測(cè)量誤差、不確定度與數(shù)據(jù)處理

1、第2章 測(cè)量誤差、不確定度和數(shù)據(jù)處理2.1 測(cè)量誤差與不確定度在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,一切物理量都是通過(guò)測(cè)量得到的。所謂測(cè)量就是將待測(cè)物理量與規(guī)定作為標(biāo)準(zhǔn)單位的同類(lèi)物理量(或稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)量通過(guò)一定方法進(jìn)行比較。測(cè)量中的比較倍數(shù)即為待測(cè)物理量的測(cè)量值。測(cè)量可分為兩類(lèi),一類(lèi)是用已知的標(biāo)準(zhǔn)單位與待測(cè)量直接進(jìn)行比較,或者從已用標(biāo)準(zhǔn)量校準(zhǔn)的儀器儀表上直接讀出測(cè)量值(例如,用米尺量得物體的長(zhǎng)度為0.7300m ,用停表測(cè)得單擺周期為1.05s ,用毫安表讀出電流值為12.0mA 等,這類(lèi)測(cè)量稱(chēng)直接測(cè)量(或簡(jiǎn)單測(cè)量;另一類(lèi)測(cè)量,它不能直接把待測(cè)量的大小測(cè)出來(lái),而是依據(jù)該待測(cè)量和一個(gè)或幾個(gè)直接測(cè)得量的函數(shù)關(guān)系求出該待測(cè)量(

2、例如,測(cè)量銅(圓柱體的密度時(shí),我們首先用游標(biāo)卡尺或千分尺測(cè)出它的高h(yuǎn) 和直徑d ,用天平稱(chēng)出它的質(zhì)量M ,然后再通過(guò)函數(shù)關(guān)系式h d M 2/4=計(jì)算出銅的密度,我們把這類(lèi)測(cè)量稱(chēng)為間接測(cè)量(或稱(chēng)復(fù)合測(cè)量。一般說(shuō),大多數(shù)測(cè)量都是間接測(cè)量、但隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,很多原來(lái)只能以間接測(cè)量方式來(lái)獲得的物理量,現(xiàn)在也可以直接測(cè)量了。例如電功率的測(cè)量,現(xiàn)在可用功率表直接測(cè)量,又如速度也可用速率表來(lái)直接測(cè)量等。測(cè)得的數(shù)據(jù)(即測(cè)量值不同于數(shù)學(xué)中的一個(gè)數(shù)值,數(shù)據(jù)是由數(shù)值和單位兩部分組成的。一個(gè)數(shù)值有了單位,便具有了一種特定的物理意義,這時(shí),它才可以稱(chēng)為一個(gè)物理量。因此,在實(shí)驗(yàn)中經(jīng)測(cè)量所得的值(數(shù)據(jù)應(yīng)包括數(shù)值和單位

3、,即以上二者缺一不可。任何物質(zhì)都有自身的特性,反映這些特性的物理量所具有的客觀真實(shí)數(shù)值稱(chēng)為這些物理量的真值。測(cè)量的目的就是要力求得到真值。但測(cè)量總是依據(jù)一定的理論和方法,使用一定的儀器,在一定的環(huán)境中,由一定的人進(jìn)行的。在實(shí)驗(yàn)測(cè)量過(guò)程中,由于受到測(cè)量?jī)x器、測(cè)量方法、測(cè)量條件和測(cè)量人員的水平以及種種因素的限制,使測(cè)量結(jié)果與客觀存在的真值不可能完全相同,導(dǎo)致所測(cè)得的只能是該物理量的近似值。也就是說(shuō),任何一種測(cè)量結(jié)果的測(cè)量值與客觀存在的真值之間總會(huì)或多或少地存在一定的差值,這種差值稱(chēng)為該測(cè)量值的測(cè)量誤差(又稱(chēng)測(cè)量值的絕對(duì)誤差,簡(jiǎn)稱(chēng)“誤差”,即測(cè)量值(x 真值(X =誤差( (2-1 誤差存在于一切測(cè)

4、量之中,而且貫穿測(cè)量過(guò)程的始終。每使用一種儀器進(jìn)行測(cè)量都會(huì)引起誤差。測(cè)量所根據(jù)的方法和理論越繁多、所用儀器越復(fù)雜、所經(jīng)歷的時(shí)間越長(zhǎng),引進(jìn)誤差的機(jī)會(huì)就越多。因此實(shí)驗(yàn)應(yīng)該根據(jù)要求和誤差限度來(lái)制訂或選擇合理的方案和儀器。要避免測(cè)量中某個(gè)環(huán)節(jié)盲目追求不切實(shí)際的高指標(biāo),這樣作既不符合現(xiàn)代信息論的基本思想,又提高了測(cè)量的代價(jià)。一個(gè)優(yōu)秀的實(shí)驗(yàn)工作者,應(yīng)該是在一定的要求下,以最低的代價(jià)來(lái)取得最佳的結(jié)果。要做到既保證必要的實(shí)驗(yàn)精確度又合理地節(jié)省人力與物力。誤差的產(chǎn)生原因是多方面的。根據(jù)誤差的性質(zhì)和來(lái)源,可將誤差分為兩類(lèi);系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。現(xiàn)分別對(duì)它們作必要的介紹。2.1.3.1 系統(tǒng)誤差在同一實(shí)驗(yàn)條件下(方法

5、、儀器、環(huán)境和觀測(cè)人都不變多次測(cè)量同一量時(shí),誤差的絕對(duì)值和正負(fù)號(hào)保持不變,或按一定規(guī)律變化的誤差,稱(chēng)為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的特征是它的確定性。它主要來(lái)自以下幾個(gè)方面:(1 理論(方法誤差 這是由于測(cè)量所依據(jù)的理論公式本身的近似性,或?qū)嶒?yàn)條件不能達(dá)到理論公式所規(guī)定的要求,或由于所采用測(cè)量方法或數(shù)據(jù)不完善而引起的誤差。例如,單擺的周期公式g l T 2=的成立條件是擺角趨近于零,這實(shí)際上是達(dá)不到的,用它來(lái)計(jì)算周期必然引起誤差。(2 儀器誤差 這是由于測(cè)量?jī)x器本身的固有缺陷或沒(méi)有按規(guī)定使用而引起的。例如,用未經(jīng)校準(zhǔn)零位的千分尺測(cè)量零件長(zhǎng)度,用不等臂的天平稱(chēng)衡物體的質(zhì)量,都會(huì)引入儀器誤差。(3 環(huán)境誤差

6、 由于環(huán)境條件變化所引起的誤差。如溫度、氣壓、濕度的變化等。(4 個(gè)人誤差 這是由于觀測(cè)人的生理或心理因素所造成的。通常與觀測(cè)人員反應(yīng)速度和觀測(cè)習(xí)慣有關(guān)。例如,用肉眼在米尺刻線(xiàn)上讀數(shù)時(shí),習(xí)慣地偏向一個(gè)方向;按動(dòng)秒表時(shí),習(xí)慣地提前或落后。系統(tǒng)誤差的規(guī)律及產(chǎn)生的原因可能是實(shí)驗(yàn)者已知的,也可能不知道。已被確切掌握了其大小和符號(hào)的系統(tǒng)誤差稱(chēng)為可定系統(tǒng)誤差。對(duì)大小和方向未知(或尚未確定的系統(tǒng)誤差叫未定系統(tǒng)誤差。前者一般可在測(cè)量中采取一定的措施給予減小消除或在測(cè)量結(jié)果中進(jìn)行修正,而后者一般難以作出修正,只能估計(jì)它的取值范圍。總之,系統(tǒng)誤差是在一定實(shí)驗(yàn)條件下由一些確定的因素引起的,它使測(cè)量結(jié)果總是偏向一邊,

7、即偏大或偏小。因此,試圖在相同條件下用增加測(cè)量次數(shù)來(lái)減小或消除它是徒勞的,只有找出導(dǎo)致該系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因,對(duì)癥下藥采取一定的方法才能減小或消除它的影響,或?qū)y(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。1.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)要發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差,就必須仔細(xì)地研究測(cè)量理論和方法的每一步推導(dǎo),檢驗(yàn)或校準(zhǔn)每一件儀器,分析每一個(gè)因素對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響等。下面從普遍意義上介紹幾種發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的途徑和方法。(1 對(duì)比的方法 實(shí)驗(yàn)方法的對(duì)比 用不同方法測(cè)同一個(gè)量,看結(jié)果是否一致。如用一個(gè)單擺測(cè)量g =9.80±0.01m/s 2,用復(fù)擺測(cè)得g =9.830±0.003m/s 2,用自由落體法測(cè)得g =9.7763±0.

8、0005m/s 2,三者結(jié)果不一致,這說(shuō)明至少其中兩種方法存在系統(tǒng)誤差。 儀器的對(duì)比 如用兩個(gè)電流表串聯(lián)于同一個(gè)電路中,讀數(shù)不一致,則說(shuō)明至少有一個(gè)電路表不準(zhǔn)。如果其中一個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)表,就可以找出另一個(gè)的修正值了。 改變測(cè)量方法 例如,把電流反向進(jìn)行讀數(shù);在增加砝碼過(guò)程中與減少砝碼過(guò)程中讀數(shù);分光計(jì)測(cè)角盤(pán)轉(zhuǎn)180度讀數(shù)等。 改變實(shí)驗(yàn)中某些參量的數(shù)值 例如,改變電路中電流的數(shù)值,如果測(cè)量結(jié)果單調(diào)或有規(guī)律的變化,則說(shuō)明有某種系統(tǒng)誤差存在。 改變實(shí)驗(yàn)條件 例如在電路中將某個(gè)元件的位置變動(dòng)一下。 兩個(gè)人對(duì)比觀測(cè),可發(fā)現(xiàn)個(gè)人誤差,等等。(2 理論分析方法 分析測(cè)量所依據(jù)的理論公式所要求的條件與實(shí)際情況有無(wú)差

9、異,能否忽略。如“單擺”實(shí)驗(yàn)中,公式g l T 2=,這是作了0的近似,公式把擺球看作質(zhì)點(diǎn),忽略擺線(xiàn)質(zhì)量、空氣浮力與阻力等。 分析儀器是否達(dá)到了所要求的使用條件。例如用測(cè)高儀測(cè)物體高度時(shí),要求支架鉛直、望遠(yuǎn)鏡平移,否則測(cè)出的結(jié)果不能反映物體實(shí)際高度。(3 分析數(shù)據(jù)的方法測(cè)量所得數(shù)據(jù)明顯不服從統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律時(shí),則可將測(cè)量數(shù)據(jù)依次排列,如偏差大小有規(guī)則地向一個(gè)方向變化,則測(cè)量中存在線(xiàn)性系統(tǒng)誤差;如偏差符號(hào)作有規(guī)律交替變化,則測(cè)量中存在周期性系統(tǒng)誤差。2.系統(tǒng)誤差的消除和修正從原則上來(lái)說(shuō),消除系統(tǒng)誤差的途徑,首先是設(shè)法使它不產(chǎn)生,如果做不到,那么就修正它,或在測(cè)量中設(shè)法抵消它的影響。下面介紹幾種消除系

10、統(tǒng)誤差的途徑:(1 消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源 采用符合實(shí)際的理論公式。 消除儀器的零位誤差。例如,在使用千分尺之前,要先檢查零位,并記下零讀數(shù)(即零位誤差,以便對(duì)測(cè)量進(jìn)行修正;又如電表的指針未通電時(shí)不指零位,可進(jìn)行機(jī)械校零或記下零讀數(shù),最后再對(duì)測(cè)量值進(jìn)行修正。 保證儀器裝置及測(cè)量滿(mǎn)足規(guī)定的條件。 采用某種方法(如比較法,在公式中消去某個(gè)量,就可能避免它的系統(tǒng)誤差。例如在測(cè)定液體的比熱實(shí)驗(yàn)中,若能保證兩個(gè)量熱器系統(tǒng)完全相同、升溫也相同,就能消除因散熱而引起的系統(tǒng)誤差。(2 找出修正值,對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正 校準(zhǔn)儀器 用標(biāo)準(zhǔn)儀器校準(zhǔn)一般儀器,得出修正值或校準(zhǔn)曲線(xiàn)。如經(jīng)長(zhǎng)期使用過(guò)的電表、電阻箱在使用前必

11、須經(jīng)過(guò)校準(zhǔn)或得出校準(zhǔn)曲線(xiàn)。 對(duì)理論公式進(jìn)行修正,找出修正值 例如用單擺測(cè)周期g l T 2=時(shí),考慮擺球的體積大小及空氣的浮力和阻力,則此公式必須修正。(3 從測(cè)量方法上或儀器設(shè)計(jì)上抵消系統(tǒng)誤差影響 對(duì)稱(chēng)測(cè)量可以抵消系統(tǒng)誤差的影響 例如在分光計(jì)上讀出度盤(pán)相隔180°處的兩組數(shù)據(jù),以消除偏心差。 保持實(shí)驗(yàn)或儀器一定,可抵消某種系統(tǒng)誤差 例如m =m 1m 0,測(cè)量m 1及m 0時(shí)用同一個(gè)砝碼可以抵消砝碼的系統(tǒng)誤差。 線(xiàn)性觀測(cè)法可抵消某種線(xiàn)性變化的系統(tǒng)誤差 例如電源電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間線(xiàn)性降低,則使用電位差計(jì)時(shí)可隔相等時(shí)間輪流測(cè)標(biāo)準(zhǔn)量和待測(cè)量,如第一、三次測(cè)標(biāo)準(zhǔn)量,將其平均值與第二次所測(cè)的待測(cè)量

12、對(duì)應(yīng)。 周期性系統(tǒng)誤差的消除 對(duì)按正弦規(guī)律變化的周期性系統(tǒng)誤差,可采取在每半個(gè)周期進(jìn)行偶數(shù)次測(cè)量的方法予以消除。在實(shí)際工作中,有時(shí)系統(tǒng)誤差的大小不易確定或不必精確計(jì)算,這時(shí)只需判斷它的正負(fù)和估計(jì)它的數(shù)量級(jí)就行了。如其中有些誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果無(wú)影響,就可不予考慮了,這對(duì)實(shí)際工作很有意義。2.1.3.2 隨機(jī)誤差若系統(tǒng)誤差已經(jīng)減弱到可以忽略的程度,被測(cè)量本身又是穩(wěn)定的,在同一條件下對(duì)該物理量進(jìn)行多次測(cè)量時(shí),測(cè)量值總有稍許差異,而且大小和方向變化不定。這種數(shù)值大小和正負(fù)號(hào)經(jīng)常變化的誤差稱(chēng)為“隨機(jī)誤差”。隨機(jī)誤差主要來(lái)自以下幾方面:(1 主觀方面 由于人們的感官靈敏度和儀器的精度有限,實(shí)驗(yàn)者操作不熟練,估

13、計(jì)讀數(shù)不準(zhǔn)等。(2 客觀方面 外界環(huán)境干擾,如溫度的微小起伏、氣流擾動(dòng)、振動(dòng)、雜散電磁場(chǎng)的不規(guī)則脈動(dòng)等,既不能消除,又無(wú)法估量。(3 其他不可能預(yù)測(cè)的次要因素。從隨機(jī)誤差的定義和來(lái)源我們看到它是實(shí)驗(yàn)過(guò)程中各種隨機(jī)的或不確定因素的微小變化引起的。它的顯著特點(diǎn)是在任意一次測(cè)量之前我們無(wú)法事先知道它的大小和方向。鑒于此,我們有必要對(duì)它進(jìn)行深入的討論。1.測(cè)量列的算術(shù)平均值在深入討論隨機(jī)誤差問(wèn)題時(shí),我們假定系統(tǒng)誤差已經(jīng)被消除或減小到可忽略的地步。 在相同條件下(即等精度對(duì)某一物理量進(jìn)行K 次測(cè)量,其測(cè)量值為x 1,x 2,x 3,x k ,算術(shù)平均值為x ,則 =K i i x K x 11(2-2根

14、據(jù)統(tǒng)計(jì)誤差理論,在一組K 次測(cè)量的數(shù)據(jù)中,算術(shù)平均值最接近于真值,稱(chēng)為測(cè)量的“最佳值”。當(dāng)測(cè)量次數(shù)K ,X x =(真值。測(cè)量次數(shù)的增加對(duì)于提高算術(shù)平均值的可靠性是有利的,但不是測(cè)量次數(shù)越多越好。因?yàn)樵黾訙y(cè)量次數(shù)必定延長(zhǎng)測(cè)量時(shí)間,這樣給保持穩(wěn)定的測(cè)量條件增加困難,還可能引起大的觀測(cè)誤差。另外,增加測(cè)量次數(shù)對(duì)系統(tǒng)誤差的減小不起作用,所以實(shí)驗(yàn)測(cè)量次數(shù)不必過(guò)多。一般在科學(xué)研究中,取10到20次,而在物理教學(xué)實(shí)驗(yàn)中,通常取6到10次。2.測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差如前所述,隨機(jī)誤差其大小和方向都不能預(yù)知,但在等精度條件下,對(duì)物理量進(jìn)行足夠多次的測(cè)量,就會(huì)發(fā)現(xiàn)測(cè)量的隨機(jī)誤差是按一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律分布的,而最典型的分布

15、就是正態(tài)分布(高斯分布。典型的正態(tài)分布如圖2-1所示。圖中為絕對(duì)隨機(jī)誤差(絕對(duì)誤差,(f 為概率密度函數(shù),為標(biāo)準(zhǔn)誤差。由概率論知識(shí)可以證明 222/21(-=e f (2-3 其中被定義為測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差?？杀硎緸?=-=K i i K K i i K K X x K 12121lim (1lim (2-43.隨機(jī)誤差的特點(diǎn) 具有正態(tài)分布的隨機(jī)誤差具備以下特點(diǎn):(1 有界性 絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率為零,即誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的界限。(2 單峰性 絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率大。 (3 對(duì)稱(chēng)性 絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。 (4 抵償性 即隨機(jī)誤差的算術(shù)平

16、均值隨測(cè)量次數(shù)的增加而趨于零。即=K i i K K 101lim 。由此可見(jiàn),可用增加測(cè)量次數(shù)的方法來(lái)減小隨機(jī)誤差。4.的統(tǒng)計(jì)意義由式(2-3表示的正態(tài)分布函數(shù)和概率論知識(shí)有-=1(d f-=683.0(P d f954.02(22=-P d f 997.03(33=-P d f上述各式表明,當(dāng)K ,任何一次測(cè)量值與真值之差落在區(qū)間(,里的概率為1(滿(mǎn)足歸一化條件;而落于區(qū)間,-里的概率為0.683,即置信概率P =0.683;落于區(qū)間2,2-里的概率為0.954,置信概率P =0.954;落于區(qū)間3,3-里的概率為0.997,置信概率P =0.997。由此我們看到是一個(gè)統(tǒng)計(jì)特征值,它表明了

17、在一定條件下等精度測(cè)量列隨機(jī)誤差的概率分布情況。從上面的介紹我們看到當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)限多時(shí),測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于3的概率僅為0.3%,對(duì)于有限次測(cè)量這種可能性是極微小的,于是可以認(rèn)為此時(shí)的測(cè)量是失誤,該測(cè)量值不可信應(yīng)予剔除。這就是著名的3判據(jù)(準(zhǔn)則。在分析多次測(cè)量的數(shù)據(jù)時(shí)很有用處。從以上的介紹我們看到標(biāo)準(zhǔn)誤差是隨機(jī)誤差散布情況的量度。5.標(biāo)準(zhǔn)偏差x 的最佳估計(jì)值在實(shí)際測(cè)量中,測(cè)量次數(shù)K 總是有限的,況且真值X 也不知道,因此標(biāo)準(zhǔn)誤差只具有理論價(jià)值,對(duì)它的實(shí)際處理只能進(jìn)行估算。估算結(jié)果稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)偏差(簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)差,其表達(dá)式為 =-=Ki i x x x K 12(11 (2-5式子的統(tǒng)計(jì)意義為當(dāng)測(cè)量次數(shù)

18、足夠多時(shí),測(cè)量列中任一測(cè)量值與平均值的偏離落在區(qū)間,x x +-里的概率為68.3%,此式亦稱(chēng)為貝塞爾公式。綜上所述,系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差性質(zhì)不同,來(lái)源不同,處理方法也不相同。在實(shí)驗(yàn)中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差往往是并存的共同影響著實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果。有關(guān)隨機(jī)誤差的進(jìn)一步介紹將在下一節(jié)里進(jìn)行。通常人們用“精度”這類(lèi)詞來(lái)形容測(cè)量結(jié)果的誤差大小,但精度是一個(gè)籠統(tǒng)的概念,我們有必要從誤差角度對(duì)此作一定的說(shuō)明。精密度(precision指重復(fù)測(cè)量所得結(jié)果相互接近的程度。精密度反映了隨機(jī)誤差大小的程度。準(zhǔn)確度(accuracy系指測(cè)量值或?qū)嶒?yàn)所得結(jié)果與真值符合的程度,它是描述測(cè)量值圖2-1 隨機(jī)誤差分布曲線(xiàn)接近真值程度

19、的尺度。準(zhǔn)確度反映了系統(tǒng)誤差大小的程度。精確度為精密度與準(zhǔn)確度的綜合,即既描述了測(cè)量數(shù)據(jù)間的接近程度,又表示了與真值的接近程度。總之,精確度反映了綜合誤差的大小程度。圖2-2可以形象地幫助讀者理解以上三名詞。 (a (b (c圖2-2 精密度、準(zhǔn)確度、精確度圖2-2(a彈擊中靶子的點(diǎn)比較集中,但都偏離靶心,表示精密度較高而準(zhǔn)確度較差;圖2-2(b雖然彈點(diǎn)較分散,但平均值較接近靶心,表示準(zhǔn)確度較高而精密度較差;圖2-2(c則表明了精密度和準(zhǔn)確度均較好,亦即精確度較高。測(cè)量中的誤差是客觀而普遍存在的,隨著測(cè)量者水平的提高以及實(shí)驗(yàn)條件的改善,誤差可以被減小和改善,但不可能完全被消除(也沒(méi)有必要這樣作

20、。人們關(guān)心的是怎樣把誤差控制在允許的范圍內(nèi)。如何評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的優(yōu)劣是我們關(guān)心的另一個(gè)問(wèn)題。測(cè)量結(jié)果的表述應(yīng)當(dāng)包含結(jié)果精確度即誤差的信息,但是誤差通常是無(wú)法知道的。于是,人們引入了一個(gè)新的概念不確定度來(lái)對(duì)誤差情況作定量的估計(jì)。不確定度(uncertainty表征了被測(cè)物理量的真值在某個(gè)量值范圍內(nèi)的一個(gè)評(píng)定,亦即測(cè)量結(jié)果附近的一個(gè)范圍,這個(gè)范圍可能包含測(cè)量誤差。誤差是測(cè)量值與真值之差,真值經(jīng)常無(wú)法知道,因此誤差通常也無(wú)法知道,而不確定度表示的是測(cè)量誤差可能出現(xiàn)的范圍,這樣一來(lái)不確定度就能更好地反映測(cè)量結(jié)果的性質(zhì)和優(yōu)劣。2.2 儀器誤差與估計(jì)誤差當(dāng)人們使用儀器進(jìn)行各種測(cè)量時(shí)最關(guān)心的問(wèn)題無(wú)疑是儀器提供

21、的測(cè)量結(jié)果與真值的一致程度以及各系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的綜合估計(jì)不確定度的大小。從后面式(2-13我們看到儀器誤差(在不確定度估算中扮演了重要角色,因此儀器誤差是本節(jié)的重要內(nèi)儀容。所謂儀器誤差(限是指在滿(mǎn)足儀器規(guī)定使用條件,正確使用儀器時(shí),儀器的示值與被測(cè)量真值之間可能產(chǎn)生的最大誤差的絕對(duì)值。在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中它常被用來(lái)估計(jì)由測(cè)量?jī)x器導(dǎo)致的誤差范圍,這有助于我們從量級(jí)上把握測(cè)量?jī)x器的準(zhǔn)確度以及測(cè)量結(jié)果的可靠程度。導(dǎo)致儀器產(chǎn)生儀器誤差的因素是多方面的,現(xiàn)以電表為例介紹構(gòu)成電表儀器誤差的因素。它們分別是:a. 儀器活動(dòng)部分,如軸尖軸套間的摩擦;b. 磁場(chǎng)不均勻;c. 游絲彈性不均勻及游絲老化;d. 分度刻線(xiàn)

22、不均勻;e. 外界條件的變動(dòng)對(duì)儀表讀數(shù)的影響;f. 調(diào)節(jié)儀表指針至所要求的示值所引起的起伏;g. 檢驗(yàn)用的標(biāo)準(zhǔn)所引起的誤差。若儀器的可定系統(tǒng)誤差為e ,未定系統(tǒng)誤差為s ,隨機(jī)誤差為R ,則儀器誤差可表示為1c c e s R e +=+=|22儀(2-6式中c 為置信因子,其值取決于所遵從的規(guī)律以及c 值的置信水平。當(dāng)呈正態(tài)分布,并且置信概率P =0.99時(shí),c =3。從以上分析可知,儀器誤差既包含了系統(tǒng)誤差也包含了隨機(jī)誤差。對(duì)級(jí)別不高的儀表則主要是系統(tǒng)誤差。為了簡(jiǎn)化計(jì),我們約定大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的儀器誤差直接作為不確定度中的非統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)的分量處理。通常,生產(chǎn)廠家在儀器出廠時(shí)已在其上注明儀器誤

23、差,但注明方式各不相同。最常采用的有幾種形式:1.在儀器上直接寫(xiě)出準(zhǔn)確度來(lái)表明該儀器的儀器誤差,如準(zhǔn)確度為0.05mm 的游標(biāo)卡尺,其儀器誤差就是0.05mm 。2.標(biāo)出儀器的精度級(jí)別,用戶(hù)自己算出儀器誤差,如某電表,它的精度級(jí)別定義為%級(jí)別數(shù)電表的滿(mǎn)量程電表的最大誤差=(2-7 于是,可得到%級(jí)別數(shù)滿(mǎn)量程最大誤差=(2-8式中最大誤差就是儀器誤差儀。 3.數(shù)字式儀器的儀器誤差限表達(dá)式常采用m x N N K +=%儀(2-9 或n N K x +=%儀(2-10用顯示的最小讀數(shù)單位作為儀器誤差。對(duì)于未注明儀器誤差的儀器(或量具,作為教學(xué)規(guī)范我們規(guī)定:能連續(xù)讀數(shù)的儀器,取其最小分度值的一半作為

24、儀器誤差,如米尺,螺旋測(cè)微計(jì),讀數(shù)顯微鏡等;對(duì)于不能連續(xù)讀數(shù)的儀器就以最小分度值作為儀器誤差,如機(jī)械停表。以上規(guī)則在運(yùn)用中有時(shí)也有例外,如最小分度值為1的溫度計(jì),它能連續(xù)讀數(shù),儀器誤差為0.5,但由于其準(zhǔn)確度不高,也可以用最小分度值1作為儀器誤差。為了方便讀者,考慮到大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的對(duì)象,根據(jù)上述原則和習(xí)慣,現(xiàn)將常用物理實(shí)驗(yàn)儀器的儀器誤差列成表2-1供大家參考。估計(jì)誤差涉及到物理實(shí)驗(yàn)測(cè)量中的估計(jì)讀數(shù)方法。以圖2-3所示的用厘米尺測(cè)量物體長(zhǎng)度為例,物體始端與末尺零刻線(xiàn)對(duì)齊,其終端介于16cm 和17cm 之間,即物體比16cm 長(zhǎng),比17cm 短。憑著自己的實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)者可先把米尺的相鄰兩刻線(xiàn)(

25、米尺的最小分度分成10個(gè)等份,再估計(jì)物體長(zhǎng)于16cm 部分占16cm 刻線(xiàn)到17cm 刻線(xiàn)部分(最小分度的多少等份,其測(cè)量值為16.5cm 、0(cm 5 10 15 20圖2-3 用米尺測(cè)物體長(zhǎng)度。估計(jì)誤差是一種非統(tǒng)計(jì)性誤估差,并且與儀器誤差是相互獨(dú)立的。在物理實(shí)驗(yàn)中估計(jì)讀數(shù)是普遍存在的,因此估計(jì)誤差也是普遍存在的。例如,除前面提到的米尺測(cè)長(zhǎng)外,用螺旋測(cè)微計(jì)、指針式電表,水銀溫度計(jì)進(jìn)行測(cè)量時(shí)都會(huì)遇到這種誤差。在測(cè)量中怎樣科學(xué)、規(guī)范地讀數(shù)與記錄詳見(jiàn)本章第4節(jié)。 2.3 測(cè)量結(jié)果的不確定度不確定度是指測(cè)量值(近真值附近的一個(gè)區(qū)域范圍。測(cè)量值與真值之差即誤差可能位于其中。不確定度小,測(cè)量結(jié)果可信度

26、高;不確定度大,測(cè)量結(jié)果的可信度低。我們不可能用指出誤差的辦法去說(shuō)明可信度,只能用誤差的某種可能值去說(shuō)明可信度,因此不確定度更能表示測(cè)量結(jié)果的性質(zhì)和質(zhì)量。以上觀點(diǎn)已得到國(guó)際公認(rèn)。由于誤差分為隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差,考慮到測(cè)量中對(duì)測(cè)量結(jié)果的已定系統(tǒng)誤差分量進(jìn)行修正以后。其余各種未定系統(tǒng)誤差因素和隨機(jī)誤差因素共同影響著測(cè)量結(jié)果的不確定度,因此,不確定度的分量計(jì)算原則上分為兩類(lèi),即A 類(lèi)不確定度(統(tǒng)計(jì)不確定度和B 類(lèi)不確定度(非統(tǒng)計(jì)不確定度。下面就兩類(lèi)不確定度的計(jì)算作進(jìn)一步的介紹。1.直接測(cè)量結(jié)果的A 類(lèi)不確定度分量估算A 類(lèi)不確定度分量是指可以用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算的不確定度。這類(lèi)不確定度因服從正態(tài)分布規(guī)律,

27、因而可以象計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差一樣用式(2-5進(jìn)行計(jì)算。設(shè)待測(cè)物理量x (真值為X是穩(wěn)定的,足夠大的K 次獨(dú)立測(cè)量的結(jié)果為1x ,2x ,K x ,平均值=Ki i x Kx 11作為x 的最佳估計(jì),則平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差1(12-=K K x x u u Ki i A x (2-11就是該量的A 類(lèi)不確定度分量。即該測(cè)量列的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差(標(biāo)準(zhǔn)差。x u 的統(tǒng)計(jì)意義在于:待測(cè)物理量落入?yún)^(qū)間,x x u x u x +-里的概率為68.3%;落入?yún)^(qū)間2,2x x u x u x +-里的概率為95.4%;落入?yún)^(qū)間3,3x x u x u x +-里的概率為99.7%。需指出,對(duì)A 類(lèi)不確定度分量的計(jì)算還

28、可以采用最大偏差法,極差法,最小二乘法等方法計(jì)算。為了不增加讀者的負(fù)擔(dān),本書(shū)僅推薦貝塞爾法。 對(duì)于實(shí)際測(cè)量,測(cè)量次數(shù)既不可能足夠的多,更不可能無(wú)限多,當(dāng)測(cè)量次數(shù)減少概率密度分布曲線(xiàn)由正態(tài)分布曲線(xiàn)變得較平坦,變成了t 分布(亦稱(chēng)學(xué)生分布,其圖形見(jiàn)圖2-4所示。很顯然對(duì)于有限次測(cè)量,特別是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中要保持同樣的置信概率水平辦法就只有一個(gè):將x u 乘上一個(gè)大于1的因子p t ,使置信區(qū)間擴(kuò)大。這樣一來(lái)A 類(lèi)不確定度就表示為:1(12-=K K x x t u t Ki i P A P A (2-12表2-2給出了不同置信概率水平下t 因子與測(cè)量次數(shù)K 的關(guān)系。表2-2 t 與測(cè)量次數(shù)K 的關(guān)系

29、對(duì)照 在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中為了簡(jiǎn)化、方便和統(tǒng)一,我們約定置信概率P 取95%,以下的討論也遵從這種約定,不再重復(fù)。圖2-4 正態(tài)分布與t 分布的比較2.直接測(cè)量結(jié)果的B 類(lèi)不確定度分量估算B 類(lèi)不確定度分量是指用不同于統(tǒng)計(jì)方法獲得(或評(píng)定的不確定度(B 。評(píng)定B 類(lèi)不確定度分量常用估計(jì)的方法。要作到估計(jì)適當(dāng),對(duì)初學(xué)者往往是很困難的,因?yàn)樾枰獙?shí)驗(yàn)者確定誤差的分布規(guī)律、參照標(biāo)準(zhǔn)、估算誤差限以及實(shí)驗(yàn)者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)等?？紤]到本書(shū)的讀者大多數(shù)是大學(xué)一、二年級(jí)的本科生,因此本書(shū)對(duì)B 類(lèi)不確定度分量的估算僅作簡(jiǎn)化處理。我們約定大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的B 類(lèi)不確定度僅涉及儀器的最大允差(儀器誤差儀和測(cè)量時(shí)實(shí)驗(yàn)者選用的估

30、計(jì)誤差估。由于儀和估是相互獨(dú)立的。都不遵從統(tǒng)計(jì)規(guī)律,因此,B 類(lèi)不確定度分量2、322估儀+=B(2-13在多數(shù)測(cè)量中存在儀估<31的情況,作為一種簡(jiǎn)化有儀B(2-14例如用一級(jí)精度螺旋測(cè)微計(jì)測(cè)量物體長(zhǎng)度時(shí)004.0=儀mm(或0.005mm。實(shí)驗(yàn)者將最小分度0.01mm 按1/10估讀,這時(shí)估計(jì)誤差001.0=估m(xù)m 。按式(2-13計(jì)算3102.4-=B mm ,按式(2-14計(jì)算3101.4-=B mm 。因此在上述情況下采用式(2-14是可行的,但必須滿(mǎn)足上述條件即儀估<31。有時(shí)也有例外,例如用毫米尺測(cè)物體長(zhǎng)度時(shí),5.0=儀mm ,若物體邊緣粗糙,常按1/2估讀,5.0=

31、估m(xù)m ,這時(shí)仍然應(yīng)按式(2-13計(jì)算B 類(lèi)不確定度分量。3.直接測(cè)量結(jié)果的不確定度及測(cè)量結(jié)果表示 (1 直接測(cè)量結(jié)果的不確定度U按ISO 、IUPAP 頒布的指南精神,直接測(cè)量列結(jié)果表示中的總不確定度的具體計(jì)算為: 22222(估儀+=+=A P BA u t U (2-15或22(儀+=A P u t U ,(當(dāng)儀估<31(2-16 對(duì)于單次測(cè)量或只能(或只需進(jìn)行一次測(cè)量的情況。此時(shí)貝塞爾公式是發(fā)散的,不能用式(2-5、(2-11和(2-12計(jì)算,作為一種簡(jiǎn)化于是有:322估儀+=U(2-17 或儀=U(2-18應(yīng)當(dāng)指出式(2-17、(2-18并不說(shuō)明單次測(cè)量的總不確定度U 比多次測(cè)

32、量的U 值小,只能說(shuō)明這種估算是比式(2-15更為粗略的估計(jì)方法。(2 直接測(cè)量結(jié)果的規(guī)范表述 對(duì)于直接測(cè)量結(jié)果 U x x ±= (單位 (P =0.95(2-19 其中各量可按如下方式計(jì)算注:若測(cè)量中存在可修正的系統(tǒng)誤差(可定系統(tǒng)誤差則應(yīng)對(duì)測(cè)量值進(jìn)行修正,這時(shí)的最佳值應(yīng)為 -=K i i x K x 11 (2-21 4.測(cè)量結(jié)果的規(guī)范表示細(xì)則每一位實(shí)驗(yàn)者都應(yīng)學(xué)會(huì)怎樣正確,規(guī)范,科學(xué)地書(shū)寫(xiě)測(cè)量結(jié)果的最終報(bào)告形式。作為一種教學(xué)規(guī)范,我們約定:(1 當(dāng)直接測(cè)量結(jié)果是最終結(jié)果,不確定度取位為12位,即不超過(guò)2位有效數(shù)字;若其作為間接測(cè)量的中間結(jié)果,不確定度最好比正常截?cái)喽嗳?到2位,以

33、避免舍入誤差的積累效應(yīng)。相對(duì)不確定度則一律用2位有效數(shù)學(xué)(百分?jǐn)?shù)表示。(2 為保證不確定度的置信概率水平不致降低,不確定度值截?cái)鄷r(shí)采取“只入不舍”的原則,亦即寧大勿小。例如:3411.0=U mm 若截取為2位數(shù)有效數(shù)字就是35.0=U mm ,截取1位數(shù)則為4.0=U mm 。(3 測(cè)量結(jié)果表達(dá)式中測(cè)量值(平均值的最末位數(shù)應(yīng)與不確定度U 的最末位數(shù)對(duì)齊。對(duì)測(cè)量值中保留數(shù)字末位以后的部分應(yīng)按通常的“四舍六入五湊偶”的修約規(guī)則進(jìn)行。例如,一測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算的平均值為13.5025cm ,其經(jīng)計(jì)算獲得的不確定度值為0.0134cm ,不確定度取2位有效數(shù)字應(yīng)為0.014cm ,則測(cè)量結(jié)果為即測(cè)量值平均

34、值的有效數(shù)字位數(shù)最終應(yīng)根據(jù)不確定度的有效數(shù)字位數(shù)來(lái)決定,而平均值的修約原則是按“四舍六入,五湊偶”進(jìn)行。(4 在測(cè)量結(jié)果x 以及A u ,A ,U ,E 等量的后面必須用括號(hào)注明置信概率的近似值(雖然我們前面已約定了P =0.95%。(5 測(cè)量結(jié)果完整表達(dá)式中應(yīng)包含該物理量的單位。設(shè)間接測(cè)量量N 與各直接測(cè)量量的函數(shù)關(guān)系為:,( z y x f N = 1.間接測(cè)量量的平均值 間接測(cè)量結(jié)果是由一個(gè)或幾個(gè)直接測(cè)量值經(jīng)過(guò)公式計(jì)算得出。因x ,y ,均代表各直接測(cè)量量的最佳值,于是間接測(cè)量量的最佳值就應(yīng)該是 ,( z y x f =(2-22即間接測(cè)量量的最佳值由各直接測(cè)量量的最佳值代入函數(shù)表達(dá)式求

35、得。2.間接測(cè)量結(jié)果的不確定度 設(shè)x U ,y U ,z U ,分別為x ,y ,z ,等相互獨(dú)立的直接測(cè)量量的不確定度,則間接測(cè)量量的總不確定度為+ + + =222222z y x N U z f U y f U x f U (2-23 式中偏導(dǎo)數(shù)x f ,y f ,zf ,稱(chēng)為傳遞系數(shù),它的大小直接代表了各直接測(cè)量結(jié)果不確定度對(duì)間接測(cè)量結(jié)果不確定度的貢獻(xiàn)(權(quán)重。間接測(cè)量量的相對(duì)不確定度可表示為 + + + =222222ln ln ln z y x N U z f U y f U x f N U (2-24式中f ln 表示對(duì)函數(shù)f 取自然對(duì)數(shù)。 以上式(2-23、(2-24僅僅是原理性

36、的表達(dá)式,當(dāng)落實(shí)到一個(gè)具體的間接測(cè)量量的函數(shù)關(guān)系式參與運(yùn)算時(shí)計(jì)算量不小,為了方便讀者,表2-3將常用函數(shù)不確定度公式列于其中。表2-3 常用函數(shù)不確定度使用說(shuō)明 3.不確定度計(jì)算實(shí)例例 1 利用流體靜力稱(chēng)衡法測(cè)一銅塊的密度,密度公式為01解:銅塊密度近真值11-=-= -m m U m m m U m m m m 例2 用單擺測(cè)重力加速度,224T Lg =,已測(cè)得擺長(zhǎng)L 和周期T 的測(cè)量結(jié)果為222=T L g 按式2-24或表2-3求重力加速度的相對(duì)不確定度 %2= -+ = -+ =P T U L U g U E T L g g 重力加速度的不確定度為對(duì)于例2有興趣的讀者也可采用式(2-

37、23求解,但經(jīng)比較你會(huì)發(fā)現(xiàn),當(dāng)間接測(cè)量量與直接測(cè)量量的函數(shù)關(guān)系為乘、除或冪函數(shù)關(guān)系時(shí),用式(2-24先求相對(duì)不確定度可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算。因此,表2-3就是按此思路制成的。讀者參照此表,并根據(jù)其說(shuō)明欄的步驟計(jì)算可以使計(jì)算量減至最小,而且不易出錯(cuò)。應(yīng)當(dāng)指出,無(wú)論用式(2-23、(2-24或是按表2-3計(jì)算間接測(cè)量量的不確定度時(shí),均應(yīng)保持置信概率的統(tǒng)一。例如各直接測(cè)量量的不確定度用標(biāo)準(zhǔn)不確定度(P =68.3%表達(dá)時(shí),它們傳遞的間接測(cè)量結(jié)果的不確定度也是標(biāo)準(zhǔn)不確定度(P =68.3%。所有直接測(cè)量量都用高置信概率下的不確定度時(shí),經(jīng)傳遞后間接測(cè)量結(jié)果的不確定度也只能是在該高置信概率下的不確定度。前面已經(jīng)

38、談到,不確定度能科學(xué)地反映測(cè)量結(jié)果的可靠程度,但不確定度的意義遠(yuǎn)不止這些。人們還可以根據(jù)對(duì)測(cè)量的不確定度大小的要求設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案,選擇實(shí)驗(yàn)儀器,不斷改進(jìn)實(shí)驗(yàn),提高測(cè)量精確度等。以上這些問(wèn)題涉及到不確定度均分原理和不確定度的分配調(diào)整,它對(duì)我們的測(cè)量有指導(dǎo)性意義。所謂不確定度均分原理就是間接測(cè)量結(jié)果的總不確定度均勻地分配到各直接測(cè)量量的不確定度中去,利用這一原理我們就可以從總體上科學(xué)、合理地指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)。例:已知一圓柱體,粗略地知道其直徑D 10mm ,高h(yuǎn) 30mm ,若要求該園柱體體積V 的相對(duì)不確定度不大于1.0%,求D 、h 的允許不確定度?進(jìn)而設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量該圓柱體體積的實(shí)驗(yàn)儀器方案。解 圓柱體

39、體積4/2h D V =,其相對(duì)不確定度的表達(dá)式應(yīng)滿(mǎn)足 %0.1222 + =h U D U V U h D V 根據(jù)不確定度均分原理,應(yīng)當(dāng)有h U D U h D =2 即%0.1222 D U D 或%0.122 h U h 也就是%0.1221D U D%0.121h U h 得mm (036.0D Umm (22.0h U 由于量程為025mm 的一級(jí)精度螺旋測(cè)微計(jì)的儀器誤差為0.004(或0.005mm ,二級(jí)精度螺旋測(cè)微計(jì)的儀器誤差為0.012mm ,估計(jì)誤差為0.001mm 。A 類(lèi)不確定度也大約在此數(shù)量級(jí)。因此選用一、二級(jí)精度的螺旋測(cè)微計(jì)均能夠滿(mǎn)足測(cè)量直徑D 的不確定度要求。若

40、考慮游標(biāo)卡尺測(cè)直徑,20分度的游標(biāo)卡尺儀器誤差為0.05mm ,肯定不行。50分度游標(biāo)卡尺的誤差為0.02mm,再考慮估計(jì)誤差為0.02mm以及A類(lèi)不確定度,因此也是不行的。再看圓柱體高度測(cè)量,由于高度h30mm,實(shí)驗(yàn)室一般螺旋測(cè)微計(jì)量程為025mm。因此,不能在測(cè)高度時(shí)采用它。又看毫米尺,其儀器誤差為0.5mm(太大,因此也不能選用毫米尺測(cè)高度。再看游標(biāo)卡尺,量程最小的一種為0125mm。另外,對(duì)于20分度和50分度游標(biāo),它們的儀器誤差,估計(jì)誤差,A類(lèi)不確定度全考慮進(jìn)去也不超過(guò)0.2mm,因此圓柱體的高度測(cè)量宜采用游標(biāo)卡尺(無(wú)論20分度,50分度均可。2.4 測(cè)量值的有效數(shù)字及運(yùn)算規(guī)律1.有

41、效數(shù)字在進(jìn)行直接測(cè)量時(shí)要用到各種各樣的儀器、儀表。根據(jù)儀器、儀表顯示讀數(shù)的方式,可把儀器、儀表分為兩類(lèi):用一定長(zhǎng)度或弧長(zhǎng)表示某物理量大小的稱(chēng)為模擬式儀表;直接用數(shù)字顯示測(cè)量結(jié)果的稱(chēng)為數(shù)字式儀表。用模擬式儀器,儀表進(jìn)行測(cè)量時(shí),首先要弄清它的測(cè)量范圍(即量程以及整個(gè)測(cè)量范圍包含多少最小分度,其最小分度值稱(chēng)為儀器、儀表的最小量或讀數(shù)精度。從儀表上讀取數(shù)字時(shí)要盡可能讀到儀器、儀表最小分度值的下一位(有時(shí)在同位。最小分度以上的數(shù)值可以直接讀出,是準(zhǔn)確的,稱(chēng)可靠數(shù)字(也稱(chēng)準(zhǔn)確數(shù)字。最小分度以下的數(shù)值只能估計(jì)得到(且只能估計(jì)出一個(gè)數(shù)字。這個(gè)數(shù)字因?yàn)槭枪烙?jì)得到的,是不準(zhǔn)確的,我們把這個(gè)數(shù)字稱(chēng)為可疑數(shù)字(也稱(chēng)欠

42、準(zhǔn)數(shù)字。可疑數(shù)字雖不準(zhǔn)確,但它仍代表了該物理量的一定大小、是有一定意義的、是對(duì)測(cè)量值有一定貢獻(xiàn)的數(shù)字,因而是有效的。我們把儀器、儀表上直接讀得的準(zhǔn)確數(shù)字和最后一位估計(jì)得到的可疑數(shù)字統(tǒng)稱(chēng)為測(cè)量值的有效數(shù)字。一個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)值有幾個(gè)有效數(shù)字,就稱(chēng)該測(cè)量值有幾位有效數(shù)字。另外,要估讀到最小分度的幾分之一(如1/10,1/5,1/2等,這個(gè)最小分度的幾分之一,即為測(cè)量值的估計(jì)誤差,簡(jiǎn)記為。估cm 1 0 2 3 4 cm 1 0 2 3 4(a (b圖2-5 米尺測(cè)物體長(zhǎng)度測(cè)量得到的數(shù)據(jù)都應(yīng)以有效數(shù)字表示,準(zhǔn)確數(shù)字由儀器直接讀得,最后一位可疑數(shù)字由估計(jì)讀數(shù)得到。至于怎樣科學(xué)地進(jìn)行估計(jì)讀數(shù),應(yīng)根據(jù)具體情

43、況確定,一般最小分度刻線(xiàn)間的寬度為1mm 或以上者,應(yīng)按10等分估計(jì)讀數(shù),否則可根據(jù)情況按5等分或2等分估計(jì)讀數(shù)。但如果是指針式儀表或光標(biāo)儀表,它們的指針或光標(biāo)尺絲線(xiàn)較寬,大于最小分度的1/10時(shí),可按1/5估讀;若它們的寬度大于最小分度的1/5時(shí);可按1/2估讀。另外,還要根據(jù)儀器精度等級(jí)以及所測(cè)物理量的不確定度對(duì)整個(gè)測(cè)量的總不確定度的貢獻(xiàn)大小來(lái)確定估讀方式。如果儀器的精度等級(jí)高,就須按1/10估讀,如果該物理量對(duì)總不確定度的貢獻(xiàn)小,則可按1/2或1/5估讀。使用數(shù)字式儀器、儀表進(jìn)行測(cè)量時(shí),不需要進(jìn)行估計(jì)讀數(shù),顯示的末位數(shù)字就是可疑數(shù)字,其估計(jì)誤差為此位的±1個(gè)單位。2.記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)

44、據(jù)宜采用科學(xué)記數(shù)法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用有效數(shù)字記錄。在記錄時(shí)為了方便,為了不易出錯(cuò),常用科學(xué)記數(shù)法記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)?？茖W(xué)記數(shù)法,即把數(shù)據(jù)寫(xiě)成小數(shù)乘以10的n 次冪的形式(n 可以是正數(shù),負(fù)數(shù),且小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)前只有一位整數(shù)。例如地球直徑為6371km ,用科學(xué)記數(shù)法表示就是6.371³103km ?？茖W(xué)記數(shù)法有以下好處:a. 能方便地表達(dá)出數(shù)據(jù)有效數(shù)字的位數(shù);如地球直徑是4位有效數(shù)字;b. 單位改變時(shí),只是乘冪次數(shù)改變其它不變。但一般的書(shū)寫(xiě)就要出錯(cuò),如用以米為單位寫(xiě)出地球的直徑,一般書(shū)寫(xiě)法在6371之后要添0才能保證數(shù)值大小不變,寫(xiě)成6371000m ,但這是7位有效數(shù)字了,顯然是錯(cuò)誤的,測(cè)量數(shù)據(jù)不

45、能因?yàn)閱挝粨Q算而改變其有效數(shù)字的位數(shù);c. 表示很大和很小的數(shù)字特別方便,也容易記憶,如鉑的電阻溫度系數(shù)為a =0.00391k -1,科學(xué)記數(shù)法寫(xiě)成a =3.91³10-3k -1,很方便。3.有效數(shù)字尾數(shù)舍入規(guī)則在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)參與運(yùn)算后,在用不確定度規(guī)范測(cè)量值時(shí)存在數(shù)值的“舍入”(或“修約”。舍入時(shí)按熟知的“四舍五入”規(guī)則是見(jiàn)“五”就入。這一規(guī)則有不完善之處:導(dǎo)致從1到9的九個(gè)數(shù)字中,入的機(jī)會(huì)總是大于舍的機(jī)會(huì),這是不合理的,這就不可避免帶來(lái)舍入誤差。為了彌補(bǔ)這一缺陷,現(xiàn)在通用的規(guī)則是:對(duì)保留數(shù)字末位以后的部分的第一個(gè)數(shù),小于“5”則舍,大于“5”則入,等于“5”則把保留數(shù)字末位湊為偶

46、數(shù),即原來(lái)末位是奇數(shù)則加1(五入,原來(lái)末位是偶數(shù)則不變(五舍。此規(guī)則稱(chēng)為“四舍六入,五湊偶”規(guī)則。間接測(cè)量值是由直接測(cè)量值通過(guò)公式計(jì)算得到的,所以間接測(cè)量值也應(yīng)該用有效數(shù)字表示。下面討論有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則。有效數(shù)字運(yùn)算的總原則是:準(zhǔn)確數(shù)字與準(zhǔn)確數(shù)字進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí),其結(jié)果仍為準(zhǔn)確數(shù)字。 準(zhǔn)確數(shù)字與可疑數(shù)字以及可疑數(shù)字與可疑數(shù)字進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí),其結(jié)果均為可疑數(shù)字。 在運(yùn)算最后結(jié)果中一般只保留一位可疑數(shù)字,其余可疑數(shù)字,應(yīng)根據(jù)尾數(shù)取舍規(guī)則處理。一個(gè)經(jīng)計(jì)算得到的結(jié)果不會(huì)比參與計(jì)算的諸數(shù)據(jù)中最不準(zhǔn)確的數(shù)值更準(zhǔn)確或可靠。因此,為了簡(jiǎn)化運(yùn)算,在進(jìn)行四則運(yùn)算前,可將參加運(yùn)算的原始數(shù)據(jù),分別按加減、乘除不同情況進(jìn)

47、行修正。對(duì)加減運(yùn)算應(yīng)首先找出參與運(yùn)算的諸項(xiàng)中可疑數(shù)字所占數(shù)位最高的項(xiàng),以此項(xiàng)為標(biāo)準(zhǔn),其余各項(xiàng)一律按尾數(shù)取舍原則使這些項(xiàng)的可疑數(shù)字占的數(shù)位比標(biāo)準(zhǔn)項(xiàng)可疑數(shù)字?jǐn)?shù)位低一位。在乘除運(yùn)算時(shí),應(yīng)首先找出參與運(yùn)算的各項(xiàng)中所含有效數(shù)字個(gè)數(shù)(即位數(shù)最少的項(xiàng),以此項(xiàng)為標(biāo)準(zhǔn),其它各項(xiàng)按尾數(shù)取舍原則使各項(xiàng)有效數(shù)字的個(gè)數(shù)比標(biāo)準(zhǔn)項(xiàng)多一個(gè)。1.四則運(yùn)算在運(yùn)算時(shí),為了把可疑數(shù)字、可靠數(shù)字加以區(qū)別,我們?cè)诳梢蓴?shù)字下加一橫線(xiàn)。(1 加和減運(yùn)算例1 12.34+2.3574=14.6974=14.70例2 43.326.2568=37.0632=37.06由例1、例2可以看到,在加、減運(yùn)算中,和或差的可疑數(shù)字所占數(shù)位,與參加運(yùn)算的各

48、數(shù)據(jù)項(xiàng)中可疑數(shù)字所占數(shù)位最高的相同。(2 乘除法運(yùn)算例3 2432.6³0.341=8.295³103=8.30³103例4 354 4÷27.1=13.08=13.1由例3、例4可以看到,在乘除運(yùn)算中,積或商所包含的有效數(shù)字位數(shù),與參加運(yùn)算的各數(shù)據(jù)項(xiàng)中有效數(shù)字位數(shù)最少的那個(gè)相同。(3 混合運(yùn)算中,要按部就班地運(yùn)用有效數(shù)字四則運(yùn)算規(guī)則。2.函數(shù)運(yùn)算在進(jìn)行函數(shù)運(yùn)算時(shí),不能沿用四則運(yùn)算的有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則。乘方或開(kāi)方運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與其底的有效數(shù)字位數(shù)相同。對(duì)于其它函數(shù)運(yùn)算應(yīng)該先計(jì)算出間接測(cè)量結(jié)果的不確定度,用不確定度來(lái)確定間接測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)。今

49、后在相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)中具體再介紹。在用有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算時(shí),還應(yīng)注意以下三點(diǎn):出現(xiàn)在計(jì)算公式中的比例常數(shù)是非測(cè)量值,可以認(rèn)為它們具有足夠多位有效數(shù)字,不因它們的出現(xiàn)影響運(yùn)算結(jié)果的位數(shù)。至于無(wú)理數(shù) 、2、3、e等,在運(yùn)算中要截取成有效數(shù)字形式時(shí),應(yīng)比其它測(cè)量得到的數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)最少者多取1位或2位。一個(gè)數(shù)據(jù)的第一個(gè)數(shù)是9或8,在乘除運(yùn)算中,計(jì)算有效數(shù)字的位數(shù)時(shí),可多取1位。例如9.81³16.24=159.3,可把9.81看為4位有效數(shù)字,所以結(jié)果應(yīng)記為159.3。有多個(gè)數(shù)據(jù)參加運(yùn)算時(shí),運(yùn)算的中間結(jié)果應(yīng)保留兩個(gè)可疑數(shù)字以減少多次取舍引入的計(jì)算誤差,但運(yùn)算到最后仍應(yīng)舍去。例如3.14

50、4³(3.61522.6842³12.39=3.144³(13.0687.2039³12.39=3.144³5.86³12.39=22 8最后還需再次指出,上述運(yùn)算涉及的間接量的有效數(shù)字位數(shù)的確定僅僅是一種粗略的估計(jì),用不確定度來(lái)決定測(cè)量值的有效數(shù)字位數(shù)才是總的原則和依據(jù),即測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字的取位是由不確定度最終來(lái)決定的。方法是,測(cè)量結(jié)果(無(wú)論直接測(cè)量量以及間接測(cè)量量的算術(shù)平均值的最末一位一定要與不確定度的末位對(duì)齊。2.5 物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的基本方法實(shí)驗(yàn)得到的一系列數(shù)據(jù),往往是零碎而有誤差的,要從這一系列數(shù)據(jù)中得到最可靠的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,

51、找出物理量之間的變化關(guān)系及其服從的物理規(guī)律,這要靠正確的數(shù)據(jù)處理方法。所謂數(shù)據(jù)處理,就是對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過(guò)必要的整理分析和歸納計(jì)算,得到實(shí)驗(yàn)的結(jié)論。常用的方法有列表法、作圖法、逐差法和最小二乘法。在記錄和處理數(shù)據(jù)時(shí),常常將所得數(shù)據(jù)列成表。數(shù)據(jù)列制成表后,可以簡(jiǎn)單而明確,形式緊湊地表示出有關(guān)物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系;便于隨時(shí)檢查結(jié)果是否合理,及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,減少和避免錯(cuò)誤;有助于找出有關(guān)物理量之間規(guī)律性的聯(lián)系,進(jìn)而求出經(jīng)驗(yàn)公式等。列表的要求是:(1 要寫(xiě)出所列表格的名稱(chēng),列表力求簡(jiǎn)單明了,便于看出有關(guān)量之間的關(guān)系,便于后面處理數(shù)據(jù)。(2 列表要標(biāo)明各符號(hào)所代表物理量的意義(特別是自定的符號(hào),并注明單位。單

52、位及測(cè)量值的數(shù)量級(jí)寫(xiě)在該符號(hào)的標(biāo)題欄中,不要重復(fù)記在各個(gè)數(shù)值上。(3 列表時(shí)可根據(jù)具體情況,決定列出哪些項(xiàng)目。個(gè)別與其它項(xiàng)目聯(lián)系不密切的數(shù)據(jù)可以不列入表內(nèi)。列入表中的除原始數(shù)據(jù)外,計(jì)算過(guò)程中的一些中間結(jié)果和最后結(jié)果也可以列入表中。(4 表中所列數(shù)據(jù)要正確反映測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字。1.作圖法的作用和優(yōu)點(diǎn)物理量之間的關(guān)系既可以用解析函數(shù)關(guān)系表示,還可用圖示法來(lái)表示。作圖法是把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)按其對(duì)應(yīng)關(guān)系在坐標(biāo)紙上描點(diǎn),并繪出曲線(xiàn),以此曲線(xiàn)揭示物理量之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,求出經(jīng)驗(yàn)公式。作圖法是一種被廣泛用來(lái)處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的很重要的方法。它的優(yōu)點(diǎn)是能把一系列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系或變化情況直觀地表示出來(lái)。同時(shí),作圖連線(xiàn)

53、對(duì)各數(shù)據(jù)點(diǎn)可起到平均的作用,從而減小隨機(jī)誤差;還可從圖線(xiàn)上簡(jiǎn)便求出實(shí)驗(yàn)需要的某些結(jié)果。例如,求直線(xiàn)斜率和截距等;從圖上還可讀出沒(méi)有進(jìn)行觀測(cè)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(稱(chēng)內(nèi)插法;此外,在一定條件下還可從圖線(xiàn)延伸部分讀到測(cè)量范圍以外的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(稱(chēng)外推法。作好一幅正確、實(shí)用、美觀的圖是實(shí)驗(yàn)技能訓(xùn)練的一項(xiàng)基本功,應(yīng)該很好掌握它。實(shí)驗(yàn)作圖不是示意圖,它既要表達(dá)物理量間的關(guān)系,又要能反映測(cè)量的精確程度,因此必須按一定要求作圖。2.作圖的步驟及規(guī)則(1 作圖一定要用坐標(biāo)紙根據(jù)所測(cè)的物理量,經(jīng)過(guò)分析研究后確定應(yīng)選用哪種坐標(biāo)紙。常用坐標(biāo)紙有:直角坐標(biāo)紙,單對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙、雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙、極坐標(biāo)紙等。(2 坐標(biāo)紙大小的確定坐標(biāo)紙大小,一般

54、根據(jù)測(cè)得數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)來(lái)確定。原則上應(yīng)使坐標(biāo)紙上的最小格,對(duì)應(yīng)于有效數(shù)字最后一位可靠數(shù)位。(3 選坐標(biāo)軸以橫軸代表自變量,縱軸代表因變量,要畫(huà)兩條粗細(xì)適當(dāng)?shù)木€(xiàn)表示橫軸和縱軸,并畫(huà)出方向。在軸的末端近旁標(biāo)明所代表的物理量及單位。(4 定標(biāo)尺及標(biāo)度在用直角坐標(biāo)紙時(shí),采用等間隔定標(biāo)和整數(shù)標(biāo)度,即對(duì)每個(gè)坐標(biāo)軸在間隔相等的距離上用整齊的數(shù)字標(biāo)度。標(biāo)尺的選擇原則是: 圖上觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)讀數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)相同。 縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的標(biāo)尺選擇應(yīng)適當(dāng)。應(yīng)盡量使圖線(xiàn)占據(jù)圖面的大部分,不要偏于一角或一端。 標(biāo)尺的選擇應(yīng)使圖線(xiàn)顯示出其特點(diǎn)。標(biāo)尺應(yīng)劃分得當(dāng),以不用計(jì)算就能直接讀出圖線(xiàn)上每一點(diǎn)的坐標(biāo)為

55、宜,通常使坐標(biāo)紙的一小格表示被測(cè)量的最后一位準(zhǔn)確數(shù)字的1個(gè)單位、2個(gè)單位或5個(gè)單位(而不應(yīng)使一小格表示3、7或9個(gè)單位。 如果數(shù)據(jù)特別大或特別小,可以提出相乘因子,例如,提出³105、³10-2放在坐標(biāo)軸上最大值的右邊。 標(biāo)度時(shí),一方面要整數(shù)標(biāo)度、另一方面又要標(biāo)出有效數(shù)字的位數(shù)。(5 描點(diǎn) 依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在圖上描點(diǎn),并以該點(diǎn)為中心,用+、³、 等等符號(hào)中的任一種符號(hào)標(biāo)注。同一圖形上的觀測(cè)點(diǎn)要用同一種符號(hào),不同曲線(xiàn)要用不同符號(hào)加以區(qū)別,并在圖紙的空白位置注明符號(hào)所代表的內(nèi)容。(6 連線(xiàn) 用直尺、曲線(xiàn)板(云規(guī)等器具,根據(jù)不同情況,把點(diǎn)連成直線(xiàn),光滑曲線(xiàn)或折線(xiàn)。如是校正曲

56、線(xiàn)要通過(guò)校準(zhǔn)點(diǎn)連折線(xiàn)。當(dāng)連成直線(xiàn)或光滑曲線(xiàn)時(shí),曲線(xiàn)并不一定要通過(guò)所有的點(diǎn),而是要求線(xiàn)的兩側(cè)偏差點(diǎn)有較均勻的分布。在畫(huà)線(xiàn)時(shí),個(gè)別偏離過(guò)大的點(diǎn)應(yīng)當(dāng)舍去或重新測(cè)量核對(duì),如圖線(xiàn)需延伸到測(cè)量范圍以外,則應(yīng)按其趨勢(shì)用虛線(xiàn)表示。(7 寫(xiě)圖名和圖注 在圖紙的上部空曠處寫(xiě)出圖名、實(shí)驗(yàn)條件及圖注,或在圖紙的下方寫(xiě)出圖名。一般將縱軸代表的物理量寫(xiě)在前面,橫軸代表的物理量寫(xiě)在后面,中間加一連線(xiàn)。 3.作圖舉例例 一定質(zhì)量的氣體,當(dāng)體積一定時(shí),其壓強(qiáng)與溫度關(guān)系為00p t p p +=(直線(xiàn)關(guān)系:b ax y -=,式中0p =,0p b =,t x =,p y =。觀測(cè)得如表2-4一組數(shù)據(jù),試用作圖法求。如圖2-6 所示,采用毫米坐標(biāo)紙,橫軸為溫度t ,每小格代表1,縱軸為壓強(qiáng)p ,每5小格代表1cmHg ,用“+”表示對(duì)應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)的位置,其誤差界限為2²t =1為1個(gè)小格;2²p =2³0.5=1cmHg 為5個(gè)小格。由00p t p p +=知t p -函數(shù)關(guān)系為一條直線(xiàn)。作直線(xiàn)時(shí),使其穿過(guò)各坐標(biāo)點(diǎn)的誤差界限。由式00(p t p p +=知0p 為縱軸截距,0p k =為直線(xiàn)斜率。延長(zhǎng)直線(xiàn)交縱軸于0p ,得9.710=p cmHg ,在畫(huà)好的直線(xiàn)上靠近兩端取兩點(diǎn)A 和B ,用符號(hào)表示圖2-6 按直線(xiàn)規(guī)律變化的作圖法p t 關(guān)系 p (cm.Hg B A 班級(jí) 姓名