厚壁圓筒的彈塑性分析

1、外壓厚壁圓筒的彈塑性分析 姓名： 黃達飛學號：SQ10018014012指導老師： 林智育時間： 2011-6-25一、 問題描述內(nèi)半徑為a，外半徑為b的厚壁圓筒，在外表面處作用有均勻壓力p（如圖1（a），圓筒材料為理想彈塑性的（如圖1（b）。隨著壓力p的增加，圓筒內(nèi)的及都不斷增加，若圓筒處于平面應變狀態(tài)下，其也在增加。當應力分量的組合達到某一臨界值時，該處材料進入塑性變形狀態(tài)，并逐漸形成塑性區(qū)，隨著壓力的繼續(xù)增加，塑性區(qū)不斷擴大，彈性區(qū)相應減小，直至圓筒的截面全部進入塑性狀態(tài)時即為圓筒的塑性極限狀態(tài)。當圓筒達到塑性極限狀態(tài)時，其外壓達到最大值，即載荷不能繼續(xù)增加，而圓筒的變形也處于無約束變形

2、狀態(tài)下，即變形是個不定值，或者說瞬時變形速度無窮大。為了使討論的問題得以簡化，本文中限定討論軸對稱平面應變問題，并設。 （a） （b）圖1 厚壁圓筒二、 彈性分析1.基本方程平面軸對稱問題中的未知量為，u，它們應該滿足基本方程及相應的邊界條件，其中平衡方程為 （1）幾何方程為 ， （2）本構(gòu)方程為 （3）邊界條件為 ，在力的邊界上 （4） 2.應力的求解取應力分量，為基本未知函數(shù)，利用平衡方程和以應力分量表示的協(xié)調(diào)方程聯(lián)立求解，可以求得應力分量的表達式為 （5）如圖1（a）所示內(nèi)半徑為a，外半徑為b的厚壁圓筒，在外表面處受外壓p，內(nèi)表面沒有壓力，相應的邊界條件為 ，將以上邊界條件代入式（5），

3、則可以求得兩個常數(shù)為 ， 則應力分量為 （6）上式和彈性常數(shù)無關(guān)，因而適用于兩類平面問題。三、 彈塑性分析1. 屈服條件在塑性理論中，常用的屈服條件是米澤斯（Mises）屈服條件，其表達式為： （7）由于厚壁圓筒為軸對稱平面應變問題，則有，即，均為主應力，且由以及，可以得到，代入Mises屈服條件其表達式為 （8） 2彈塑性分析當壓力p較小時，厚壁圓筒處于彈性狀態(tài)，由式（6）可求出應力分量 （9）在處有最大值，即筒體由內(nèi)壁開始屈服，若此時的壓力為，由式（8）和（9）可以求得彈性極限壓力為 （10）當時，圓筒處于彈性狀態(tài)；當時，在圓筒內(nèi)壁附近出現(xiàn)塑性區(qū)，并且隨著壓力的增大，塑性區(qū)逐漸向外擴展，而

4、外壁附近仍然為彈性區(qū)。由于應力組合的軸對稱性，塑性區(qū)和彈性區(qū)的分界面為圓柱面。設筒體處于彈塑性狀態(tài)下的壓力為，彈塑性分界半徑為，分別考慮兩個變形區(qū)（圖2），也可將兩個區(qū)域按兩個厚壁圓筒分別進行討論，設彈性區(qū)和塑性區(qū)的相互作用力為，即。圖2 彈塑性分析為求彈性區(qū)的應力分量，將彈性區(qū)作為內(nèi)半徑為，外半徑為b，承受外壓，內(nèi)壓的厚壁圓筒。由圓筒的彈性分析公式可以求得彈性區(qū)（）的應力分量為 （11）為求解塑性區(qū)的應力分量，將彈性區(qū)作為內(nèi)半徑為a，外半徑為，承受外壓的厚壁圓筒。應滿足平衡方程和屈服條件，即 由上面兩式可得 由于在r=處壓力為，即，代入可得，代入表達式，并利用屈服條件求得，即塑性區(qū)（）的應力

5、分量為 （12）上式（11）和（12）中的和是未知量，由徑向應力邊界條件確定他們之間的關(guān)系。在塑性區(qū)的r=a處壓力為0，即，代入式（12）的第一式可得 （13）在彈性區(qū)的r=處剛達到屈服，由屈服條件可得 （14）上式給出了，當給定可以確定，或者給定后也可以確定。 將式（13）、（14）確定的代入式（11）、（12），則可以得到表示的彈性區(qū)（）和塑性區(qū)（）的應力分量。 （15） （16）隨著壓力的增加，塑性區(qū)不斷擴大，當=b時，整個截面進入塑性狀態(tài)，即圓筒達到塑性極限狀態(tài)，此時的壓力不能繼續(xù)增加，該臨界值稱為塑性極限壓力，以表示。將=b代入式（14），得 （17）令式（16）中的=b，則得壓力達

6、到時的應力分量，此時整個截面進入塑性狀態(tài)。 （18）取，則由式（10）、（13）、（14）、（17）可得， （19）將式（19）代入式（9）、（15）、（16）、（18）中可以得到在、作用下的應力分布如圖3所示。（a）作用下的應力分布（b）作用下的應力分布（c）作用下的應力分布圖3 應力分布三種狀態(tài)下均有，且絕對值的最大值在筒體的外壁處，而的絕對值的最大值則隨著外壓的增加而由內(nèi)壁移動到外壁。四、 有限元分析由于厚壁圓筒具有中心對稱性，且所受的載荷也具有中心對稱性，所以其應力分布同樣具有中心對稱性；厚壁圓筒是平面應變狀態(tài)。為了計算簡便，可以將模型簡化為1/4的平面圓環(huán)，并且加上適當?shù)妮d荷邊界條件和位移邊界條件，其abaqus模型如圖4所示。圖4 厚壁圓筒的abaqus模型 定義材料的屈服極限為，劃分成四節(jié)點四邊形平面應變單元（如圖5），定義不同大小的外壓p提交計算。圖5 厚壁圓筒的有限元網(wǎng)格當時，圓筒處于彈性狀態(tài)，計算結(jié)果如圖6，可以看出整個模型處于彈性狀態(tài)沒有塑性應變。（a） Mises 應力分布云圖（b） 塑性應變分布云圖圖6 彈性狀態(tài)計算結(jié)果當時，圓筒處于彈塑性狀態(tài)，計算結(jié)果如圖7，可以看出模型外壁附近部分處于彈性狀態(tài)沒有塑性應變，而內(nèi)壁附近部分處于塑性狀態(tài)，有塑性應變。（a）Mises 應力分布云圖(b) 塑性應變分布云圖圖7 彈塑性狀態(tài)計算結(jié)果當時，圓筒處于塑性