測量誤差及處理

1、1測量誤差的基本概念由于測量過程中計量器具本身和測量方法等誤差的影響，以及測量條件的限制，任何一次測量的測得值都不可能是被測量的真值，兩者存在著差異。這種差異在數(shù)值上則表現(xiàn)為測量誤差。測量誤差指被測量的測得值與其真值之差，用公式表示如下： （1-20）式中，為絕對誤差；x為被測量的測得值；x0為被測量的真值。測量誤差有下列兩種表示形式：(1) 絕對誤差由式（1-20）所定義的測量誤差也稱絕對誤差。在式（1-21）中，由于x可能大于或小于x0，因而絕對誤差可能是正值，也可能是負值。這樣，被測量的真值可以用下式來表示： （1-21）利用上式，可以由被測量的量值和測量誤差來估算真值所在的范圍。測量誤

2、差的絕對值越小，則被測量的量值越接近于真值，測量精度就越高；反之，測量精度越低。用絕對誤差表示測量精度，適用于評定或比較大小相同被測量的測量精度。對于大小不同的被測量，則需要用相對誤差來評定或比較它們的測量精度。(2) 相對誤差相對誤差是指絕對誤差的絕對值與被測量真值之比。由于被測量的真值無法得到，因此在實際應用中常以被測量的測得值代替真值進行估算，即 （1-22）式中，f為相對誤差。相對誤差通常用百分比來表示。例如，某兩軸徑的測得值分別為199.865mm和80.002mm，它們的絕對誤差分別為0.004mm和0.003mm，則由式（1-22）計算得到它們的相對誤差分別為，因此前者的測量精度

3、比后者高。2測量誤差的來源為了減小測量誤差，必須仔細分析測量誤差產(chǎn)生的原因，提高測量精度。在實際測量中，產(chǎn)生測量誤差的因素很多，歸結(jié)起來主要有以下幾個方面。（1）計量器具誤差計量器具誤差是指計量器具本身在設計、制造和使用過程中的各項誤差。設計計量器具時，為了簡化結(jié)構(gòu)而采用近似設計會產(chǎn)生測量誤差。例如，機械杠桿比較儀的結(jié)構(gòu)中，測桿的直線位移與指針杠桿的角位移不成正比，而其標尺卻采用等分刻度，這就是一種近似設計，測量時會產(chǎn)生測量誤差。當設計的計量器具不符合阿貝原則時也會產(chǎn)生測量誤差。阿貝原則是指測量長度時，為了保證測量的準確，應使被測零件的尺寸線（簡稱被測線）和量儀中作為標準的刻度尺（簡稱標準線）

4、重合或順次排成一條直線。用千分尺測量軸的直徑，如圖1-38所示，千分尺的標準線（測微螺桿軸線）與工件被測線（被測直徑）在同一條直線上。如果測微螺桿軸線的移動方向與被測直徑方向間有一夾角，則由此產(chǎn)生的測量誤差為：式中，x為應測長度；為實測長度。由于角很小，將cos展開成級數(shù)后取前兩項可得，則設mm，rad ，則由此可見，符合阿貝原則的測量引起的測量誤差很小，可以略去不計。圖1-38 用千分尺測量軸徑用游標卡尺測量軸的直徑，如圖1-39所示，作為標準長度的刻度尺與被測直徑不在同一條直線上，兩者相距s平行放置，其結(jié)構(gòu)不符合阿貝原則。在測量過程中，卡尺活動量爪傾斜一個角度，此時產(chǎn)生的測量誤差按下式計算

5、：圖1-39 用游標卡尺測量軸徑設，rad，則由于游標卡尺結(jié)構(gòu)不符合阿貝原則而產(chǎn)生的測量誤差由此可見，不符合阿貝原則的測量引起的測量誤差頗大。計量器具零件的制造和裝配誤差會產(chǎn)生測量誤差。例如，游標卡尺標尺的刻線距離不準確、指示表的分度盤與指針回轉(zhuǎn)軸的安裝偏心等皆會產(chǎn)生測量誤差。計量器具在使用過程中零件的變形、滑動表面的磨損等會產(chǎn)生測量誤差。此外，相對測量時使用的標準量（如量塊）的制造誤差也會產(chǎn)生測量誤差。（2）方法誤差方法誤差是指測量方法不完善（包括計算公式不準確、測量方法選擇不當、工件安裝、定位不準確等）所引起的誤差。例如，在接觸測量中，由于測頭測量力的影響，使被測零件和測量裝置產(chǎn)生變形而產(chǎn)

6、生測量誤差。（3）環(huán)境誤差環(huán)境誤差是指測量時環(huán)境條件不符合標準的測量條件所引起的誤差。例如，環(huán)境溫度、濕度、氣壓、照明（引起視差）等不符合標準以及振動、電磁場等的影響都會產(chǎn)生測量誤差，其中尤以溫度的影響最為突出。例如，在測量長度時，規(guī)定的標準溫度為，但是在實際測量時被測零件和計量器具的溫度均會產(chǎn)生或大或小的偏差，而被測零件和計量器具的材料不同時，它們的線膨脹系數(shù)也不同，這將產(chǎn)生一定的測量誤差，其大小可按下式進行計算：式中，x為被測長度；、為被測零件、計量器具的線膨脹系數(shù)；、為測量時被測零件、計量器具的溫度（）。因此，測量時應根據(jù)測量精度的要求，合理控制環(huán)境溫度，以減小溫度對測量精度的影響。（4

7、）人員誤差人員誤差是指測量人員主觀因素(分辨能力、思想情緒等)和操作技術所引起的誤差。例如，測量人員使用計量器具不正確、測量瞄準不準確、讀數(shù)或估讀錯誤等，都會產(chǎn)生測量誤差。3測量誤差的分類測量誤差按其性質(zhì)可分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差等三大類。（1）系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是指在一定測量條件下，對同一被測量進行多次測量時，大小和符號均不變，或按一定規(guī)律變化的測量誤差。系統(tǒng)誤差分為定值系統(tǒng)誤差和變值系統(tǒng)誤差。定值系統(tǒng)誤差在整個測量過程中，誤差的符號和大小均不變，例如用量塊調(diào)整比較儀時，量塊按標稱尺寸使用時其制造誤差引起的測量誤差；千分尺零位調(diào)整不正確引起的測量誤差，它們對各次測量引起的測量誤差相同。

8、變值系統(tǒng)誤差在整個測量過程中，誤差按一定規(guī)律變化，例如刻度盤與指針回轉(zhuǎn)軸偏心所引起的按正弦規(guī)律周期變化的測量誤差。根據(jù)系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律，系統(tǒng)誤差可以用計算或?qū)嶒瀸Ρ鹊姆椒ù_定，用修正值從測量結(jié)果中予以消除。但在某些情況下，系統(tǒng)誤差由于變化規(guī)律比較復雜，不易確定，因而難以消除。（2）隨機誤差隨機誤差是指在一定測量條件下，多次測量同一被測量時，大小和符號以不可預定的方式變化的測量誤差。隨機誤差主要是由于測量過程中許多難以控制的偶然因素或不穩(wěn)定因素引起的，是不可避免的。例如計量器具中機構(gòu)的間隙、運動件間摩擦力的變化、測量力的不恒定和測量溫度的波動等引起的誤差都是隨機誤差。1）隨機誤差的分布規(guī)律及特

9、性 就某一次具體測量來說，隨機誤差的大小和符號無法預先知道。但是，對同一被測量進行多次重復測量時，發(fā)現(xiàn)它們的隨機誤差分布服從統(tǒng)計規(guī)律，通過大量的測試實驗表明，隨機誤差通常服從正態(tài)分布?，F(xiàn)舉例分析如下：例如，用同樣的方法在相同的條件下對一軸同一部位尺寸測量200次，得到200個測得值，其中最大值為20.012mm，最小值為19.990mm，然后按測得值大小分為11組，分組間隔為0.002 mm，有關數(shù)據(jù)見表1-17。表1-17 測量數(shù)據(jù)統(tǒng)計表組別測得值分組區(qū)間（mm）區(qū)間中心值（mm）出現(xiàn)次數(shù)ni出現(xiàn)頻率ni/n123456789101119.99019.99219.99219.99419.99

10、419.99619.99619.99819.99820.00020.00020.00220.00220.00420.00420.00620.00620.00820.00820.01020.01020.01219.99119.99319.99519.99719.99920.00120.00320.00520.00720.00920.0112410243745392312310.010.020.050.120.1850.2250.1950.1150.060.0150.005根據(jù)表1-17中的數(shù)據(jù)畫出頻率直方圖，橫坐標表示測得值x，縱坐標表示出現(xiàn)次數(shù)或頻率，連接直方圖各頂線中點，得到一條折線，稱為實

11、際分布曲線，如圖1-40a）所示。如果將上述實驗的測量次數(shù)無限增大，分組間隔無限縮小，則實際分布曲線就會變成一條光滑的正態(tài)分布曲線，也叫高斯曲線，如圖1-40b）所示。橫坐標表示隨機誤差，縱坐標表示概率密度函數(shù)y。從隨機誤差正態(tài)分布曲線圖可分析得出，隨機誤差具有下列四個基本特性： 單峰性 絕對值越小的隨機誤差出現(xiàn)的概率越大，反之則越小。 對稱性 絕對值相等的正、負隨機誤差出現(xiàn)的概率相等。 有界性 在一定測量條件下，隨機誤差的絕對值不會超出一定的界限。 抵償性 隨著測量次數(shù)的增加，各次隨機誤差的算術平均值趨于零，即各次隨機誤差的代數(shù)和趨于零。 a） b）圖1-40 隨機誤差的分布a）頻率直方圖

12、b）正態(tài)分布曲線2）隨機誤差的評定指標 根據(jù)概率論，正態(tài)分布曲線的數(shù)學表達式為 （1-23）式中，y為概率密度；為標準偏差；為隨機誤差。從上式可以看出，概率密度y與隨機誤差及標準偏差有關。當時，概率密度最大，概率密度的最大值隨標準偏差大小的不同而異。圖1-41所示的三條正態(tài)分布曲線1、2和3中，則。由此可見，越小，則曲線就越陡，隨機誤差的分布就越集中，測量精度就越高。反之，越大，則曲線就越平坦，隨機誤差的分布就越分散，測量精度就越低。標準偏差是反映隨機誤差分散程度的參數(shù)，是正態(tài)分布時隨機誤差的評定指標。按照誤差理論，標準偏差可用下式計算 （1-24）式中，、為測量列中各測得值相應的隨機誤差；n

13、為測量次數(shù)。圖1-41 標準偏差對隨機誤差分布的影響3）隨機誤差的極限值 從隨機誤差的有界性可知，隨機誤差不會超過某一范圍。隨機誤差的極限值就是測量極限誤差。由概率論可知，正態(tài)分布曲線和橫坐標軸間所包含的面積等于所有隨機誤差出現(xiàn)的概率總和。倘若隨機誤差區(qū)間落在之間時，則其概率為如果隨機誤差區(qū)間落在之間時，則其概率為為了化成標準正態(tài)分布，將上式進行變量置換，設，則上式化為令，則函數(shù)稱為概率積分函數(shù)，也稱拉普拉斯函數(shù)。表1-18給出了t = 1、2、3、4等四個特殊值所對應的值和值。由此表可見，當t = 3時，在范圍內(nèi)的概率為99.73%，超出該范圍的概率僅為0.27%。這樣，絕對值大于的隨機誤差

14、出現(xiàn)的可能性幾乎等于零。因此，可取作為隨機誤差的極限值，記作 （1-25）顯然，可稱測量列中單次測量值的極限誤差。選擇不同的t值，就對應有不同的概率，測量極限誤差的可信程度也就不一樣。隨機誤差在范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率，稱為置信概率，t稱為置信因子或置信系數(shù)。在幾何量測量中，通常取置信因子t = 3，則置信概率為99.73%。例如，某次測量的測得值為40.002mm，若已知標準偏差，置信概率取99.73%，則測量結(jié)果應為即被測量的真值有99.73%的可能性在40.001140.0029mm之間。表1-18 四個特殊t值對應的概率t不超出的概率超出的概率123412340.68260.95440.997

15、30.999360.31740.04560.00270.00064（3）粗大誤差粗大誤差是指超出一定測量條件下預計的測量誤差，即對測量結(jié)果產(chǎn)生明顯歪曲的測量誤差。含有粗大誤差的測得值稱為異常值，它的數(shù)值比較大。粗大誤差的產(chǎn)生有主觀和客觀兩方面的原因，主觀原因如測量人員疏忽造成的讀數(shù)誤差，客觀原因如外界突然振動引起的測量誤差。由于粗大誤差明顯歪曲測量結(jié)果，因此在處理測量數(shù)據(jù)時，應根據(jù)判別粗大誤差的準則設法將其剔除。應當指出，系統(tǒng)誤差和隨機誤差的劃分并不是絕對的，它們在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的。例如，按一定公稱尺寸制造的量塊總是存在著制造誤差，對某一具體量塊來講，可認為該制造誤差是系統(tǒng)誤差，但

16、對一批量塊而言，制造誤差是變化的，可以認為它是隨機誤差。在使用某一量塊時，若沒有檢定該量塊的尺寸偏差，而按量塊標稱尺寸使用，則制造誤差屬隨機誤差；若檢定出該量塊的尺寸偏差，按量塊實際尺寸使用，則制造誤差屬系統(tǒng)誤差。掌握誤差轉(zhuǎn)化的特點，可根據(jù)需要將系統(tǒng)誤差轉(zhuǎn)化為隨機誤差，用概率論和數(shù)理統(tǒng)計的方法來減小該誤差的影響；或?qū)㈦S機誤差轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)誤差，用修正的方法減小該誤差的影響。4 測量精度的分類測量精度是指被測量的測得值與其真值的接近程度。它和測量誤差是從兩個不同角度說明同一概念的術語。測量誤差越大，則測量精度就越低；測量誤差越小，則測量精度就越高。為了反映系統(tǒng)誤差和隨機誤差對測量結(jié)果的不同影響，測量

17、精度可分為以下幾種。（1）正確度正確度反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度。若系統(tǒng)誤差小，則正確度高。（2）精密度精密度反映測量結(jié)果中隨機誤差的影響程度。若隨機誤差小，則精密度高。（3）準確度準確度反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合影響程度。若系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小，則準確度高。對于具體的測量，精密度高，正確度不一定高；正確度高，精密度不一定高；若精密度和正確度都高，則準確度一定高。現(xiàn)以打靶為例加以說明，如圖1-42所示，小圓圈表示靶心，黑點表示彈孔。在圖1-42a）中，隨機誤差小而系統(tǒng)誤差大，表示打靶精密度高而正確度低；圖1-42b）中，系統(tǒng)誤差小而隨機誤差大，表示打靶正確度高而精密度低；圖

18、1-42c）中，系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小，表示打靶準確度高。 a） b） c）圖1-42 測量精度三、測量誤差的處理通過對某一被測量進行連續(xù)多次的重復測量，得到一系列的測量數(shù)據(jù)（測得值）稱為測量列，可以對該測量列進行數(shù)據(jù)處理，以消除或減小測量誤差的影響，提高測量精度。1測量列中隨機誤差的處理在一定測量條件下，對同一被測量連續(xù)多次測量，得到一測量列，假設其中不存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差，可以用數(shù)理統(tǒng)計的方法估算隨機誤差的范圍和分布規(guī)律，進而確定測量結(jié)果。具體處理過程如下：（1）測量列的算術平均值設測量列的測得值為x1、x2、xn，則算術平均值為 （1-26）式中，n為測量次數(shù)。（2）殘差殘余誤差（簡稱

19、殘差）是指測量列中的各個測得值與該測量列算術平均值之差，記為，即 （1-27）殘差具有如下兩個特性： 殘差的代數(shù)和等于零，即。這一特性可以用來校核算術平均值及殘差計算的準確性。 殘差的平方和為最小，即。由此可以說明，用算術平均值作為測量結(jié)果是最可靠且最合理的。（3）測量列中單次測得值的標準偏差標準偏差是表征隨機誤差集中與分散程度的指標。由于被測幾何量的真值未知，所以不能按式（1-24）計算標準偏差的數(shù)值。在實際測量時，當測量次數(shù)n充分大時，隨機誤差的算術平均值趨于零，因此可以用測量列的算術平均值代替真值，即可用代替，按貝塞爾（Bessel）公式計算出單次測得值標準偏差的估計值。貝塞爾公式為：

20、（1-28）這時，單次測得值的測量結(jié)果可表示為 （1-29）（4）測量列算術平均值的標準偏差若在一定測量條件下，對同一被測量進行多組測量（每組皆測量n次），則對應每組n次測量都有一個算術平均值，各組的算術平均值不相同。不過，它們的分散程度要比單次測量數(shù)值的分散程度小的多。描述它們的分散程度同樣可以用標準偏差作為評定指標，如圖1-43所示。圖1-43 與的關系圖1-44 與n的關系根據(jù)誤差理論，測量列算術平均值的標準偏差與測量列單次測得值的標準偏差存在如下關系： （1-30）式中，n為每組的測量次數(shù)。由式（3-30）可知，多組測量的算術平均值的標準偏差為單次測量值的標準偏差的分之一。這說明測量次

21、數(shù)越多，就越小，測量精密度就越高，但由圖1-44可知，當一定時，以后，減小已很緩慢，故測量次數(shù)不必過多，一般情況下，取次。測量列算術平均值的測量極限誤差為 （1-31）多次（組）測量所得算術平均值的測量結(jié)果可表示為 （1-32）2測量列中系統(tǒng)誤差的處理對系統(tǒng)誤差，應尋找和分析其產(chǎn)生的原因及變化規(guī)律，以便從測量數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)并予以消除，從而提高測量精度。（1）定值系統(tǒng)誤差的處理定值系統(tǒng)誤差的大小和符號均不變，因此它不改變測量誤差分布曲線的形狀，而只改變測量誤差分布中心的位置。從測量列的原始數(shù)據(jù)本身，看不出定值系統(tǒng)誤差存在與否。揭露定值系統(tǒng)誤差，可以采用實驗對比法：改變測量條件，對已測量的同一被測幾何

22、量進行一輪次數(shù)相同的連續(xù)測量，比較前后兩列測得值，若兩者沒有差異，則不存在定值系統(tǒng)誤差；若兩者有差異，則表示存在定值系統(tǒng)誤差。例如，用比較儀測量線性尺寸時，按“級”使用量塊測量結(jié)果會產(chǎn)生定值系統(tǒng)誤差，只有用級別更高的量塊進行測量對比，才能發(fā)現(xiàn)前者的定值系統(tǒng)誤差。這時，取該系統(tǒng)誤差的反向值作為修正值，加到測量列的算術平均值之上，該系統(tǒng)誤差即可消除。（2）變值系統(tǒng)誤差的處理變值系統(tǒng)誤差的大小和符號按一定規(guī)律變化，因此它對測量列的各個測得值的影響不同，它不僅改變測量誤差分布曲線的形狀，而且改變測量誤差分布中心的位置。為此，變值系統(tǒng)誤差可以用殘差觀察法發(fā)現(xiàn)：將殘差按測量順序排列，然后觀察它們的分布規(guī)律

23、。若殘差大體上正、負號相間出現(xiàn)，又沒有顯著變化，如圖1-45a）所示，則不存在變值系統(tǒng)誤差。若各殘差按近似的線性規(guī)律遞增或遞減，如圖1-45b）所示，則可判定存在線性系統(tǒng)誤差。線性系統(tǒng)誤差可以用對稱測量法來消除：取對稱兩個測得值的平均值作為測量結(jié)果。若各殘差的大小和符號有規(guī)律地周期變化，如圖1-45c）所示，則存在周期性系統(tǒng)誤差。周期性系統(tǒng)誤差可以用半周期法來消除：取相隔半個周期的兩個測量數(shù)據(jù)的平均值作為測量結(jié)果。a） b） c）圖1-45 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)a）定值系統(tǒng)誤差 b）線性系統(tǒng)誤差 c）周期系統(tǒng)誤差從理論上講，系統(tǒng)誤差是可以消除的，但是，實際上系統(tǒng)誤差由于其存在的復雜性，只能消除到一定

24、限度。一般來說，系統(tǒng)誤差若能消除到使其影響相當于隨機誤差的程度，則認為已被消除。根據(jù)已掌握的程度，可把系統(tǒng)誤差分為已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。前者的大小和符號或者變化規(guī)律已被掌握，而后者則尚未掌握。對于尚未掌握的未定系統(tǒng)誤差，可以按處理隨機誤差的方法進行處理。3測量列中粗大誤差的處理粗大誤差的數(shù)值相當大，在測量中應盡可能避免。如果粗大誤差已經(jīng)產(chǎn)生，則應根據(jù)判斷粗大誤差的準則予以剔除，判別粗大誤差的簡便方法是拉依達準則。拉依達準則又稱準則。該準則認為，當測量列服從正態(tài)分布時，殘差落在外的概率僅有0.27%，即在連續(xù)370次測量中只有一次測量的殘差超出，而實際上連續(xù)測量的次數(shù)決不會超過370次，測量列中就不應該有超出的殘差。因此，當測量列中出現(xiàn)絕對值大于的殘差，即 （1-33）則認為該殘差對應的測得值含有粗大誤差，應予以剔除。測量次數(shù)小于或等于10時，不能使用拉依達準則。4等精度測量列的數(shù)據(jù)處理等精度測量是指在相同的測量條件下，由同一測量者，以同樣的測量方法，使用同一計量器具，在同一地點對同一被測量進行連續(xù)多次測量。相反，在對同一被測量的連續(xù)多次測量過程中，若測量因素或測量條件有所改變，則這樣的測量稱為不等精度測量。在一般情況下，為簡化對測量數(shù)據(jù)的處