Fourier分析在偏微分方程中的應(yīng)用

1、Fourier分析在分析在偏微分方程中的應(yīng)用偏微分方程中的應(yīng)用 2008-01-02 偏微分方程的研究對象是作為偏微分方程解的函數(shù)，什么是“知道”一個函數(shù)似乎是一個顯而易見的問題，但事實上這是一個非常深刻并革命性地推動偏微分方程發(fā)展的重要問題。從時空域 “知道”一個函數(shù)（經(jīng)典分析）；從試驗函數(shù)“知道”一個函數(shù)（廣義函數(shù)）；從頻譜域“知道”一個函數(shù)（Fourier分析）;更一般地，通過一個基底“知道”一個函數(shù)。從從FourierFourier分析談起；分析談起；微局部分析：微局部分析： 擬微分算子；擬微分算子； 仿微分算子；仿微分算子；微局部分析的一個應(yīng)用微局部分析的一個應(yīng)用從從Fourier分

2、析談起分析談起 1822年Fourier發(fā)表了他的名著熱的解析理論。自此我們有了Fourier級數(shù)、Fourier積分，總之有了調(diào)和分析。 調(diào)和分析是數(shù)學(xué)中一百多年來為數(shù)不多地充滿活力向前發(fā)展并對科學(xué)產(chǎn)生重大影響的數(shù)學(xué)分支。(Joseph Fourier, 17681830)從從Fourier分析談起分析談起Fourier在1807年就提交了第一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)的論文。當(dāng)時Laplace（17491827）和Lagrange（17361813）等人是評閱人；Fourier在1811年呈上修改過的論文，并得到獎金，但未發(fā)表在當(dāng)時科學(xué)院報告；1922年Fourier發(fā)表了他的名著熱的解析理論；兩年后F

3、ourier成為科學(xué)院秘書，把1811年修改過的論文，發(fā)表在科學(xué)院報告。從從Fourier分析談起分析談起Fourier在他的熱的解析理論里研究了有限長桿上的熱傳導(dǎo)方程的混合初邊值問題的解，并用今天熟知的分離變量法將解寫成級數(shù)。Fourier在他的熱的解析理論的最后一部分討論半無限長桿上的溫度分布，得到Fourier積分，也就是我們后面講到的Fourier變換。Fourier的工作是偏微分方程及其重要的一大步。Fourier的工作迫使對函數(shù)概念作一修改，即函數(shù)可以分段表示。從從Fourier分析談起分析談起Fourier級數(shù)級數(shù)： 在-，是連續(xù)函數(shù)，那么 或者用復(fù)形式 其中 ， 稱為 的Fou

4、rier系數(shù)，這里 和 分別形成一個正交基 。)(xf 10)sincos(2)(nnnnxnxxfbaa ,)(ninxnecxf dxexfinxnc)(21 cn)(xf sin,cosnxnxinxe從從Fourier分析談起分析談起 Fourier定理告訴我們：一個周期函數(shù)總可被正弦函數(shù)和余弦函數(shù)表出：從從Fourier分析談起分析談起四個不同頻率的基本波復(fù)合成一個波；高頻，低頻；從從Fourier分析談起分析談起示波器從從Fourier分析談起分析談起小提琴師演奏的一段聲樂是：ttty3000sin01.02000sin02.01000sin06.0從從Fourier分析談起分析談

5、起從頻譜域知道一個樂音是遠(yuǎn)比從時域知道一個樂音要聰明的辦法。樂音是適當(dāng)?shù)暮唵蔚穆曇簦凑也ǎ┙M合而成，單音稱為泛音。泛音中頻率最低的稱為基音，次低的稱為第二泛音等等。樂音有四要素，即音量、音調(diào)、音色和時值。從從Fourier分析談起分析談起音量：音量：由振幅確定，粗略地說音量與振幅的平方成正比。音調(diào)：音調(diào)：（即音的高低）由基音的頻率確定，粗略地說頻率增高到二倍，音調(diào)提高一個八度。時值：時值：指振動延續(xù)的時間。音色音色：由聲波的形狀確定從從Fourier分析談起分析談起 知道一個樂器或者一個人的聲音只要知道相應(yīng)的Fourier系數(shù)即可。 正因為有對聲音的數(shù)學(xué)研究，即Fourier分析的研究，人

6、聲辨識、電子音樂等等才成為可能。從從Fourier分析談起分析談起Fourier變換變換： 與與Fourier 級數(shù)相對應(yīng)的是級數(shù)相對應(yīng)的是Fourier變換，它是變換，它是時時頻分析的重要技術(shù)，通常記頻分析的重要技術(shù)，通常記 這里這里 相當(dāng)于相當(dāng)于Fourier級數(shù)的級數(shù)的 是頻率變量。一是頻率變量。一個信號函數(shù)，既可以在時域內(nèi)以給出，亦可以在個信號函數(shù)，既可以在時域內(nèi)以給出，亦可以在頻域內(nèi)以給出，而且通過時頻域內(nèi)以給出，而且通過時頻之間的變換與分頻之間的變換與分析，可以得到很多有用的信息。析，可以得到很多有用的信息。.)()(dxxfefxi n從從Fourier分析談起分析談起Fouri

7、er變換的性質(zhì)： 即函數(shù)的微分與乘法對偶。具體說：一個函數(shù)的微分對其Fourier變換而言是一個乘法。 為方便，以后常用dfexfxixin)()2()(1xiDx1從從Fourier分析談起分析談起基于Fourier變換的這一性質(zhì)，將微分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程；將函數(shù)的光滑性變成其Fourier變換的有界性等； .Fourier變換成為一種十分具“誘惑力”的辦法但問題也接踵而來： 由一個函數(shù)的Fourier變換寫不出原來的函數(shù)； 變系數(shù)的方程無法作Fourier變換； .微局部分析微局部分析經(jīng)典的偏微分方程是在 考慮，微局部分析則在 考慮?；蛘哒f在余切叢 考慮。從空間和頻域兩個側(cè)面了解一個函數(shù)。直

8、觀地講，多維空間定義的一個函數(shù)，在一個點附近的形態(tài)是局部的，但函數(shù)還與這點不同方向有關(guān)。點與方向就是微局部。nRx)0(),(nRx0*T微局部分析擬微分算子微局部分析擬微分算子 問題的提出：問題的提出：一維空間的波算子的分解: 多維空間的波算子 的分解如何進(jìn)行？橢圓算子的逆算子如何定義？ )(22xtxtxt)(,2221nxxt)(),()(),()(),(1|xfDxAxuxfuDxauDxAmx微局部分析擬微分算子微局部分析擬微分算子擬微分算子成為一種系統(tǒng)理論是20世紀(jì)60年代中期的事, 集大成者當(dāng)數(shù)瑞典數(shù)學(xué)家, 菲爾茲獎得主Hormander.擬微分算子的直接前身是Calderon,

9、 Zygmund所建立的奇異積分算子理論。微局部分析擬微分算子微局部分析擬微分算子擬微分算子的形式定義： 其中 稱為象征(symbol)。若 則其為通常的微分算子。但一般地可推廣為有條件限制的光滑函數(shù)。例如算子 就不是微分算子，其象征是duxaexAuxin)( ),()2()(),(xa)(),(|xaxam2/122221)(|),(nxa微局部分析擬微分算子微局部分析擬微分算子有了擬微分算子的定義，可以回答上面的問題：同時，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)、無理數(shù)階導(dǎo)、負(fù)導(dǎo)數(shù)都有了定義。)(2iitttmxDxaDxA|11)(),(微局部分析擬微分算子微局部分析擬微分算子經(jīng)典的偏微分方程是在 考慮，擬微分算子

10、則要考慮他的對偶變量 ，故是在 上考慮。擬微分算子理論的發(fā)展為解決線性偏微分方程的重大問題做出了重大貢獻(xiàn)。例如：Cauchy問題解的唯一性、橢圓算子的指標(biāo)問題（Atiyah-Singer指標(biāo)定理）。nRx)0(),(nRx微局部分析擬微分算子微局部分析擬微分算子以擬微分算子為代表的微局部分析是一個很大的理論體系，反映出微局部分析已超出偏微分方程的領(lǐng)域，成為現(xiàn)代分析的重要思想。這方面最完整的概括是Hormander的四卷本巨著。微局部分析仿微分算子微局部分析仿微分算子問題的提出：問題的提出： 在研究非線性偏微分方程解的正則性時,會討論 系數(shù)的正則性會影響解的正則性的討論。這就催生新的工具。0uu

11、uxt微局部分析仿微分算子微局部分析仿微分算子J. M. Bony在上世紀(jì)80年代提出仿微分算子理論。其工作基于上世紀(jì)30年代的Littlewood-Paley分解。微局部分析的新的發(fā)展。微局部分析仿微分算子微局部分析仿微分算子其基本思想是分解： 其中： 分別是 高頻占優(yōu)，并確定它的正則性。),()()(vuRuTvTxvxuvu1|2/1;supp)2(),2(,NkhhkkkkkuDSDvuSvTvTuTuv,vu,微局部分析微局部分析 擬微分算子和仿微分算子實際也在調(diào)和分析的范疇，微局部分析和調(diào)和分析實際很難有一個分界：E.M. Stein的專著“Harmonic Analysis”有四

12、章講擬微分算子和Fourier積分算子；擬微分算子的核表示就是一個奇異積分算子；仿微分算子的基礎(chǔ)L-P分解本身就是出自調(diào)和分析。微局部分析的一個應(yīng)用微局部分析的一個應(yīng)用 問題的提出：線性Navier-Stoke方程組的基本解的估計00, 002tttmmdivmcmmdiv微局部分析的一個應(yīng)用微局部分析的一個應(yīng)用先看輸送方程：再看熱傳導(dǎo)方程： tcittxteututuicxuucu1),( 0),( )()(|00tttteuutuxuu2|201)0,( 0),( )|()(|0)(微局部分析的一個應(yīng)用微局部分析的一個應(yīng)用將線性Navier-Stoke方程組作Fourier變換，并解之得：22422|4|)(21| )(21*),(ceetGtt微局部分析的一個應(yīng)用微局部分析的一個應(yīng)用關(guān)鍵思想：解的衰減主要是由其低頻部分確定。辦法：先考慮低頻部分，做零點的Taylor展示：粗略地講， 解可有估計：)|(| )(21|22ociNntctxtCLtxG)1)|(|1 ()1 (|),(|22/tticeetG2|),(微局部分析的一個應(yīng)用微局部分析的一個應(yīng)用體現(xiàn)微局部