數(shù)字黑洞的改良算法是本篇研究的問題

1、摘要 數(shù)字黑洞的改良算法是本篇研究的問題，目前國內(nèi)科展關(guān)於此問題的最好結(jié)果可參考李光宇3, 民90的報(bào)告，由於李光宇是用分類的方法去找出需要檢查的數(shù)字，因此如何減少需要檢查的數(shù)字個數(shù)是研究的重點(diǎn)。本報(bào)告提出一個新的簡化分類方法達(dá)到減少檢查個數(shù)的目標(biāo)，為了方便和李光宇3作比較，列表如下：n位數(shù)2345678910李光宇3檢查個數(shù)995655未列出未列出700多700多1405本報(bào)告檢查個數(shù)6621215656126126壹、 研究動機(jī)有一次上課時，老師跟我們講了一個數(shù)字黑洞的問題：他說任取一個二位數(shù)字；假設(shè)是12，將這個數(shù)的每位數(shù)字重新排列，得出最大數(shù)(即21)及最小數(shù)(即12)，然後將最大數(shù)減

2、最小數(shù)得出一個新數(shù)字；即21-1209 (因?yàn)橐?看成二位數(shù))，接著對新數(shù)字09重複以上步驟；即90-0981，經(jīng)過幾次的相減，就會發(fā)現(xiàn)不管開始選的數(shù)字是多少，最後都會進(jìn)入了二位數(shù)的環(huán)狀黑洞(black hole)981 63 27 45。後來，我們找到李光宇3中，有關(guān)於二位數(shù)到十位數(shù)黑洞的證明。對於一個小學(xué)生，居然能做出這樣的結(jié)果，實(shí)在令人吃驚！不過，因?yàn)榇似獔?bào)告中要檢查的數(shù)字實(shí)在不少，於是我們繼續(xù)著手研究是不是有更簡單的證明方法，能更有效率找出n位數(shù)的所有黑洞和規(guī)律，以減少計(jì)算的時間。貳、研究目的一、改良二位數(shù)到九位數(shù)黑洞的證明。參、研究設(shè)備及器材電腦、計(jì)算機(jī)、紙、筆肆、研究過程為了說明

3、的方便，需要規(guī)定下面的符號：定義一 所有的四位數(shù)abcd以abcd表示，在符號abcd加底線是避免有所誤會，因?yàn)閍bcd一般是代表a × b × c × d。但當(dāng)a、b、c、d是數(shù)字0至9時，因不會搞混，所以書寫時不加底線，例如：3648。另外，abcd = a1000b100c10d1。定義二設(shè)abcd的四位數(shù)字a、b、c、d按大小排列後，得出的最大數(shù)為pqrs，而最小數(shù)為srqp，則abcd重排後最大數(shù)減最小數(shù)的差以符號Dabcd表示，可得Dabcd = pqrs - srqp。有時候，為了方便會把最大數(shù)減最小數(shù)的差稱為換序差。類似地，符號D(k)abcd表示

4、的是abcd重排後，計(jì)算k次換序差的值。因此，可知D(1)abcd = Dabcd例1：D5347 = 7543 - 3457 = 4086。例2：D(1)5347 = 7543 - 3457 = 4086。D(2)4086 = 8640 - 0468 = 6172。定義三 若Dabcd = abcd，則稱abcd是四位數(shù)的一個黑洞。類似地，若D(k)abcd = abcd，則會產(chǎn)生四位數(shù)的一個含k個數(shù)的環(huán)狀黑洞；以abcdD(1)abcdD(k-1)abcd表示。 我們新的簡化分類方法包含下列步驟，以二位數(shù)為例：步驟一：因?yàn)閍、b如果相同，可得Dab = Dba，所以可知取ab計(jì)算就已經(jīng)包含

5、所有情形。步驟二：取r(ab)，則可得DabDr0，其中r = 0 9。步驟三：利用r的對稱性質(zhì)，將需計(jì)算的r值減為0 6。 此方法在位數(shù)較小時，減少計(jì)算的個數(shù)還不顯著，但在八位數(shù)之後至少會減少5分之1以上的計(jì)算個數(shù)。定理一每位數(shù)字不全相同的二位數(shù)，其黑洞只有981632745。證明：步驟一設(shè)ab是一個每位數(shù)字不全相同的二位數(shù)(其中a、b是數(shù)字0至9)，很明顯地，取ab計(jì)算Dab就已經(jīng)包含所有二位數(shù)字的情形了。因ab，可知Dab = abba = a10b1b10a1 = (ab)10(ab) = (ab)00(ab) ，設(shè)r(ab) = r00r = Dr0如上，可知計(jì)算Dab計(jì)算Dr0。步

6、驟二 又9 r 0，所以我們將r分成兩種情況繼續(xù)運(yùn)算：情況一：若r0，則D0000000情況二：若r0由9r1可得Dr0r00r(r1)(10r) ；如第1式第1式觀察下表r123456789Dr0組成數(shù)字(r1)、(10r)0、91、82、73、64、55、46、37、28、1Dr0的組成數(shù)字在r2 5和r6 9是相同的 (左右對稱r5.5)第2次計(jì)算最大數(shù)最小數(shù)時，新得出的換序差會相同因此，只須計(jì)算r1 5的情形，共計(jì)有5 (種)。步驟三由上可知，只要討論1156種情形，即可找出二位數(shù)的黑洞。由於資料較多，以下關(guān)於要檢查數(shù)字的換序差計(jì)算請參考附錄一。 定理二每位數(shù)字不全相同的三位數(shù)，其黑洞

7、只有495。證明：步驟一 設(shè)acb是一個每位數(shù)字不全相同的三位數(shù)(其中a、c、b是數(shù)字0至9)，很明顯地，取acb計(jì)算Dacb，就已經(jīng)包含所有情形的Dacb了(此假設(shè)是為了突顯出三位數(shù)與二位數(shù)必須檢查的數(shù)字個數(shù)是一樣多的！)。因acb，可知Dacb = acbbca = a100c10b1b100c10a1 = (ab)100(ab) = (ab)0000(ab) ，設(shè)r(ab) = r0000r = Dr00如上，可知計(jì)算Dacb計(jì)算Dr00。步驟二 又9 r 0，所以r的情形與二位數(shù)一樣，只需再討論下列兩種情況即可：情況一：若r0，則D0000000000情況二：若r0由9r1可得Dr00

8、r000r(r1)9(10r) ；如第2式第2式觀察下表r123456789Dr00組成數(shù)字(r1)、(10r)0、91、82、73、64、55、46、37、28、1Dr00的組成數(shù)字在r2 5和r6 9是相同的 (左右對稱r5.5)第2次計(jì)算最大數(shù)最小數(shù)時，新得出的換序差會相同因此，只須計(jì)算r1 5，有5 (種)步驟三計(jì)算1156種情形(與二位數(shù)相同)，即可找出找三位數(shù)的黑洞。以下關(guān)於要檢查數(shù)字的換序差計(jì)算請參考附錄一。 定理三每位數(shù)字不全相同的四位數(shù)，其黑洞只有6174。證明：步驟一 設(shè)abcd是一個每位數(shù)字不全相同的四位數(shù)(其中a、b、c、d是數(shù)字0至9)，很明顯地，取abcd的a、b、

9、c、d計(jì)算Dabcd，就已經(jīng)包含所有情形的Dabcd了。因abcd，可知Dabcd = abcddcba = a1000b100c10d1d×1000c100b10a1 = (ad)1000(bc)100(bc)10(ad) = (ad)(bc)0000(bc)(ad) ，取r(ad)、s(bc) 可得rs = rs0000sr = Drs00如上，可知計(jì)算Dabcd計(jì)算Drs00。步驟二又9 r s 0，所以我們把r、s的組合分成三種情況，繼續(xù)第二次運(yùn)算：情況一：若r0，可得s0，則D0000000000000情況二：若r0且s0由9r1可得D r000r000000r(r1)99

10、(10r)；如第3式第3式觀察下表r123456789D r000組成數(shù)字= (r1)、(10r)0、91、82、73、64、55、46、37、28、1Dr000的組成數(shù)字在r2 5和r6 9是相同的 (左右對稱r5.5)第2次計(jì)算最大數(shù)最小數(shù)時，新得出的換序差會相同計(jì)算r1 5即可，共有5 (種)情況三：若r0且s0由9rs1可得D rs00rs0000srr(s1)(9s)(10r) ；如第4式第4式觀察下面兩個表r123456789D rs00組成數(shù)字= r、(10r)1、92、83、74、65、56、47、38、29、1D rs00的組成數(shù)字r、(10r)在r1 4和r6 9是相同的

11、(左右對稱r5)第2次計(jì)算最大數(shù)最小數(shù)時，新得出的換序差會相同計(jì)算r1 5即可s123456789D rs00組成數(shù)字= (s1)、(9s)0、81、72、63、54、45、36、27、18、0D rs00的組成數(shù)字(s1)、(9s)在s1 4和s6 9是相同的 (左右對稱s5)第2次計(jì)算最大數(shù)最小數(shù)時，新得出的換序差會相同計(jì)算s1 5且sr即可因此r1 5、s1 5且sr組合共有×5×615 (種)。步驟三由上可知，要討論1151521種情形，便可找出四位數(shù)所有的黑洞。以下關(guān)於要檢查數(shù)字的換序差計(jì)算請參考附錄一。 定理四每位數(shù)字不全相同的五位數(shù)，其黑洞有3個：5-1C2：

12、53955599945-2C4：619748296275933639545-3C4：62964719738395274943證明：步驟一 設(shè)abecd是一個每位數(shù)字不全相同的四位數(shù)(其中a、b、e、c、d是數(shù)字0至9)，相同地，取abecd時的Dabecd，就已經(jīng)包含所有情形的Dabecd了。(此假設(shè)是為了突顯出五位數(shù)與四位數(shù)必須檢查的數(shù)字個數(shù)是一樣多的！)因abecd，可知Dabecd = abecddceba= a10000b1000e100c10dd10000c1000e100b10a= (ad)10000(bc)1000(bc)10(ad)= (ad)(bc)000000(bc)(ad

13、) ，取r(ad)、s(bc) 可得rs= rs000000sr= Drs000步驟二因9 r s 0與四位數(shù)相同，所以仍把r、s的組合分成三種情況，繼續(xù)第二次運(yùn)算：情況一：若r0，可得s0，則D0000000000000000情況二：若r0且s0由9r1可得D r0000r00000000r(r1)999(10r)；如第5式第5式觀察下表r123456789D r0000組成數(shù)字= (r1)、(10r)0、91、82、73、64、55、46、37、28、1Dr0000的組成數(shù)字在r2 5和r6 9是相同的 (左右對稱r5.5)第2次計(jì)算最大數(shù)最小數(shù)時，新得出的換序差會相同計(jì)算r1 5即可，共

14、有5 (種)情況三：若r0且s0由9rs1可得D rs000rs000000srr(s1)9(9s)(10r)；如第6式第6式觀察下面兩個表r123456789D rs000組成數(shù)字= r、(10r)1、92、83、74、65、56、47、38、29、1D rs000的組成數(shù)字r、(10r)在r1 4和r6 9是相同的 (左右對稱r5)第2次計(jì)算最大數(shù)最小數(shù)時，新得出的換序差會相同計(jì)算r1 5即可s123456789D rs000組成數(shù)字= (s1)、(9s)0、81、72、63、54、45、36、27、18、0D rs000的組成數(shù)字(s1)、(9s)在s1 4和s6 9是相同的 (左右對稱

15、s5)第2次計(jì)算最大數(shù)最小數(shù)時，新得出的換序差會相同計(jì)算s1 5且sr即可r1 5、s1 5組合共有×5×615 (種)步驟三由上可知，討論1151521種情形(與四位數(shù)相同)，再從新討論一次即可。以下關(guān)於要檢查數(shù)字的換序差計(jì)算請參考附錄一。 定理五每位數(shù)字不相同的六位數(shù)，其黑洞有3個：6-1C1：5499456-2C1：6317646-3C7：420876851742750843840852860832862632642654證明：步驟一相同地，設(shè)abcdef是一個每位數(shù)字不全相同的六位數(shù)(其中a、b、c、d、e、f是數(shù)字0至9)，取abcdef計(jì)算Dabcdef計(jì)算Dr

16、st000(如下，取r(af)、s(be)、t(cd)即可包含所有的情形。Dabcdef abcdeffedcba(af)×105(be)×104(cd)×103(cd)×102(be)×10(af)(af)(be)(cd)000000(cd)(be)( af)取r(af)、s(be)、t(cd) 可得rstrst000000tsrDrst000步驟二因9 r st0，我們把r、s、t的組合分成四大類，繼續(xù)第二次運(yùn)算：情況一：若r0，可得rs0，則D0000000000000000000情況二：若r0且s0，可得t0。與五位數(shù)情況二相同，計(jì)算r

17、1 5即可有5 (種)情況三：若r0且s0且t0。與五位數(shù)情況三相同，計(jì)算r1 5、s1 5且sr。有15 (種)情況四：若r0、s0且t0，由9rst1可得D rst000rst000000tsrr s (t1)(9t)(9s)(10r) ；第7式第7式觀察下面三個表r123456789D rst000組成數(shù)字= r、(10r)1、92、83、74、65、56、47、38、29、1D rst000的組成數(shù)字r、(10r)在r1 4和r6 9是相同的 (左右對稱r5)第2次計(jì)算最大數(shù)最小數(shù)時，新得出的換序差會相同計(jì)算r5 9即可(此修改是配合下一表中s的計(jì)算範(fàn)圍！)s123456789D rs

18、t000組成數(shù)字= s、(9s)1、82、73、64、55、46、37、28、19、0D rst000的組成數(shù)字s、(9s)在s1 4和s5 8是相同的 (左右對稱s4.5)第2次計(jì)算最大數(shù)最小數(shù)時，新得出的換序差會相同計(jì)算s5 9且sr即可t123456789D rst000組成數(shù)字= (t1)、(9t)0、81、72、63、54、45、36、27、18、0D rst000的組成數(shù)字(t1)、(9t)在t1 4和t6 9是相同的 (左右對稱t5)第2次計(jì)算最大數(shù)最小數(shù)時，新得出的換序差會相同計(jì)算t5 9且tsr即可有=() =(×6×11×5×6)(5

19、515) = 35 (種)步驟三由上可知，要討論115153556種情形。以下關(guān)於要檢查數(shù)字的換序差計(jì)算請參考附錄一。 定理六每位數(shù)字不相同的七位數(shù)，其黑洞只有1個：75098439529641871972286494327519743842965276197338439552證明：步驟一設(shè)abcgdef是一個每位數(shù)字不全相同的七位數(shù)(其中a、b、c、g、d、e、f是數(shù)字0至9)，取abcgdef計(jì)算Dabcgdef計(jì)算Drst0000(取r(af)、s(be)、t(cd)即可包含所有的情形。(此假設(shè)是為了突顯出七位數(shù)與六位數(shù)必須檢查的數(shù)字個數(shù)是一樣多的！)步驟二因9 r st0，r、s、t的

20、組合與六位數(shù)相同，第二次運(yùn)算的情形也與六位數(shù)相同：情況一：若r0，可得rs0，則D0000000000000000000000情況二：若r0且s0，可得t0。與六位數(shù)情況二相同，計(jì)算r1 5即可有5 (種)情況三：若r0且s0且t0。與六位數(shù)情況三相同，計(jì)算r1 5、s1 5且sr即可有×5×615 (種)情況四：若r、s0且t0，與六位數(shù)情況四相同，計(jì)算r5 9、s5 9、t5 9且tsr即可有= 35 (種)步驟三由上可知，討論115153556種情形。以下關(guān)於要檢查數(shù)字的換序差計(jì)算請參考附錄一。 定理七每位數(shù)字不相同的八位數(shù)，其黑洞只有4個：8-1C1：6331766

21、48-2C1：975084218-3C3：6430865483208762865264328-4C7：43208766853176427530864384308652863086328632663264326654證明：步驟一設(shè)abcdefgh是一個每位數(shù)字不全相同的八位數(shù)(其中a、b、c、d、e、f、g、h是數(shù)字0至9)，取abcdefgh計(jì)算Dabcdefgh計(jì)算Drstu000(取r(ah)、s(bg)、t(cf)、u(de)即可包含所有情形。步驟二因9 r stu0，我們把r、s、t、u的組合分成四種情況，繼續(xù)第二次運(yùn)算：情況一：若r0，可得rsu0，則D000000000000000

22、0000000000情況二：若r0且s0，t0，u0，種數(shù)和六位數(shù)情況二相同，皆為5(種)情況三：若r0且s0且t0且u0，種數(shù)和六位數(shù)情況三相同，皆為15(種)情況四：若r0、s0且t0且u0，種數(shù)和六位數(shù)情況四相同，皆為35(種)情況五：若r0、s0且t0且u0，由9rstu1可得D rstu0000rstu00000000utsrrst(u1)(9u)(9t)(9s)(10r) ；第8式第8式觀察下面四個表r123456789D rstu0000組成數(shù)字= r、(10r)1、92、83、74、65、56、47、38、29、1D rstu0000的組成數(shù)字r、(10r)在r1 4和r6 9

23、是相同的 (左右對稱r5)第2次計(jì)算最大數(shù)最小數(shù)時，新得出的換序差會相同計(jì)算r5 9即可(此修改是配合下一表中s的計(jì)算範(fàn)圍！)s123456789D rstu0000組成數(shù)字= s、(9s)1、82、73、64、55、46、37、28、19、0D rstu0000的組成數(shù)字s、(9s)在s1 4和s5 8是相同的 (左右對稱s4.5)第2次計(jì)算最大數(shù)最小數(shù)時，新得出的換序差會相同計(jì)算s5 9且sr即可t123456789D rstu0000組成數(shù)字= t、(9t)1、82、73、64、55、46、37、28、19、0D rstu0000的組成數(shù)字t、(9t)在s1 4和s5 8是相同的 (左右

24、對稱t4.5)第2次計(jì)算最大數(shù)最小數(shù)時，新得出的換序差會相同計(jì)算t5 9且tsr即可u123456789D rstu0000組成數(shù)字= (u1)、(ut)0、81、72、63、54、45、36、27、18、0D rstu0000的組成數(shù)字(u1)、(9u)在t1 4和t6 9是相同的 (左右對稱u5)第2次計(jì)算最大數(shù)最小數(shù)時，新得出的換序差會相同計(jì)算u5 9且utsr即可有=×(r4)(r3)(2r7)×(r4)(r3) =×2(r4)(r3)(r2)=×(r4)(r4)23(r4)2 =×(r4)33(r4)22(r4)=3×

25、15;6×116×5=(15216530) =70步驟三由上可知，驗(yàn)算115153570126種，即可找出八位數(shù)所有的黑洞。以下關(guān)於要檢查數(shù)字的換序差計(jì)算請參考附錄一。 定理八每位數(shù)字不相同的九位數(shù)，其黑洞只有3個：9-1C1：5549994459-2C1：8641975329-3C14：762098733964395531863098632965296431873197622865395432753098643954197541883098612976494321874197522865296432763197633844296552證明：步驟一設(shè)abcdiefgh是一個

26、每位數(shù)字不全相同的九位數(shù)(其中a、b、c、d、i、e、f、g、h是數(shù)字0至9)，取abcdiefgh計(jì)算Dabcdiefgh計(jì)算Drstu0000(取r(ah)、s(bg)、t(cf)、u(de)即可包含所有情形。(此假設(shè)是為了突顯出九位數(shù)與八位數(shù)必須檢查的數(shù)字個數(shù)是一樣多的！)步驟二因9 r stu0， r、s、t、u的組合與情況都與八位數(shù)相同：情況一：若r0，可得rsu0，則D0000000000000000000000000000情況二：若r0且s0，t0，u0，種數(shù)和八位數(shù)情況二相同，皆為5(種)情況三：若r0且s0且t0且u0，種數(shù)和八位數(shù)情況三相同，皆為15(種)情況四：若r0、s

27、0且t0且u0，種數(shù)和六位數(shù)情況四相同，皆為35(種)情況五：若r0、s0且t0且u0，種數(shù)和六位數(shù)情況五相同，皆為70(種)步驟三由上可知，驗(yàn)算115153570126種(與八位數(shù)相同)，即可找出九位數(shù)所有的黑洞，以下關(guān)於要檢查數(shù)字的換序差計(jì)算請參考附錄一。 伍、研究結(jié)果將李光宇3證明中需檢查的數(shù)字個數(shù)減少，為了方便和作比較，列表如下：n位數(shù)2345678910李光宇3檢查個數(shù)995655未列出未列出700多700多1405本報(bào)告檢查個數(shù)6621215656126126陸、討論李光宇3中指出若要找出十位數(shù)的所有黑洞，需檢查1405個十位數(shù)才能確定。但是使用我們的新方法，初步計(jì)算只要檢查252

28、個。接下來的工作，就是把本報(bào)的方法寫出程式來計(jì)算(畢竟用計(jì)算機(jī)還是很累！)，才有可能作出超越李光宇3的結(jié)果。不過，撰寫程式目前對我們來說，還是超出能力很多，希望接下來的一年，可以克服此困難。柒、參考資料及其他1.張兆嘉（民67）。中華民國第18屆中小學(xué)科學(xué)展覽會，高中教師組數(shù)學(xué)科作品6174 （312-319頁）。臺北市：國立科學(xué)教育館。2.謝欣芝、王惠珊、黃國順、張嘉珮（民83）。中華民國第34屆中小學(xué)科學(xué)展覽會，國中組數(shù)學(xué)科作品三位數(shù)的討論。（108-115頁）。臺北市：國立科學(xué)教育館。3.李光宇（民90）。中華民國第41屆中小學(xué)科學(xué)展覽會，高小組數(shù)學(xué)科作品數(shù)字黑洞。臺北市：國立科學(xué)教育館

29、。4.鄒宗辰、陳磐琳、游惠鈞、潘彥甫（民92）。中華民國第43屆中小學(xué)科學(xué)展覽會，國中組數(shù)學(xué)科作品數(shù)的黑洞。臺北市：國立科學(xué)教育館。附錄一 n位數(shù)的換序差計(jì)算表二位數(shù)(6種)項(xiàng)次Dr0=k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=710000002109816327459320186327459816343027459816327540362745981632765045981632745三位數(shù)(6種)項(xiàng)次Dr00=k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=710000000002100998917926935944954953200198792693594495495430029769359449

30、549554003965944954956500495495四位數(shù)(21種)項(xiàng)次Drs00=k=1k=2k=3k=4k=5k=6k=7k=8100000000000025000499553551998808285326174617434000399662644176617461744300029977173635430878352617461745200019988082853261746174610009998991808285326174617475500544510899621835261746174854005355199880828532617461749530052653996626441766174617410520051755994535519988082853261746174115100508579927173635430878352617461741244004356308783526174617413430042664176617461741442004176617461741541004086817274433996626441766174617416330032675265399662644176617461741732003177635430878352617