- k -1)L(t - n)h hdtnt(tk!(0(-1)n-knnÕò= (b - a)(t - i)dt(nk!(n - k)!0i=0i¹k引進(jìn)記號(hào)(-1)n-knn(Õ(t

32、- i)dtò=( n)kCnk !(n - k )!0i =0 i ¹k( k=0,1,n )則A = (b - a)C(n)( k=0,1,n )kk代入插值求積公式(4.1)有nf (x)dx » (b - a)åbòC (n)f (x )kakk =0稱為-求積公式,Ck稱為系數(shù)nåCk容易驗(yàn)證= 1k =01blaò=CAA(x)dxkkkkb - ann1åk =0åblaò=C(x)dxkkb -ak =0= 1n(x)dx = 1båb1dx = 1aò

33、42;lkb - ab - aak =0顯然,Ck是不依賴于區(qū)間a,b以及被積函數(shù)f(x)的常數(shù),只要給出n,就可以算出如當(dāng)n=1時(shí)系數(shù),譬-111(t -1)dt =11C =tdt =òòC=011× 0!×1!2200當(dāng)n=2時(shí)(-1) 212òC0=(t - 1)(t - 2)dt=2 × 0!×2!60(-1)122òC1 =t(t - 2)dt =32 ×1!×1!0(-1)012òC2=t(t -1)dt =62 × 2!×0!0表4-1給出了n從18

34、的P104系數(shù)。當(dāng)n=8時(shí)，出現(xiàn)了負(fù)系數(shù)，從而影響穩(wěn)定性和收斂性，因此實(shí)用的只是低階公式。下面分別考慮幾種特殊請(qǐng)況。Newton-Cotes公式bnò f ( x)dx » (b - a)åC ( n ) f ( x )ajjj=0 系數(shù)n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9016/452/1516/457/905幾個(gè)低階求積公式求積公式中n=1,2,4時(shí)，就分別在-得到下面的梯形公式、公式和公式。(1)梯形公式當(dāng)n=1時(shí)，-公式就是梯形公式f (x)dx » 1 (b - a) f (a) + f (b)bò2

35、a定理4.2 （梯形公式的誤差）設(shè)f(x)在a,b上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則梯形公式的誤差（(b - a)3¢ hh Î(a,b)R ( f ) = -f ( )112(n+1) (x )w(x)dxfbò證:由插值型求積公式的R ( f ) =n(n + 1)!ax Î (a, b),w (x) = (其中-n )可知梯形公式的誤差為R ( f ) = 1bòf ¢ (x )(x - a)(x - b)dx12a由于(x-a)(x-b)在a,b中不變號(hào), f ¢ (x )在a,b上,在a,b上連續(xù),根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的存在一點(diǎn)，使中

36、值定理= - (b - a)3bbòò¢ x¢¢ hh)(x - a)(x - b)dxf ( )(x - a)(x - b)dx = f (f ( )6aa(b - a)3¢ hh Î(a,b)R ( f ) = -f ( )因此112（2）當(dāng)n=2時(shí)，公式-公式就是公式（或稱拋物線公式）f (x)dx » 1 (b - a)é f (a) + 4 f ( a + b ) +f (b)ùbòêëúû62a定理4.3（公式的誤差）設(shè)在a,b上具有

37、連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，則求積公式的誤差為1 æ b - a ö5(b - a)5f (4) (h) = -f (4) (h)h Î(a,b)R ( f ) = -90 ç÷2è2ø2880定理證明從略。（3）公式。當(dāng)n=4時(shí)，-公式為f (x)dx » b - a7 f (x ) + 32 f (x ) +12 f (x ) + 32 f (x ) + 7 f (x )bò0123490a定理4.4（公式的誤差）設(shè)在a,b上具有連續(xù)的6階導(dǎo)數(shù)，則求積公式的誤差為8æ b - a ö7(6)

38、(h)h Î (a,b)R ( f ) = -ç÷f4945 è4ø定理的證明從略。例4.11分別用梯形公式、公式和1òxdx公式計(jì)算定0.5的近似值(計(jì)算結(jié)果取5位有效數(shù)字)(1)用梯形公式計(jì)算xdx » 1- 0.5 f (0.5) + f (1) = 0.25´0.70711+1 = 0.4267767 = 0.426777 21ò0.5(2)用公式xdx » 1- 0.51ò0.5 + 4 ´(0.5 + 1) / 2 +160.5= 1 ´0.70711+

39、 4´ 0.866 03 +1 = 0.43093403 = 0.4309312(3)用公式計(jì)算，系數(shù)為7, 32 , 12 , 32 , 79090909090xdx » 1- 0.5 7´901ò0.5 + 32´0.625 +12´0.75 + 32´0.875 + 7´10.51´4.94975 + 25.29822 +10.39223 + 29.93326 + 7 = 0.43096180的準(zhǔn)確值為321ò10.5= 0.4309644130.5可見(jiàn)，三個(gè)求積公式的精度逐漸提高。例4.

40、12用3ò(x3 - 2公式和公式計(jì)算定1的近似值,并估計(jì)其誤差(計(jì)算結(jié)果取5位小數(shù))解:公式S » b - a é f (a) + 4 f æ a + b ö +f (b)ù = 3 -11 + 4 ´ 9 + 25 = 62 = 20 2ç÷êú6è2ø- 5633ëf (x) =公式ûf (4) (x) = 0由于由= (b - a)5h Îa,bh),(4)R( f )f(2880R( f ) = 0知其誤差為解:公式C

41、87; 3 -17 f (1) + 32 f (1.5) +12 f (2) + 32 f (2.5) + 7 f (3)90é7 + 32´ 35 +12´ 9 + 32´ 125 + 7 ´ 9ù = 20 21=45 êëúû883R( f ) = 0知其誤差為的準(zhǔn)確值 I = 20 2 ,這個(gè)例子告訴我該定3，當(dāng)n2時(shí)，公式卻是精確的，們，對(duì)于同一個(gè)這是由于公式具有三次代數(shù)精度，公式具有五次代數(shù)精度，它們對(duì)被積函數(shù)為三次多項(xiàng)式當(dāng)然是精確成立的。4.3復(fù)化求積公式由梯形、和求積公式可知，隨

42、著求積節(jié)點(diǎn)數(shù)的增多，對(duì)應(yīng)公式的精度也會(huì)相應(yīng)提高。但由于n8時(shí)的求積公式開始出現(xiàn)負(fù)值的系數(shù)。根據(jù)誤差理論的分析研究，當(dāng)公式出現(xiàn)負(fù)系數(shù)時(shí)，可能導(dǎo)致舍入誤差增大，并且往往難以估計(jì)。因此不能用增加求積節(jié)點(diǎn)數(shù)的方法來(lái)提高計(jì)算精度。在實(shí)際應(yīng)用中，通常將區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上采用低階求積公式，然后把所有小區(qū)間上的計(jì)算結(jié)果加起來(lái)得到整個(gè)區(qū)間上的求積公式，這就是復(fù)化求積公式的基本思想。常用的復(fù)化求積公式有復(fù)化梯形公式和復(fù)化公式。4.3.1復(fù)化梯形公式及其誤差h = b - a區(qū)間a,b劃分為n等分,步長(zhǎng)將求積節(jié)點(diǎn)為n= a + kh(k = 0,1,L, n)xk在每個(gè)小xk, xk +1 區(qū)間上

43、應(yīng)用梯形公式(k = 0,1,L, n - 1)f (x)dx » h f (x)xk +1ò) + f (xk +1k2xkn-1值Ik,然后將它們累加求和,用 å I求出kk =0作為所求I的近似值。n-1f (x)dx = ån-1f (x)dx » åh f (x)bxk +1òòI =) + f (xk +1k2axkk =0k =0= h f (x) + f (x ) + 2( f (x ) + f (x ) + . +f (xn-1012n2= h é f (a) + 2ån-1

44、f (x ) + f (b)ù2 êúkëûk =1記h éf (x ) + f (b)ùn-1åT=f (a) + 2(4.5)2 êúnkëûk =1(4.5)式稱為復(fù)化梯形公式。當(dāng)f(x)在a,b上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),在子區(qū)間xk , xk +1 上梯形公式的已知為h3RT= -΢ hhf(k )xk ,xk +1k12k在a,b上的éùn-1åk =0n-1åk =0h3f(hk )ú¢RT=

45、ê- 12RTkëû設(shè) f ¢ (x)在a,b上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理知，h Îa，,b使存在h Îa,bn-11 åf ¢ (hf ¢ (h) =knk =0因此,= - (b - a)123R= - h¢ h¢ h2nf( )12hf()h Î a,bT復(fù)化梯形求積算法實(shí)現(xiàn)（1）復(fù)化梯形公式計(jì)算步驟確定步長(zhǎng)h=(b-a)/N(N為等分?jǐn)?shù))對(duì)k=1,2,N，計(jì)算T=T+f(a+kh)T= h+ f(b)/2f(a)+2T（2） 復(fù)化梯形公式的流程圖開始定義 f(x)輸

46、入 a, b, N(b-a)/NÞh, 0 ÞT對(duì) k=1,2, N-1T+f (a+k*h) Þ Th* f (a)+2T+ f(b) / 2 ÞT結(jié)束4.3.2將復(fù)化公式及其誤差xk , xk +1 區(qū)間a,b劃分為n等分,記子區(qū)間+ 1 h 在每個(gè)小區(qū)間上應(yīng)用= x的中點(diǎn)為xkk + 122公式，則有f (x ) + 4 f (x)n-1n-1h6båxk +1åòòI =f (x)dx =f (x)dx ») + f (xk +1kk + 1ax2kk =0k =01 én-n-f (x

47、 ) + f (b)ù11ååk =1=f (a) + 4) + 2f (x6 êúk + 1këû2k =0h éf (x ) + f (b)ùn-n-11ååk =1S=f (a) + 4) + 2記f (x(4.6)6 êúnkk + 1ëû2k =0稱為復(fù)化公式類似于復(fù)化梯形公式生公式 (4.6) 的求積的討論，復(fù)化b - a æ h ö4b - ah Îa,bf (4) (h) = -h4(4) (h)R

48、= -fç 2 ÷s180èø2880xk , xk +1 四等分,內(nèi)分點(diǎn)依次記如果把每個(gè)子區(qū)間同理可得復(fù)化公式k + 3424h én-n-11ååC=7 f (a) + 32) + 12f (xf (x)90 ênk + 1k + 1ë42k =0k =0f (x ) + 7 f (b)ùn-n-11åå+ 32+ 14f (x)úkk + 3û4k =0k =12(b - a) æ h ö6h Îa,b(h)Rc = -

49、(6)求積ç÷f945è 4 ø復(fù)化求積公式的表明，只要被積函數(shù)發(fā)f(x)所涉及的各階導(dǎo)數(shù)在a,b上連續(xù)，那么復(fù)化梯形公式、復(fù)化公式與復(fù)化公式所得近似值Tn , Sn , Cn的和步長(zhǎng)的關(guān)系依次為O(h2 ) 、O(h 4 )O(h6 ) 。因此當(dāng)h0 (即n)時(shí), Tn , Sn , Cn都收斂于快。真值，且收斂速度一個(gè)比一個(gè)復(fù)化（1）復(fù)化求積算法實(shí)現(xiàn)公式計(jì)算步驟 確定步長(zhǎng)h=(b-a)/N,S1=f (a+h/2) , S2=0( N 為等分?jǐn)?shù) )對(duì)k=1,2,N-1，計(jì)算S1= S1+f (a+kh+h/2) , S2= S2+f (a+kh)S

50、= h f (a) +4S1+ 2 S2+ f (b)/6開始（2） 復(fù)化辛卜生公式流程圖定義 f(x)輸入 a,b, N(b - a) / NÞh,Þa+ h /2Þ S2xf(x) ÞS1 ,0對(duì)S1 +f S2 +fk=1,2, N-1(a+k*h+h/2) Þ(a+k*h) Þ S2S1h* f (a)+4 S1 +2 S2+ f(b) /6 ÞS2結(jié)束例4.13依次用n=8的復(fù)化梯形公式、n=4的復(fù)化sin xx公式計(jì)算定1òI =dx0解:首先計(jì)算出所需各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值,n=8時(shí)，h = 1 = 0.1258由復(fù)化梯形公式(4.5)可得如下計(jì)算公式：T = 1 f (0) + 2 f (0.125) + 2 f (0.25) + 2 f (0.375) + 2 f (0.5)816+